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2025-05-24T14:19:59Z

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Der '''Jarque-Bera-Test''' ist ein [[statistischer Test]], der anhand der [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] und der [[Kurtosis]] in den Daten prüft, ob eine [[Normalverteilung]] vorliegt. Es handelt sich daher um einen speziellen [[Anpassungstest]]. Der Test wurde von [[Carlos M. Jarque]] und [[Anil K. Bera]] vorgeschlagen.

== Definition ==
Die [[Teststatistik]] ''JB'' des Jarque-Bera-Tests ist definiert als
:<math>
\mathit{JB} = \frac{n}{6} \left( S^2 + \frac{(K-3)^2}{4} \right).
</math>

Dabei ist <math>n</math> Anzahl der Beobachtungen <math>x_1, \ldots, x_n</math>; mit <math>S</math> wird die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] und mit <math>K</math> die [[Kurtosis]] bezeichnet.

Die Schiefe <math>S</math> in den Daten ist wie folgt definiert:
:<math>
S = \frac{ \mu_3 }{ \sigma^3 } = \frac{ \mu_3 }{ \left( \sigma^2 \right)^{3/2} } = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^3}{ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \right)^{3/2}}
</math>
Bei [[Symmetrische Verteilung|symmetrischen Verteilungen]] wie der Normalverteilung ist der theoretische Wert der Schiefe null.

Die Kurtosis <math>K</math>, ein Maß für die Wölbung einer Verteilung, hat bei Normalverteilung einen Wert von drei. Werte, die darüber liegen, zeigen an, dass die Verteilung fette Verteilungsenden (siehe [[Verteilung mit schweren Rändern]]) hat, d. h., dass die Dichte einer Verteilung an den Rändern, zum Beispiel außerhalb der üblichen ±2σ-Schranken, größer und dafür in den mittleren Bereichen geringer ist als bei der Normalverteilung. Dies gilt zum Beispiel für die [[t-Verteilung]]. Die Kurtosis ist wie folgt definiert:
:<math>
K = \frac{ \mu_4 }{ \sigma^4 } = \frac{ \mu_4 }{ \left( \sigma^2 \right)^{2} } = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^4}{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \right)^2},
</math>

wobei <math>\mu_3</math> und <math>\mu_4</math> das dritte und das vierte zentrale [[Moment (Stochastik)|Moment]] darstellen, <math>\bar{x}</math> der [[Arithmetisches Mittel|Mittelwert]] der [[Stichprobe]] ist und <math>\sigma^2</math> das zweite Moment, also die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]], symbolisiert.

Es gilt <math>\mathit{JB}\sim\chi^2_2</math>, d. h., die Teststatistik <math>\mathit{JB}</math> ist [[asymptotisch]] [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilt]] mit zwei [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]].

Das Hypothesenpaar lautet:
:<math>H_0\colon</math> Die Stichprobe ist normalverteilt.<br>
:<math>H_1\colon</math> Die Stichprobe ist nicht normalverteilt.

Bei einem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha = 0{,}10</math> gilt: Für Werte der Teststatistik über 4,6 wird die [[Hypothese (Statistik)|Hypothese]] der Normalverteilung verworfen; für die Signifikanzniveaus <math>\alpha = 0{,}05</math>, <math>\alpha = 0{,}02</math> und <math>\alpha = 0{,}01</math> ergeben sich die Schranken 6, 7,8 und 9,2.

== Literatur ==
*{{cite journal
| first = Anil K.
| last = Bera
| authorlink =
| coauthors = [[Carlos Jarque|Carlos M. Jarque]]
| year = 1980
| month =
| title = Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals
| journal = Economics Letters
| volume = 6
| issue = 3
| pages = 255–259
| doi = 10.1016/0165-1765(80)90024-5 |language=en
}}
*{{cite journal
| first = Anil K.
| last = Bera
| authorlink =
| coauthors = [[Carlos Jarque|Carlos M. Jarque]]
| year = 1981
| month =
| title = Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence
| journal = Economics Letters
| volume = 7
| issue = 4
| pages = 313–318
| doi = 10.1016/0165-1765(81)90035-5 |language=en
}}
*{{cite book
| first = George
| last = Judge
| authorlink =
| coauthors = et al.
| year = 1988
| title = Introduction and the Theory and Practice of Econometrics
| edition = 3
| pages = 890–892 |language=en
}}

== Siehe auch ==
* [[Shapiro-Wilk-Test]]
* [[Kolmogorow-Smirnow-Test]]
* [[statistischer Test]]

[[Kategorie:Nichtparametrischer Test]]
[[Kategorie:Ökonometrie]]
[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]

Jarque-Bera-Test - Versionsgeschichte

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