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2025-07-01T22:07:58Z

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In der [[Ringtheorie]], einem Zweig der [[Algebra]], bezeichnet das '''Jacobson-Radikal''' eines [[Ring (Algebra)|Rings]] <math>R</math> ein [[Ideal (Mathematik)|Ideal]] von <math>R</math>, das Elemente von <math>R</math> enthält, die man als „nahe an Null“ betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach [[Nathan Jacobson]] benannt, der es als erster untersucht hat.

== Jacobson-Radikal von R-Moduln ==
Im Folgenden sei <math>R</math> ein [[Ring mit Eins]] und <math>M</math> ein [[Modul (Mathematik)|R-Linksmodul]].

=== Definition ===
Der Durchschnitt aller maximalen <math>R</math>-Untermoduln von <math>M</math> wird als (Jacobson-)'''Radikal''' <math>\mathrm{Rad}_R(M)</math> (oder kurz <math>\mathrm{Rad}(M)</math>) bezeichnet.

Ist <math>M</math> endlich erzeugt, so gilt: <math>\mathrm{Rad}(M) = \{x \in M | x \ \mathrm{ ist \ \ddot uberfl \ddot ussig \ in} \ M \}</math>. Dabei heißt ein Element <math>x</math> von <math>M</math> überflüssig, wenn für jeden Untermodul <math>N \subset M</math> gilt: Aus <math>M=N+Rx</math> folgt bereits <math> M = N </math>.

=== Eigenschaften ===
* Ist <math>M</math> endlich [[Erzeuger (Algebra)|erzeugt]] und <math> N \subset M </math> ein Untermodul von <math>M</math> mit <math> M = N + \mathrm{Rad}(M)</math>, dann ist bereits <math>M=N</math>. Diese Eigenschaft wird auch als [[Lemma von Nakayama]] bezeichnet.
* Ist <math>M</math> endlich erzeugt und <math>M \not = 0 </math>, dann ist <math>\mathrm{Rad}(M) \not = M </math>. (Dies ist der Spezialfall <math>N = 0</math> der vorigen Aussage.)
* <math>\mathrm{Rad}(M)=0</math> gilt genau dann, wenn <math>M</math> isomorph zu einem Untermodul eines direkten Produktes einfacher <math>R</math>-Moduln ist.
* <math>M</math> ist genau dann endlich erzeugt und [[halbeinfach]], wenn <math>M</math> [[artinsch]] und <math>\mathrm{Rad}(M)=0</math> ist.

== Jacobson-Radikal von Ringen ==
Im Folgenden sei <math>R</math> ein Ring mit Eins.

=== Definition ===
Das Jacobson-Radikal des Ringes <math>R</math> wird als das Jacobson-Radikal des <math>R</math>-Linksmoduls <math>R</math> definiert.
Es wird als <math>J(R)</math> notiert und durch folgende gleichwertige Bedingungen charakterisiert:
* als Durchschnitt aller [[maximales Ideal|maximalen]] Linksideale / Rechtsideale
* als Durchschnitt aller [[Annullator]]en [[einfacher Modul|einfacher]] Links-<math>R</math>-[[Modul (Mathematik)|Moduln]] / Rechts-<math>R</math>-Moduln
* <math>\{x\in R\mid \forall y\in R\colon 1-xy\in R^\times\}</math>
* <math>\{x\in R\mid \forall y,z\in R\colon 1-zxy\in R^\times\}</math>
* <math>\{x\in R\mid \forall z \in R\colon 1-zx \ \mathrm{ist \ linksinvertierbar} \}</math>

=== Eigenschaften ===
* Der Ring <math>R</math> ist genau dann halbeinfach, wenn er [[artinsch|linksartinsch]] und <math>J(R)=0</math> ist.
* Für jeden linksartinschen Ring <math>R</math> ist der Ring <math>R/J(R)</math> halbeinfach.
* Ist <math>R</math> linksartinsch, dann gilt für jeden <math>R</math>-Linksmodul <math>M</math>: <math>J(R)M=\mathrm{Rad}(M)</math>.
* <math>J(R)</math> ist das kleinste Ideal <math>I</math> von <math>R</math> mit der Eigenschaft, dass <math>R/I</math> halbeinfach ist.
* Ist <math>N</math> ein [[Nilideal|Nillinksideal]] von <math>R</math>, dann gilt: <math>N \subseteq J(R) </math>.
* Ist <math>R</math> linksartinsch, dann ist <math>J(R)</math> ein nilpotentes Ideal.
* Ist <math>R</math> linksartinsch, dann ist das Jacobson-Radikal gleich dem [[Radikal (Mathematik)|Primradikal]].
* Mit dem [[Zornsches Lemma|Zornschen Lemma]] folgt für jeden Ring <math>R\neq\{0\}</math> die Existenz maximaler Ideale, für <math>R\neq\{0\}</math> gilt also <math>J(R)\neq R</math>.

=== Beispiele ===
* Das Jacobson-Radikal eines [[Schiefkörper]]s ist <math>\{0\}</math>; ebenso das Jacobson-Radikal von <math>\mathbb{Z}</math>.
* Das Jacobson-Radikal von <math>\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}</math> ist <math>6\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}</math>.
* Das Jacobson-Radikal des Rings aller oberen <math>n\times n</math>-Dreiecksmatrizen über einem Körper <math>K</math> enthält diejenigen oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge verschwinden.
* Das Jacobson-Radikal jedes [[lokaler Ring|lokalen Rings]] ist sein maximales Ideal, besteht also gerade aus seinen Nicht-Einheiten.
* Das Jacobson-Radikal einer kommutativen [[Banachalgebra]] ist genau der Kern der [[Gelfand-Transformation]].

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Jacobson radical
| Autor = K. A. Zhevlakov
| Url = http://eom.springer.de/J/j054170.htm
}}

[[Kategorie:Ringtheorie]]

Jacobson-Radikal - Versionsgeschichte

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