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2025-06-15T02:55:25Z

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Die '''Jacobi-Polynome''' (nach [[Carl Gustav Jacob Jacobi]]), auch ''hypergeometrische Polynome,'' sind eine Menge polynomieller Lösungen des [[Sturm-Liouville-Problem]]s, die einen Satz [[Orthogonale Polynome|orthogonaler Polynome]] bilden, und zwar auf dem Intervall <math>[-1,1]</math> bezüglich der Gewichtsfunktion <math>(1-x)^\alpha(1+x)^\beta</math> mit <math>\alpha, \beta > -1</math>. Sie haben die explizite Form<ref>Abramowitz, Stegun (1965): Formel 22.3.2 - enthält darüber hinaus umfangreiche Zusatzinformationen und Belege für die weiteren hier genannten Formeln</ref>

:<math>
P_n^{(\alpha,\beta)} (x) =
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{x-1}{2}\right)^m,
</math>
oder mit Hilfe der [[Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion|verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion]] <math>{}_2F_1</math>:
:<math>
P_n^{(\alpha,\beta)} (x) =
{n+\alpha\choose n} \,_2F_1\left(-n,1+n+\alpha+\beta;\alpha+1;\frac{1-x}{2}\right).
</math>

== Rodrigues-Formel ==
:<math>
P_n^{(\alpha,\beta)} (x) = \frac{(-1)^n}{2^n n!}(1-x)^{-\alpha}(1+x)^{-\beta}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x)^{\alpha+n}(1+x)^{\beta+n}\right],~~~\alpha,\beta>-1
</math>

== Rekursionsformeln ==
Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.
:<math>
P_0^{(\alpha,\beta)} (x) =1
</math>
:<math>
P_1^{(\alpha,\beta)} (x) =\frac{1}{2}\bigl(\alpha-\beta+(\alpha+\beta+2)x\bigr)
</math>
:<math>
a^1_n P_{n+1}^{(\alpha,\beta)} (x) = (a_n^2+a_n^3x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) -a_n^4P_{n-1}^{(\alpha,\beta)} (x)
</math>
mit den Konstanten:
:<math>
a^1_n=2(n+1)(n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta)
</math>
:<math>
a^2_n=(2n+\alpha+\beta+1)(\alpha^2-\beta^2)
</math>
:<math>
a^3_n=(2n+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta+2)
</math>
:<math>
a_n^4=2(n+\alpha)(n+\beta)(2n+\alpha+\beta+2)
</math>

== Eigenschaften ==
Der Wert für <math>x=1</math> ist
:<math>P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{\Gamma(\alpha+1)n!}</math>.

Es gilt die folgende Symmetriebeziehung

:<math>P_n^{(\alpha, \beta)} (-x) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (x)\,,</math>

woraus sich der Wert für <math>x = -1</math> ergibt:

:<math>P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .</math>

Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung

:<math>
\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta}
P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx=
\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1}
\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}.
</math>

== Ableitungen ==
Aus der expliziten Form können die <math>k</math>-ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:

:<math>
\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k}
P_n^{(\alpha,\beta)} (x) =
\frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k\; \Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (x) .
</math>

== Nullstellen ==
Die [[Eigenwerte]] der symmetrischen [[Tridiagonalmatrix]]

:<math>
\begin{pmatrix}
a_0 & b_1 & 0 & \dots & 0 \\
b_1 & a_1 & b_2 & \ddots & \vdots \\
0 & b_2 & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & b_{n-1}\\
0 & \dots & 0 & b_{n-1} & a_{n-1}
\end{pmatrix}
</math>

mit

:<math>
a_0 = \frac{\beta-\alpha}{2+\alpha+\beta}
</math>
:<math>
a_j = \frac{\beta^2-\alpha^2}{(2j+\alpha+\beta)(2j+2+\alpha+\beta)},~~~j=1,\dots,n-1
</math>
:<math>
b_1 = \sqrt{\frac{4(1+\alpha)(1+\beta)}{(2+\alpha+\beta)^2(3+\alpha+\beta)}}
</math>
:<math>
b_j = \sqrt{\frac{4j(j+\alpha)(j+\beta)(j+\alpha+\beta)}{(2j-1+\alpha+\beta)(2j+\alpha+\beta)^2(2j+1+\alpha+\beta)}},~~~j=2,\dots,n-1
</math>

stimmen mit den Nullstellen von <math>P_n^{(\alpha,\beta)}</math> überein.<ref>{{Literatur|Titel=EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome|Autor=Peter Junghanns|Herausgeber=Edition am Gutenbergplatz Leipzig|Jahr=2009|ISBN=3937219285|Kommentar=Kapitel 2.2 und 2.4}}</ref> Somit bietet der [[QR-Algorithmus]] die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall <math>(-1,1)</math> liegen.

== Asymptotische Darstellung ==
Mit Hilfe der [[Landau-Symbole]] lässt sich folgende Formel aufstellen:

:<math>
P_n^{(\alpha,\beta)}(\cos\theta) =
\frac{\cos\left(\left[ n+(\alpha+\beta+1)/2 \right] \theta - \left[ 2\alpha+1 \right] \pi/4 \right)}
{\sqrt{\pi n}\left[\sin(\theta/2)\right]^{\alpha+1/2}\left[\cos(\theta/2)\right]^{\beta+1/2}}
+\mathcal{O}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta<\pi.
</math>

== Erzeugende Funktion ==
Für alle <math>x \in \mathbb{R}, z \in \mathbb{C}, |z|<1</math> gilt

:<math>
\sum_{n=0}^\infty P_n^{(\alpha,\beta)}(x) z^n = 2^{\alpha+\beta}[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha}[1+z+f(x,z)]^{-\beta},~~~
f(x,z)=\sqrt{1-2xz+z^2}.
</math>

Die Funktion
:<math>
z \mapsto 2^{\alpha+\beta}[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha}[1+z+f(x,z)]^{-\beta}
</math>
wird daher als [[erzeugende Funktion]] der Jacobi-Polynome bezeichnet.

== Spezialfälle ==
Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:
* für <math>\alpha = \beta = 0</math>: [[Legendre-Polynom]]e
* [[Gegenbauer-Polynom]]e
* [[Tschebyschow-Polynom]]e erster und zweiter Ordnung
* der Radialterm der [[Zernike-Polynom]]e

=== Kugelsymmetrische Gewichtung auf dem Intervall [0,1] ===

Ein nützlicher Spezialfall der Jacobi-Polynome tritt bei kugelsymmetrischen Problemstellungen auf, bei denen Lösungen nur vom Radius <math>r</math> abhängen. Dabei treten häufig Integrale mit Gewicht <math>r^{\beta}</math> auf, etwa bei elektrischen Feldern, Dichteprofilen oder Temperaturverteilungen in Kugelkoordinaten. Durch die Transformation <math>x = 2r - 1</math> lassen sich die Jacobi-Polynome <math>P_n^{(0,\beta)}(x)</math> auf das Intervall <math>[0,1]</math> mit Gewicht <math>r^\beta</math> übertragen.

Dies führt zu einer explizit orthonormalisierten Darstellung:

<math>
F_n^{(\beta)}(r) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n+k} \frac{\sqrt{1 + \beta + 2n} \cdot \Gamma(n + k + \beta + 1)}{\Gamma(k + 1)\, \Gamma(n - k + 1)\, \Gamma(k + \beta + 1)} \, r^k, \quad r \in [0,1]
</math>

Diese Polynome erfüllen die Orthonormalitätsrelation:

<math>
\int_0^1 F_n^{(\beta)}(r) \, F_m^{(\beta)}(r) \, r^\beta \, dr = \delta_{nm}.
</math>

Die Funktionen <math>F_n^{(\beta)}(r)</math> bilden eine normierte, monomiale Basis und sind insbesondere nützlich für radial gewichtete Funktionen auf Kugelintervallen. Sie entsprechen (bis auf Normierung) den Jacobi-Polynomen <math>P_n^{(0,\beta)}(2r - 1)</math>.

== Literatur ==
*{{MathWorld|JacobiPolynomial|Jacobi Polynomial}}
* {{Literatur
|Autor = Sherwin Karniadakis
|Titel = Spectral/hp Element Methods for CFD
|Auflage = 1.
|Verlag = Oxford University Press
|Ort = New York
|Jahr = 1999
|ISBN = 0-19-510226-6
}}
* {{Literatur
|Autor = I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik
|Titel = Table of Integrals, Series, and Products
|Auflage = 5.
|Verlag = Academic Press Inc.
|Ort = Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto
|Jahr = 1994
|ISBN = 0-12-294755-X
}}
* {{Literatur
|Autor = Peter Junghanns
|Titel = EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome
|Auflage = 1.
|Verlag = Edition am Gutenbergplatz Leipzig
|Ort = Leipzig
|Jahr = 2009
|ISBN = 3937219285
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Jacobipolynom}}
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Polynom]]
[[Kategorie:Carl Gustav Jacob Jacobi als Namensgeber]]

Jacobi-Polynom - Versionsgeschichte

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