imported>Einstein4fs: /* Formalismus */

2025-06-05T00:55:51Z

Formalismus

Neue Seite

{{Dieser Artikel|behandelt den (starken) Isospin; zum [[Schwacher Isospin|schwachen Isospin]] siehe dort.}}
Der '''Isospin''' ist in der Theorie der [[Elementarteilchen]] eine [[Flavour]]-[[Quantenzahl]], die eine innere [[Symmetrie (Physik)|Symmetrie]] unter der [[Starke Wechselwirkung|starken Wechselwirkung]] beschreibt und zur Klassifizierung der [[Hadron]]en genutzt wird. Die Bezeichnung (''iso-'': „quantitativ gleich“, von altgriechisch ἴσος) verweist darauf, dass das System wie ein Spin-½-Teilchen erscheint, obwohl es sich nicht um einen [[Spin]] handelt.

Allgemeiner wird das Konzept (so auch in der [[Festkörperphysik]]) verwendet, um [[Zweizustandssystem]]e zu beschreiben. Die beiden [[Quantenmechanik|quantenmechanischen]] [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] werden als gegensätzliche Orientierungen des Isospins aufgefasst (±<math>I_z</math>). Befindet sich das System in einer Überlagerung der beiden Zustände, so wird das durch die beiden anderen Komponenten (<math>I_x, I_y</math>) beschrieben.

== Entdeckung ==
Bei [[Streuprozess]]en an [[Spiegelkern]]en wurde festgestellt, dass die starke Wechselwirkung nicht zwischen den neutralen [[Neutron]]en und positiv geladenen [[Proton]]en unterscheidet, d. h., dass sie ladungsunabhängig wirkt. Bezüglich der Kernkraft sind Neutron und Proton also identisch, und ihr geringfügiger Massenunterschied hängt mit der [[Elektrische Ladung|elektrischen Ladung]] zusammen. Daraus folgerte [[Werner Heisenberg]] 1932,<ref>{{Literatur |Autor=W. Heisenberg |Titel=Über den Bau der Atomkerne |Sammelwerk=[[Zeitschrift für Physik]] |Band=77 |Datum=1932 |Seiten=1–11 |DOI=10.1007/BF01342433 |bibcode=1932ZPhy...77....1H}}</ref> dass Proton und Neutron zwei verschiedene Ladungszustände ein und desselben Teilchens, des [[Nukleon]]s, sind.

Zur weiteren Beschreibung „entlieh“ er den quantenmechanischen Spinformalismus vom entsprechenden Verhalten der [[Elektron]]en. Auch bei ihnen gibt es zwei Zustände (''Spin-up'' und ''Spin-down''), die durch eine bestimmte Kraft – hier die rein elektrische Kraft – nicht unterscheidbar sind.

Der Name ''Isospin'' wurde 1937 von [[Eugene Wigner]] geprägt und stand zunächst für ''isotoper Spin''. Da dies jedoch als Hinweis auf eine Änderung der [[Neutronenzahl]] missdeutet werden kann (vgl. [[Isotop]]), wird heute der Ausdruck ''isobarer Spin'' verwendet.
[[Murray Gell-Mann]] kombinierte die Eigenschaften Isospin und [[Strangeness]] im [[Eightfold Way]], einem direkten Vorläufer des Quarkmodells und der [[Quantenchromodynamik]].

== Formalismus ==
{| class="wikitable float-right" style="text-align:center"
!
! colspan = "2" | up
|-
| Quark / Antiquark
| style="width: 4em"| '''u'''
| style="width: 4em"| '''u'''
|-
| Isospin <math>I_z</math>
| +½
| −½
|-
!
! colspan = "2" | down
|-
| Quark / Antiquark
| '''d'''
| '''d'''
|-
| Isospin <math>I_z</math>
| −½
| +½
|}

Wie der normale Spin der fundamentalen [[Fermionen]] (wie beispielsweise des Elektrons) hat die Quantenzahl des Isospins immer den Wert {{Bruch|2}}.

Die [[kanonisch]] verwendete dritte Komponente <math>I_z</math> (oft auch mit <math>I_3</math> bezeichnet) des Isospins repräsentiert seine Einstellung und weist die zwei möglichen Werte +{{Bruch|2}} und −{{Bruch|2}} auf. Diese stehen im Quarkmodell für die beiden [[Quark (Physik)|Quarks]]
* '''u''' (''up'', engl.: oben): <math>I_z = +\tfrac 1 2</math> und
* '''d''' (''down'', engl.: unten): <math>I_z = -\tfrac 1 2</math>.
Die Quarks '''s''', '''c''', '''b''' und '''t''' tragen keinen Isospin. Für [[Antiteilchen|Anti]]<nowiki />quarks ändert sich das Vorzeichen von <math>I_z</math>.

Damit ist <math>I_z</math> wie folgt durch die Anzahl der '''u'''- und '''d'''-Quarks sowie der zugehörigen Antiquarks gegeben:

:<math>I_z = \frac{1}{2}\Big((n_u - n_{\bar u}) - (n_d - n_{\bar d})\Big)</math>.

Daraus ergibt sich für das Duplett von Proton und Neutron:
* Proton '''p''' = '''uud''' <math>\Rightarrow I_z = +\tfrac 1 2</math>
* Neutron '''n''' = '''udd''' <math>\Rightarrow I_z = -\tfrac 1 2</math>.

In älterer Literatur zur [[Kernphysik]] wird manchmal die Konvention mit entgegengesetztem Vorzeichen verwendet, was aber keinen physikalischen Unterschied ausmacht, solange sie einheitlich verwendet wird.

=== Hyperladung ===
{| class="wikitable float-right" style="text-align:center"
!
! Teilchen
! Bestandteile
! el. Ladung <math>Q</math>
! Isospin <math>I_z</math>
! Hyperldg. <math>Y</math>
|- style="border-top: 2pt black solid"
|-
| rowspan = "4" | Quarks
| Up
| u
| +⅔
| +½
| +⅓
|-
| Anti-Up
| u
| −⅔
| −½
| −⅓
|-
| Down
| d
| −⅓
| −½
| +⅓
|-
| Anti-Down
| d
| +⅓
| +½
| −⅓
|-
| rowspan = "2" | Hadronen
| Proton
| uud
| +1
| +½
| +1
|-
| Neutron
| udd
| 0
| −½
| +1
|}

Aufgrund ihres Isospins und ihrer elektrischen Ladung <math>Q</math> lässt sich vielen Teilchen mit Hilfe der [[Gell-Mann-Nishijima-Formel]] eine [[Hyperladung]] <math>Y</math> zuordnen:
:<math> Y = 2 (Q-I_z).</math>

Die Hyperladung ist
* für Up- und Down-Quark jeweils: <math>Y = +\tfrac 1 3 \,</math>
* für Anti-Up- und Anti-Down-Quark jeweils: <math>Y = -\tfrac 1 3 \!\,</math>
* für die [[Nukleon]]en ([[Proton]] p, [[Neutron]] n) jeweils: <math>Y = +1 \!\,</math>.

<div style="clear:both;"></div>

=== Quantenfeldtheorie ===
Im Rahmen der [[Quantenfeldtheorie]] wird dem Isospin der zweidimensionale komplexe [[Vektorraum]] <math>\mathbb{C}^2</math> zugeordnet, in dem sich die Quarks '''u''' und '''d''' als [[Basisvektor]]en darstellen lassen:
:<math> \mathbf{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \mathbf{d} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right). </math>
Dadurch ist es möglich, die Umwandlung von Nukleonen zu beschreiben, wie sie im [[Radioaktivität|radioaktiven Zerfall]] stattfindet: <math> \mathbf{n} \to \mathbf{p} + \mathrm e^- + \bar\nu</math>. Dies ist eine Transformation der [[Spezielle unitäre Gruppe #Bedeutung in der Physik|SU(2)]]-Symmetrie, die in der Theorie der schwachen Wechselwirkung beschrieben wird.

Mathematisch werden diese Transformationen durch [[Erzeugungs- und Vernichtungsoperator|Leiteroperatoren]] vermittelt, die den [[Eichboson]]en der Feldtheorie zugeordnet werden. So wird beispielsweise der Übergang <math> \mathbf{d} \rightarrow \mathbf{u} </math> beschrieben durch die [[Matrix (Mathematik)|Matrix]]<nowiki />gleichung
:<math>
\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \cdot
\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) =
\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right)
.</math>

== Auswirkungen ==

Der Isospin ist in der [[Starke Wechselwirkung|starken Wechselwirkung]] eine Erhaltungsgröße. Dies führt dazu, dass manche Prozesse unterdrückt sind oder nur über die elektromagnetische oder [[schwache Wechselwirkung]] stattfinden können. Als Beispiel sei hier die Reaktion zweier Nukleonen mit Bildung eines [[Deuteron]]s und eines [[Pion]]s genannt:

:<math>\begin{align}
\mathrm{ p + p } & \rightarrow \mathrm{ d + \pi^+ } \\
\mathrm{ p + n } & \rightarrow \mathrm{ d + \pi^0 }
\end{align}</math>

Die Isospins der beteiligten Teilchen sind, dargestellt in der [[Dirac-Notation]] <math>\left| I, I_z \right\rangle</math>:
:<math>\begin{align}
\left| \mathrm p \right\rangle & = \left| \tfrac 1 2 , +\tfrac 1 2 \right\rangle \quad\quad & \left| \pi^+ \right\rangle & = \left| 1 , +1 \right\rangle \\
\left| \mathrm n \right\rangle & = \left| \tfrac 1 2 , -\tfrac 1 2 \right\rangle & \left| \pi^0 \right\rangle & = \left| 1 , 0 \right\rangle \\
\left| \mathrm d \right\rangle & = \left| 0 , 0 \right\rangle \,.
\end{align}</math>

Nach den Rechenregeln der [[Drehimpuls (Quantenmechanik)|Drehimpulsaddition in der Quantenmechanik]] gilt:
:<math>\begin{align}
\left| \mathrm{p\,p} \right\rangle & = \left| 1, +1 \right\rangle & \left| \mathrm d\,\pi^+ \right\rangle & = \left| 1, +1 \right\rangle \\
\left| \mathrm{p\,n} \right\rangle & = \tfrac 1 \sqrt 2 \left ( \left| 1, 0 \right\rangle - \left| 0, 0 \right\rangle \right ) & \left| \mathrm d\,\pi^0 \right\rangle & = \left| 1, 0 \right\rangle \,.
\end{align}</math>

Aufgrund der Isospinerhaltung trägt im Fall von {{nowrap|1=p + n → d + π0}} nur der Anteil mit Isospin 1 bei; die Reaktionswahrscheinlichkeit ist daher nur halb so groß wie bei der pp-Reaktion.

== Literatur ==
* [[Bogdan Povh]] et al.: ''Teilchen und Kerne''. Springer, Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-36685-0

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Teilchenphysik]]

Isospin - Versionsgeschichte

imported>Einstein4fs: /* Formalismus */