https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?action=history&feed=atom&title=Jackknife-Methode 2026-05-30T05:05:04Z Versionsgeschichte dieser Seite in Wikipedia (Deutsch) – Lokale Kopie MediaWiki 1.43.8 https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Jackknife-Methode&diff=1397994&oldid=prev 2024-11-30T11:03:45Z

<p></p> <p><b>Neue Seite</b></p><div>Die &#039;&#039;&#039;{{lang|en|Jackknife-Methode}}&#039;&#039;&#039; ([[Englische Sprache|englisch]] für ‚Taschenmesser‘) ist in der [[Statistik]] eine Methode des [[Resampling]]. Jackknife dient dazu, den [[zufälliger Fehler|zufälligen Fehler]] einer [[Schätzmethode (Statistik)|Schätzmethode]] und eine etwaige [[Verzerrung einer Schätzfunktion|Verzerrung]] (engl. &#039;&#039;{{lang|en|bias}}&#039;&#039;) zu schätzen.<br /> Aus Überlegungen zur Verbesserung der Jackknife-Methode entstand das [[Bootstrapping-Verfahren]]. Die Jackknife-Methode wurde 1956 bzw. 1958 zuerst von M. H. Quenouille und [[John W. Tukey]] veröffentlicht&lt;ref&gt;M. H. Quenouille: &#039;&#039;Notes on bias in estimation.&#039;&#039; Biometrika, 43, S. 353ff (1956)&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;J. W. Tukey: &#039;&#039;Bias and confidence in not quite large samples.&#039;&#039; Annls. Math. Stat. 29, S. 614 (1958)&lt;/ref&gt;. Der Name soll die allgemeine Einsetzbarkeit der Methode für statistische Zwecke betonen.<br /> <br /> == Methode ==<br /> Häufig wird Jackknife mit &#039;&#039;{{lang|en|delete-1 Jackknife}}&#039;&#039; gleichgesetzt. Dabei wird aus der ursprünglichen Stichprobe &lt;math&gt;x_1 \dots x_N&lt;/math&gt; jeweils &#039;&#039;ein&#039;&#039; Wert weggelassen und der Schätzer für diese reduzierte Stichprobe berechnet. Wird aus der ursprünglichen Stichprobe nicht nur ein Wert weggelassen, sondern d viele, so spricht man von &#039;&#039;delete-d Jackknife&#039;&#039;.<br /> Durch das Weglassen von &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; von insgesamt &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; Werten, können &lt;math&gt;\binom{N}{d}&lt;/math&gt; unterschiedliche reduzierte Stichproben erzeugt werden, die &lt;math&gt;N-d&lt;/math&gt; viele Werte haben.<br /> <br /> Der [[Stichprobenmittelwert]] der ursprünglichen Stichprobe sei &lt;math&gt;\hat A = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} x_k&lt;/math&gt;.<br /> Im Folgenden wird die Delete-1-Jackknife-Methode beschrieben.<br /> Der Mittelwert der reduzierten Jackknife-Stichprobe &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, welche durch Streichen des Wertes &lt;math&gt;X_i&lt;/math&gt; entsteht, sei:<br /> :&lt;math&gt;A_{(i)}:=\frac{1}{N-1}\sum_{k \neq i} x_k.&lt;/math&gt;<br /> Dann ist der Mittelwert über alle Jackknife-Stichproben gegeben durch:<br /> :&lt;math&gt;A_{(*)}:=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} A_{(i)}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Die Varianz des Stichprobenmittelwertes kann durch folgende Formel abgeschätzt werden:&lt;ref&gt;Bradley Efron, Charles Stein: &#039;&#039;The Jackknife Estimate of Variance.&#039;&#039; The Annals of Statistics, 9(3), S. 586–596 (1981)&lt;/ref&gt;<br /> :&lt;math&gt;\operatorname{Var}(\overline{x})=\frac{N-1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left( A_{(i)}-{A}_{(*)} \right)^2&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Die Jackknife-Methode liefert für die [[Verzerrung einer Schätzfunktion|Verzerrung der Schätzfunktion]] &lt;math&gt;\hat{A}&lt;/math&gt; den geschätzten Wert:<br /> :&lt;math&gt;\widehat{\text{bias}}_\mathrm{(A)}:= (N-1)({A}_{(*)}-\hat A)&lt;/math&gt;<br /> und somit ist der um die Verzerrung korrigierte Wert<br /> :&lt;math&gt;\hat{A}_{\text{jack}}=\hat{A} - \widehat{\text{bias}}_\mathrm{A}=N\hat{A} - (N-1)\hat{A}_\mathrm{(*)}&lt;/math&gt;<br /> <br /> == Literatur ==<br /> * Joseph Lee Rodgers: &#039;&#039;The Bootstrap, the Jackknife, and the Randomization Test: A Sampling Taxonomy&#039;&#039;. Multivariate Behavioral Research, 34, Nr. 4 S. 441ff (1999)<br /> <br /> == Einzelnachweise ==<br /> &lt;references /&gt;<br /> <br /> [[Kategorie:Stichprobentheorie]]</div>

imported>Georg Hügler