imported>M. Hammer-Kruse: wie vor

2025-03-24T17:13:56Z

wie vor

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[[Datei:Landscape Carina Nebula.jpg|mini|[[Sternentstehung]] im [[Carinanebel]]]]
Das '''Jeans-Kriterium''' der [[Sternentstehung]] (nach [[James Jeans]]), auch '''Jeanssches Kriterium''', besagt, dass eine kosmische [[Gaswolke]] kollabiert und aus ihr letztlich ein [[Stern]] entstehen kann, wenn ihre Masse größer als die '''Jeans-Masse''' <math>M_{\mathrm{Jeans}}</math> ist. Handelt es sich bei der Gaswolke um eine [[protoplanetare Scheibe]], so kann das Jeans-Kriterium auch für die Entstehung von [[Gasplanet]]en herangezogen werden.

Unter irdischen Bedingungen breiten sich [[Gas]]e aufgrund der [[kinetische Energie|kinetischen Energie]] der Moleküle und ihrer damit verbundenen Kollisionen in dem zur Verfügung stehenden Raum gleichmäßig aus. Im freien Weltall dagegen werden größere Ansammlungen von Gasen durch ihre [[Schwerkraft]] zusammengehalten und sind deswegen räumlich begrenzt. Nach Überschreiten der Jeans-Masse zieht sich die Wolke immer weiter zusammen, bis ein neuer [[Gleichgewichtszustand]] erreicht wird (Sternentstehung).

== Berechnung bzw. Abschätzung der Jeans-Masse ==
Die '''Jeans-Masse''' als minimale Grenzmasse lässt sich abschätzen zu:

:<math> M_{\mathrm{Jeans}} =\alpha \cdot \sqrt{\frac{1}{\rho} \cdot \left( \frac{k T}{G \mu} \right)^3 }</math>

mit
* einem numerischen Koeffizienten <math>\alpha</math>, der von der Abschätzung und ihrer Genauigkeit abhängt
* weiteren Variablen, die im Folgenden erläutert werden.
[[Datei:Spherical molecular cloud d hc2-de.svg|mini|Kräfte bzw. Drücke in einer kosmischen Gaswolke]]
Es wird eine kugelförmige Gaswolke der Masse <math>M</math>, der homogenen [[Dichte]] <math>\textstyle\rho = M/(\frac{4}{3} \pi R^3)</math>, dem daraus zu berechnenden Radius <math>R</math> und der Temperatur <math>T</math> angenommen. Auf die Gaswolke wirken keine äußeren Kräfte, sie rotiert nicht, und das Gas verhält sich wie ein [[ideales Gas]].

Die Wolke beginnt zu kollabieren, falls die zusammenziehenden Gravitationskräfte größer sind als die stabilisierende Kraft des [[Gasdruck]]es (Jeans-Kriterium). Dieser Zustand ist erreicht, wenn die Masse der Gaswolke bei einer bestimmten Dichte und Temperatur die zugehörige Jeans-Masse überschreitet. Sie kann sowohl über das Gleichgewicht der Drücke als auch über das der Energien ermittelt werden.

=== Über den Gleichgewichtsdruck ===
Bei Gleichgewicht der Drücke im Zentrum der Wolke gilt:

:<math>|p_{\mathrm{Gas}}| = |p_{\mathrm{grav}}|</math>

Aus der [[Thermische Zustandsgleichung idealer Gase|idealen Gasgleichung]]

:<math>pV = nkT \iff p = \frac{\rho}{\mu}kT</math>

und dem [[Hydrostatischer Druck #Gravitationsdruck in Planeten, Monden, Asteroiden und Meteoriten|Gravitationsdruck im Zentrum einer Kugel]] folgt

:<math>\implies \frac{\rho}{\mu}kT = \frac{3G M^2}{8\pi R^4}</math>

mit
* dem Druck <math>p</math>
* dem Volumen <math>V</math>
* der Zahl <math>n</math> der Gasmoleküle
* der [[Boltzmann-Konstante]]n <math>k</math>
* der absoluten [[Temperatur]] <math>T</math>
* der Masse <math>\mu</math> des einzelnen Gasmoleküls
* der [[Gravitationskonstante]]n <math>G</math>.

Daraus ergibt sich:<ref>Siehe das Skript von Hermann Kolanoski: ''Einführung in die Astroteilchenphysik''. HU Berlin, WS 2009/2010 in den Literaturangaben</ref>

:<math>\implies M_{\mathrm{crit}} = \sqrt{\frac{6}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\rho} \cdot \left( \frac{k T}{G \mu} \right)^3}</math>.

Der Koeffizient <math>\alpha</math> ist hier <math>\alpha = \sqrt{\frac{6}{\pi}} \approx 1{,}38</math> und beschreibt den Zustand im Zentrum der Wolke.

=== Über das Energiegleichgewicht ===
Bei dem Ansatz über das Energiegleichgewicht steht die [[kinetische Energie]] <math>\textstyle E_\mathrm{kin} = \frac{3}{2} nkT</math> nach Verwendung des [[Virialsatz]]es zur [[Bindungsenergie #Gravitation|gravitativen Bindungsenergie]] der Gaswolke wie folgt:

:<math>2 E_{\mathrm{kin}} = E_{\mathrm{grav}}</math>

bzw. mit <math>n = \tfrac{M}{\mu}</math>:

:<math>\iff 3 \frac{M}{\mu}kT = \frac{3G M^2}{5R}</math>

Die Auflösung nach <math>M</math> führt zu folgender kritischen Masse:

:<math>\implies M_{\mathrm{crit}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 5^3}{4 \pi}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\rho} \cdot \left(\frac{k T}{G \mu}\right)^3}</math>

Also der Koeffizient <math>\alpha \approx 5{,}46</math>, der für eine einheitliche Temperatur der Wolke gilt.

=== Über die Schallgeschwindigkeit ===
Die von Jeans,<ref>Siehe das Skript von Kolanoski in der Literatur</ref> gefundene Masse geht von der [[Schallgeschwindigkeit]] im einatomigen Gas mit dem [[Isentropenexponent]]en <math>\kappa=\tfrac{5}{3}</math> aus.
:<math>c_S = \sqrt{\kappa\frac{p}{\rho}} = \sqrt{\frac{5k T}{3\mu}}</math>

Mit der Jeans-Länge
:<math>\lambda_{\mathrm{Jeans}} = c_S\sqrt{\frac{\pi}{G\rho}} = \sqrt{\frac{5\pi k T}{3\mu G\rho}}</math>

ergibt sich die Jeans-Masse
:<math>M_{\mathrm{Jeans}} = \frac{\pi}{6}\rho \lambda_{\mathrm{Jeans}}^3 = \alpha_{\mathrm{Jeans}}\cdot \sqrt{\frac{1}{\rho} \cdot \left(\frac{k T}{G \mu}\right)^3}</math>.

Der Faktor π/6 entspricht dabei dem Volumen einer Kugel in einem Würfel mit gegebener Kantenlänge ''λ''.

Daraus ergibt sich der Vorfaktor mit
:<math>\alpha_{\mathrm{Jeans}} = \frac{\pi}{6}\sqrt{\frac{5^3\pi^3}{3^3}} \approx 6{,}27</math>.

=== Einfluss von Dichte und Temperatur ===
[[Datei:Jeans hc2.png|400px|rechts|Dichte-Temperaturdiagramm für verschiedene Jeans-Massen (M) für ein einatomiges Wasserstoffgas]]
Wie sich aus den Formeln ablesen lässt, ist die Jeans-Masse für kalte Gaswolken kleiner als für heiße, dafür aber bei niedrigen Gasdichten höher. Das nebenstehende Diagramm gibt diese Abhängigkeit verschiedener Jeans-Massen von der Dichte und der Temperatur wieder. Die Jeans-Masse ist als Vielfaches der Sonnenmasse angegeben, als Gas wurde einatomiges [[Wasserstoff]]gas als häufigstes Element im Universum gewählt (Masse pro Atom: {{ZahlExp|1,67|-27|pre=µ ≈|post=kg}}). Die Berechnung erfolgte wie oben ausgeführt über das Druckgleichgewicht; die Berechnung über das Energiegleichgewicht würde zu einem leicht unterschiedlichen Ergebnis führen, allerdings sind beide Ansätze stark vereinfachte Näherungen.

Ablese-Beispiel: Eine Wolke aus einatomigem Wasserstoffgas von 10 [[Sonnenmasse]]n und einer Dichte von 10<sup>−17</sup>kg ⋅m<sup>−3</sup> kollabiert bei einer Temperatur von ≤ 10 K. Zur Veranschaulichung hätte eine solche Wolke etwa 6000 Atome pro cm³ und einen Durchmesser von 1,65 [[Lichtjahr]]en ({{ZahlExp|1,56|13}} Kilometer).

== Literatur und Quellen ==
* {{Literatur
|Autor=Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie
|Titel=An introduction to Modern Astrophysics
|Datum=1996
|ISBN=0-321-21030-1
|Seiten=449}}
* {{Internetquelle
|autor=Hermann Kolanoski
|url=https://www.zeuthen.desy.de/~kolanosk/astro0910/skripte/astro.pdf
|titel=Einführung in die Astroteilchenphysik
|format=PDF; 13,8 MB
|abruf=2013-07-21}}
* {{Literatur
|Autor=[[Malcolm S. Longair]]
|Titel=Galaxy Formation
|Verlag=Springer, Berlin
|Datum=1998
|ISBN=3-540-63785-0}} (''Astronomy and Astrophysics Library'').
* {{Literatur
|Autor=[[Roman Sexl]], Hannelore Sexl
|Titel=Weiße Zwerge – Schwarze Löcher. Einführung in die relativistische Astrophysik.
|Auflage=2. erweiterte
|Verlag=Vieweg Verlag
|Ort=Braunschweig
|Datum=1999
|ISBN=3-528-17214-2
|Kommentar=Vieweg-Studium – Grundkurs Physik}}
* {{Literatur
|Autor=[[Albrecht Unsöld]], Bodo Baschek
|Titel=Der neue Kosmos
|Auflage=4. völlig neubearbeitete
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin
|Datum=1988
|ISBN=3-540-18171-7}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stellarphysik]]
[[Kategorie:Methode der Astrophysik]]

Jeans-Kriterium - Versionsgeschichte

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