imported>Hutch: Abschnittlink korrigiert, Kleinkram

2026-04-01T07:16:46Z

Abschnittlink korrigiert, Kleinkram

Neue Seite

Die '''Itō-Formel''' (auch '''Itō-[[Wolfgang Döblin|Döblin]]-Formel'''; selten auch '''Lemma von Itō'''), benannt nach dem japanischen Mathematiker [[Itō Kiyoshi]], ist eine zentrale Aussage in der [[Stochastische Analysis|stochastischen Analysis]]. In seiner einfachsten Form ist es eine Integraldarstellung für [[Stochastischer Prozess|stochastische Prozesse]], die Funktionen eines [[Wiener-Prozess]]es sind. Es entspricht damit der Kettenregel bzw. Substitutionsregel der klassischen [[Differentialrechnung|Differential-]] und [[Integralrechnung]].

Itô publizierte 1951 einen Beweis.<ref>{{Literatur|Autor=Kiyoshi Itô|Datum=1951|Titel=On a formula concerning stochastic differentials|Sammelwerk=Nagoya Math. J.|Band=3|Seiten=55–65|Online=https://projecteuclid.org/journals/nagoya-mathematical-journal/volume-3/issue-none/On-a-formula-concerning-stochastic-differentials/nmj/1118799221.full}}</ref>

== Version für Wiener-Prozesse ==
Sei <math>(W_t)_{t \geq 0}</math> ein (Standard-)Wiener-Prozess und <math>h\colon \R \to \R</math> eine zweimal [[Differentialrechnung|stetig differenzierbare]] Funktion. Dann gilt

:<math>h(W_t) = h(W_0) + \int_0^t h'(W_s) \, {\rm d} W_s + \frac{1}{2} \int_0^t h''(W_s) \, {\rm d}s\,.</math>

Dabei ist das erste Integral als [[Itō-Integral]] und das zweite Integral als ein gewöhnliches [[Riemann-Integral]] (über die stetigen Pfade des Integranden) zu verstehen.

Für den durch <math>Y_t = h(W_t)</math> für <math>t \geq 0</math> definierten Prozess lautet diese Darstellung in [[Differential (Mathematik)|Differentialschreibweise]]

:<math>{\rm d}Y_t = h'(W_t) \, {\rm d}W_t + \frac{1}{2} h''(W_t) \, {\rm d}t\,.</math>

== Version für Itō-Prozesse ==
Ein stochastischer Prozess <math> (X_t)_{t \ge 0}</math> heißt [[Itō-Prozess]], falls
: <math> X_t = X_0+\int_0^t a_s\,{\rm d}s+\int_0^t b_s\,{\rm d}W_s </math>
für zwei stochastische Prozesse <math>a_s</math>, <math>b_s</math> gilt (genaueres dazu unter [[stochastische Integration]]). In Differentialschreibweise:
: <math> {\rm d}X_t=a_t\,{\rm d}t+b_t\,{\rm d}W_t\,.</math>

Ist <math> h\colon \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} </math>
eine in der ersten Komponente einmal und in der zweiten zweimal stetig differenzierbare Funktion, so ist auch der durch <math>Y_t :=h(t,X_t)</math> definierte Prozess ein Itō-Prozess, und es gilt<ref>Hui-Hsiung Kuo: ''Introduction to Stochastic Integration.'' Springer, 2006, ISBN 978-0387-28720-1, S. 103 ({{Google Buch |BuchID=VEAxuzpCvj0C |Seite=103}}).</ref>
:<math>\begin{align} {\rm d}Y_t &= \frac{\partial h}{\partial t}(t,X_t)\,{\rm d}t + \frac{\partial h}{\partial x}(t,X_t)\, {\rm d}X_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} (t,X_t) ({\rm d}X_t)^2\\
&= \left(\frac{\partial h}{\partial x}(t,X_t)\, a_t + \frac{\partial h}{\partial t}(t,X_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} (t,X_t)\, b_t^2\right){\rm d}t+\frac{\partial h}{\partial x}(t,X_t)\, b_t \,{\rm d}W_t\,.
\end{align}</math>

Hierbei bezeichnen <math>\tfrac{\partial h}{\partial t}</math> und <math>\tfrac{\partial h}{\partial x}</math> die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] der Funktion <math>h</math> nach der ersten bzw. zweiten Variablen.
Die zweite Darstellung folgt aus der ersten durch Einsetzen von <math>({\rm d}X_t)^2 = b_t^2 \, {\rm d}t</math> und Zusammenfassen der <math>{\rm d} t</math>- und <math>{\rm d} W_t</math>-Terme.

=== Mehrdimensionale Version ===
Die Formel lässt sich auf <math>n</math> Itō-Prozesse <math>X=(X_1,\dots,X_n)</math> verallgemeinern. Sei <math>h:[0,\infty)\times \mathbb{R}^n</math> in <math>C^1</math> in der ersten und <math>C^2</math> in den restlichen Variablen. Definiere <math>Y(t) :=h(t,X(t))</math> dann gilt
:<math>{\rm d}Y(t) = \frac{\partial h}{\partial t}(t,X(t))\,{\rm d}t + \sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial h}{\partial i}(t,X(t))\, {\rm d}X_i(t) + \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j=1}^n\frac{\partial^2 h}{\partial i\partial j} (t,X(t)) {\rm d}[X_{i},X_{j}](t).</math>

== Version für Semimartingale ==
Sei <math> (X_t)_{t \geq 0} =(X_t^1,\dotsc,X_t^d)_{t \geq 0}</math> ein <math>\R^d</math>-wertiges [[Semimartingal]] und sei <math> F\in C^2(\R^d, \R) </math>. Dann ist <math>(F(X_t))_{t \geq 0}</math> wieder ein Semimartingal und es gilt
:<math>
\begin{align}
F(X_t)-F(X_0)= & \sum_{j=1}^d \int_{0+}^t \frac{\partial F}{\partial x^j}(X_{s-}){\rm d}X_s^j + \frac{1}{2} \sum_{j,k=1}^d \int_{0+}^t\frac{\partial^2 F}{\partial x^j \partial x^k}(X_{s-}) {\rm d}[X^j,X^k]^c_s\\
&{}+ \sum_{0<s\leq t}\left( F(X_s)-F(X_{s-}) - \sum_{j=1}^d \frac{\partial F}{\partial x^j}(X_{s-}) \Delta X_s^j \right).
\end{align}
</math>

Hierbei bedeutet:
* <math>\textstyle X_{s-} = \lim_{u \uparrow s} X_u</math> der linksseitige Grenzwert,
* das Integrationsgebiet <math>1_{[0+,t]}</math> bedeutet <math>1_{(0,t]}</math>. Ein Semimartingal kann bei <math>X_0</math> einen Sprung haben, das heißt <math>X_0\neq X_{0+}</math> und somit wird sichergestellt, dass nur über <math>(0,t]</math> integriert wird und der Anfangswert <math>F(X_0)</math> wird deshalb nicht über das Integral gedeckt.
* <math>\Delta X_s^j = X_s^j - X_{s-}^j</math> der zugehörige [[Sprungprozess]].
* Mit <math>[X^j, X^k]^c</math> wird die [[Variation (Mathematik)#Quadratische Variation|quadratische Kovariation]] der stetigen Anteile der Komponenten <math>X^j</math> und <math>X^k</math> bezeichnet.

Falls <math>X</math> ein stetiges Semimartingal ist, verschwindet die letzte große Klammer nach dem Plus und es gilt <math>[X^j, X^k]^c = [X^j, X^k]</math>.

=== Bemerkung ===
Schreibt man den Ausdruck <math>[X^j,X^k]_t^c:=[X^j,X^k]_t - \sum\limits_{s\leq t}\Delta X_s^j\Delta X_s^k</math> aus, so erhält man für eine Funktion <math> f\in C^2(\R^d, \R) </math> die Form
:<math>
\begin{align}
f(X_t)-f(X_0)= & \sum_{j=1}^d \int_{0+}^t \frac{\partial f}{\partial x^j}(X_{s-}){\rm d}X_s^j + \frac{1}{2} \sum_{j,k=1}^d \int_{0+}^t\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k}(X_{s-}) {\rm d}[X^j,X^k]_s\\
&{}+ \sum_{0<s\leq t}\left(\Delta f(X_s) - \sum_{j=1}^d \frac{\partial f}{\partial x^j}(X_{s-}) \Delta X_s^j - \frac{1}{2} \sum_{k,j=1}^d \frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k}(X_{s-}) \Delta X_s^j\Delta X_s^k \right).
\end{align}
</math>

wobei <math>\Delta f(X_s):= f(X_s)-f(X_{s-})</math>.

=== Für das Stratonowitsch-Integral ===
{{Hauptartikel|Stratonowitsch-Integral#Itō-Formeln}}

Sei <math>X=(X^1,\dots,X^n)</math> ein <math>\R^n</math>-Semimartingal und <math>f\in C^2(\R^n,\R)</math>, dann ist <math>f(X)</math> ein Semimartingal und es gilt<ref>{{Literatur|Autor=Philip E. Protter|Titel=Stochastic Integration and Differential Equations|Hrsg=Springer|Datum=2004|Seiten=277-278|ISBN=3-540-00313-4}}</ref>
:<math> f(X_t)-f(X_0)=\sum\limits_{i=1}^n\int_{0+}^t \frac{\partial f}{\partial x_i}(X_{s-})\circ dX^i_s + \sum\limits_{0<s\leq t}\left(f(X_s)-f(X_{s-})-\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(X_{s-})\Delta X^i_s\right).</math>

== Version für Funktionen mit beschränkter quadratischer Variation ==
[[Hans Föllmer]] erweiterte die Formel von Itō auf (deterministische) Funktionen mit beschränkter quadratischer Variation.<ref>{{Literatur|Autor=Hans Föllmer|Titel=Calcul d'Ito sans probabilités|Sammelwerk=Séminaire de probabilités de Strasbourg|Band=15|Datum=1981|Seiten=143-144|Online=https://www.numdam.org/item/SPS_1981__15__143_0/}}</ref>

Sei <math>f\in C^2</math> eine reellwertige Funktion und <math>x:{[0,\infty[}\to \mathbb{R}</math> eine [[Càdlàg-Funktion]] mit endlicher quadratischer Variation. Dann gilt
:<math>\begin{align} f(x_t)&=f(x_0)+\int_0^t f'(x_{s-})\mathrm{d}x_s + \frac{1}{2}\int_{]0,t]}f''(x_{s-})d[x,x]_s
\\&+\sum_{0\leq s\leq t}\left(f(x_s)-f(x_{s-})-f'(x_{s-})\Delta x_{s} -\frac{1}{2}f''(x_{s-})(\Delta x_{s})^2)\right).\end{align}</math>

Föllmers Definition von endlicher quadratischer Variation benötigt eine schwer nachweisbare Bedingung an die [[Zerlegungssatz von Lebesgue|Lebesgue-Zerlegung]] eines bestimmt gewählten [[Radonmaß|Radonmaßes]].<ref>{{Literatur |Autor=François Coquet, Adam Jakubowski, Jean Mémin, Leszek Słominski |Titel=Natural Decomposition of Processes and Weak Dirichlet Processes |Sammelwerk=In Memoriam Paul-André Meyer |Band=1874 |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-30994-9 |DOI=10.1007/978-3-540-35513-7_8 |Seiten=81–116 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-540-35513-7_8 |Abruf=2026-01-25}}</ref> So müssen nämlich die [[Atom (Maßtheorie)|Atome]] des Maßes eindeutig den Sprüngen der Funktion entsprechen. Eine alternative Definition der pfadweisen quadratischen Variation führt [[Vladimir Vovk]] ein, die unter gewissen zusätzlichen Bedingungen der Föllmerschen Definition gleicht. [[Henry Chiu]] und [[Rama Cont]] hingegen nutzen Eigenschaften der [[Càdlàg-Funktion#Raum der Càdlàg-Funktione|Skorochod-Topologie]] auf dem Raum <math>\mathcal{D}</math> aller Càdlàg-Funktionen aus, um der Bedingung an die Lebesgue-Zerlegung auszuweichen. Dadurch lässt sich die pfadweise quadratische Variation auch im mehrdimensionalen Rahmen definieren und überdies die Lebesgue-Zerlegung als Folgerung erhalten.<ref>{{Literatur |Autor=Henry Chiu, Rama Cont |Titel=On pathwise quadratic variation for càdlàg functions |Sammelwerk=Electronic Communications in Probability |Band=23 |Nummer=none |Datum=2018-01-01 |ISSN=1083-589X |DOI=10.1214/18-ECP186 |Online=https://projecteuclid.org/journals/electronic-communications-in-probability/volume-23/issue-none/On-pathwise-quadratic-variation-for-c%c3%a0dl%c3%a0g-functions/10.1214/18-ECP186.full |Abruf=2026-01-25}}</ref>

== Beispiele ==
* Für <math>Y_t = \sin(W_t)</math> gilt <math>{\rm d}Y_t = \cos(W_t)\,{\rm d}W_t - \tfrac{1}{2}\sin(W_t)\,{\rm d}t</math>.

* Mit Hilfe der Formel kann man einfach beweisen, dass die [[geometrische brownsche Bewegung]] <math> S_t=S_0 e^{rt- \frac{1}{2} \sigma^2 t +\sigma W_t}</math>eine Lösung der [[stochastische Differentialgleichung|stochastischen Differentialgleichung]] von [[Black-Scholes-Modell|Black und Scholes]]<math>{\rm d}S_t=r S_t\, {\rm d}t+ \sigma S_t\, {\rm d}W_t</math> ist. Hierzu wählt man <math> X_t=W_t</math>, also <math>a_t=0,\; b_t=1 </math>. Dann ergibt die Formel mit <math>h(t,x) = S_0 e^{rt- \frac{1}{2} \sigma^2 t +\sigma x}</math>:
::<math> {\rm d}S_t=\left[\left(r- \frac{\sigma^2}{2} +\frac{\sigma^2}{2}\right) S_0 e^{rt-\frac{1}{2} \sigma^2 t +\sigma W_t} \right]{\rm d}t+\left[\sigma S_0 e^{rt- \frac{1}{2} \sigma^2 t +\sigma W_t}\right]{\rm d}W_t =rS_t\, {\rm d}t+\sigma S_t \,{\rm d}W_t\,.</math>

* Ist <math>(\mathbf W_t)_{t \geq 0}</math> ein <math>d</math>-dimensionaler Wiener-Prozess und <math>F \colon \R^d \to \R</math> zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für <math>Y_t = F(\mathbf W_t)</math>
:: <math>\mathrm d Y_t = \nabla F(\mathbf W_t)^{\mathsf T} \cdot \mathrm d \mathbf W _t + \frac{1}{2} \Delta F(\mathbf W_t) \, \mathrm dt</math>,
: wobei <math>\nabla F</math> den [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\Delta F</math> den [[Laplace-Operator]] von <math>F</math> bezeichnen.

== Unendlich-dimensionale Itō-Formeln ==
Es gibt verschiedene Varianten von Itō-Formeln für unendlich-dimensionale Räume (z. B. Pardoux<ref>{{Literatur|Autor=E. Pardoux, E|Titel=Équations aux dérivées partielles stochastiques de type monotone|Sammelwerk=Séminaire Jean Leray|Nummer=3|Datum=1974|Online=https://www.numdam.org/item/SJL_1974-1975___3_A2_0/}}</ref>, Gyöngy-Krylow<ref>{{Literatur|Autor=I. Gyöngy und N. V. Krylov|Datum=1981|Titel=Ito formula in banach spaces|Sammelwerk=Arató, M., Vermes, D., Balakrishnan, A.V. (eds) Stochastic Differential Systems|Band=36|Hrsg=Springer, Berlin, Heidelberg|DOI=10.1007/BFb0006409}}</ref>, Brzezniak-van Neerven-Veraar-Weis<ref>{{Literatur|Titel=Ito's formula in UMD Banach spaces and regularity of solutions of the Zakai equation|Autor=Z. Brzezniak, J. M. A. M. van Neerven, M. C. Veraar und L. Weis|Datum=2008}}</ref>).

== Siehe auch ==
* [[Euler-Maruyama-Verfahren]]

== Literatur ==
* Philip E. Protter: ''Stochastic Integration and Differential Equations'' (2nd edition), Springer, 2004, ISBN 3-540-00313-4.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Finanzmathematik]]
[[Kategorie:Satz (Stochastik)|Ito-Formel]]

Itō-Formel - Versionsgeschichte

imported>Hutch: Abschnittlink korrigiert, Kleinkram