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2026-01-03T19:03:07Z

Definition: Verständlichkeit

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{{DISPLAYTITLE:j-Funktion}}
[[Datei:KleinInvariantJ.jpg|mini|200px|j-Funktion in der komplexen Ebene (ohne Faktor 12^3)]]

Die im 19. Jahrhundert durch den Mathematiker [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] untersuchte '''j-Funktion''' oder '''absolute Invariante''' (j-Invariante, Klein-[[Invariante (Mathematik)|Invariante]]) spielt bis heute eine wichtige Rolle in der Theorie der [[elliptische Funktion | elliptischen Funktionen]] und [[Modulform]]en. Es gilt, dass zwei [[Gitter (Geometrie)|Gitter]] genau dann '''ähnlich''' sind, wenn ihre j-Invarianten übereinstimmen. Sie ist eine grundlegende [[Modulfunktion]] in dem Sinne, dass sich alle weiteren Modulfunktionen aus ihr durch [[rationale Funktion]]en ergeben.

== Definition ==
Für <math>\tau\in\mathbb{H}:=\{z\in\mathbb{C};\Im(z)>0\}</math> ([[obere Halbebene]]) ist

:<math>j(\tau):=12^3\frac{g_2^3(\tau)}{\Delta(\tau)}</math>,

dabei ist
*<math>\Delta(\tau):= g_2^3(\tau)-27g_3^2(\tau)</math> die [[Diskriminante (Modulform)|Diskriminante]];
*<math>g_2(\tau)=60G_4(\tau)</math> und <math>g_3(\tau)=140G_6(\tau)</math>, wobei <math>G_{2k}</math> die [[Eisensteinreihe]]n zum [[Gitter (Mathematik) | Gitter]] <math>\mathbb{Z}\tau+\mathbb{Z}=\{m\tau+n|m,n\in\mathbb{Z}\}</math> sind.

Beachte, dass <math>12^3=1728</math>.

== Eigenschaften ==
[[Datei:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|mini|288px|Fundamentalbereich (grau) der j-Funktion]]
Die j-Funktion ist holomorph auf <math>\mathbb{H}</math> (sie hat nur einen einfachen Pol in der Spitze, also für <math>\Im(z)\to \infty</math>)<ref>Das folgt daraus, dass im Zähler Eisensteinreihen stehen, die in diesem Grenzfall holomorph sind, und im Nenner die Diskriminante, die eine Spitzenform ist und eine einfache Nullstelle in dem betrachteten Grenzfall hat</ref>, die Bezeichnung absolute Invariante erklärt sich aus dem Transformationsverhalten unter den Substitutionen der [[Modulgruppe]]
<math>\Gamma :=SL_2(\mathbb{Z})= \left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}, ad-bc=1 \right\}</math>, es gilt nämlich:

:<math>j\left( \frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = j(\tau)</math>, d. h., <math>j</math> ist eine [[Modulfunktion]].

Die j-Funktion bildet <math>\mathbb{H}</math> surjektiv auf <math>\mathbb C</math> ab. Für Punkte <math>z,w\in\mathbb{H}</math>
gilt <math>j(z)=j(w)</math> dann und nur dann, wenn es eine komplexe Zahl <math>a\in\mathbb{C}^*</math> gibt, die das Gitter
<math>\mathbb{Z}+z\mathbb{Z}</math> auf das Gitter <math>\mathbb{Z}+w\mathbb{Z}</math> überführt, also genau dann, wenn die Quotienten <math>\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+z\mathbb{Z})</math> und <math>\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+w\mathbb{Z})</math> als [[elliptische Kurve]]n isomorph sind. Sie parametrisiert also eindeutig die Elliptischen Funktionen. Sie liefert eine Bijektion <math>\mathbb {H} \backslash \Gamma \to \mathbb {C}</math>. Ihr Fundamentalbereich ist durch die Modulfigur gegeben (siehe Abbildung).

Ist <math>\tau</math> ein Element aus einem [[quadratischer Zahlkörper|quadratischen Zahlkörper]] mit positiven Imaginärteil, so ist <math>j(\tau)</math> eine [[Algebraische Zahl|ganzalgebraische Zahl]].

Jede Modulfunktion ist eine [[rationale Funktion]] der j-Funktion.

== Fourierentwicklung ==
Die j-Funktion lässt sich in eine [[Fourierreihe]] entwickeln:
: <math>j(\tau)=\frac1q+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+\ldots=\sum_{n=-1}^\infty c_nq^n</math>
mit <math>q=\mathrm e^{2\pi\mathrm i\tau}.</math>

Alle Fourierkoeffizienten <math>c_n</math>:
:<math>1, 744, 196884, 21493760, \dots</math> ({{OEIS|A000521}})
sind [[natürliche Zahlen]]. Für ihr Wachstum gilt die asymptotische Formel

:<math>c_n\cong\frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}</math>,

die 1932 von [[Hans Petersson|Petersson]] und unabhängig davon 1938 von [[Hans Rademacher|Rademacher]] bewiesen wurde.

Die Fourierkoeffizienten sind Linearkombinationen der Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der [[Monstergruppe]] mit kleinen ganzzahligen Koeffizienten. Dies folgt aus einer tiefen mathematischen Beziehung, die von [[John McKay (Mathematiker)|McKay]], [[John Horton Conway|Conway]], [[Simon Norton|Norton]] vermutet und von [[Richard Borcherds]] bewiesen wurde („[[Mondschein-Vermutung|monstrous moonshine]]“).

== Literatur ==
* [[Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
* [[Max Koecher]] & [[Aloys Krieg]]: ''Elliptische Funktionen und Modulformen'', 2. Aufl., Springer, Berlin (2007) ISBN 978-3-540-49324-2

== Weblinks ==
* {{MathWorld|j-Function|j-Function}}
* [https://cms.math.ca/openaccess/cmb/v42/berndt7376.pdf Ramanujan and the Modular ''j''-Invariant] (PDF; 14 S., 143 kB)
* [http://math.oregonstate.edu/~swisherh/AsaScherer.pdf A. Scherer, The j-function and the Monster, pdf]

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

{{DEFAULTSORT:J Funktion}}
[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

J-Funktion - Versionsgeschichte

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