imported>SchlurcherBot: Bot: http → https

2025-11-29T00:48:09Z

Bot: http → https

Neue Seite

[[Datei:Isoph-ellipsoid-nv.svg|300px|mini|Ellipsoid mit Isophoten (rot)]]
Eine '''Isophote''' ist in der Geometrie eine Kurve auf einer beleuchteten [[Fläche (Mathematik)|Fläche]], die Punkte gleicher Helligkeit verbindet. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Fläche mit ''parallelem Licht'' beleuchtet wird und die Helligkeit <math>h</math> in einem Flächenpunkt <math>P</math> mit dem folgenden Skalarprodukt gemessen wird:
:<math>h(P)= \vec n(P)\cdot \vec v=\cos\varphi\ .</math>
Dabei ist <math>\vec n(P)</math> der Einheitsnormalenvektor im Flächenpunkt <math>P</math> und <math>\vec v</math> der Einheitslichtvektor. Ist <math>h(P)=0</math>, d. h. die Lichtrichtung senkrecht zur Normale, so ist <math>P</math> ein Punkt des Flächenumrisses bei Parallelprojektion in Richtung <math>\vec v</math>. Helligkeit 1 bedeutet, das Licht fällt in dem Punkt P senkrecht auf die Fläche. Eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] besitzt keine Isophoten, da ''jeder'' Punkt der Ebene die gleiche Helligkeit besitzt.

In der [[Astronomie]] versteht man unter einer Isophote eine Kurve auf einer Photographie, die Punkte gleicher Helligkeit verbindet.<ref> J. Binney, M. Merrifield: ''Galactic Astronomy'', Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1, S. 178.</ref>

== Anwendung mit Beispiel ==
Isophoten werden im CAD-Bereich als Testkurven verwendet, um die Güte von Flächenübergängen optisch zu beurteilen. Denn bei einer genügend differenzierbaren Fläche (implizit oder parametrisiert) hängt der [[Normalenvektor]] der Fläche von den ersten Ableitungen ab. Die Differenzierbarkeit der Isophoten und damit ihre [[geometrische Stetigkeit]] ist also gegenüber der Fläche um 1 reduziert. Sind in einem Punkt der Fläche nur die Tangentialebenen stetig (d. h. <math>G^1</math>-stetig), so besitzt die Isophote in diesem Punkt einen Knick (d. h. ist nur <math>G^0</math>-stetig).

In dem folgenden Beispiel (s. Bild) werden zwei sich schneidende Tensorprodukt-Bezierflächen mit Hilfe einer Übergangsfläche ''ausgerundet''. Links hat die Übergangsfläche nur <math>G^1</math>-kontakt mit den Bezierflächen, rechts <math>G^2</math>-Kontakt. Dieser Unterschied ist ohne die Isophoten nicht zu erkennen. Erst die Isophoten zeigen den Unterschied: links haben die Isophoten Knicke, rechts sind sie glatt.
[[Datei:Isoph-bbb-g1g2.svg|600px|mini|links|Isophoten auf zwei Bezierflächen und einer dazu G1- bzw. G2-stetige Übergangsfläche:links G1-stetig, rechts G2-stetig, d. h. die Isophoten sind links nur G0-stetig (haben einen Knick), rechts sind die Isophoten glatt]]
{{Absatz}}

== Bestimmung von Punkten einer Isophote ==
=== Für eine implizite Fläche ===
Ist die [[Implizite Fläche|Fläche implizit]] durch eine Gleichung <math> f(x,y,z)=0</math> gegeben, so lautet die Isophoten-Bedingung
:<math> \frac{\nabla f \cdot \vec v}{|\nabla f|}= c \ .</math>
Um Punkte der zu einem vorgegebenen <math>c</math> gehörigen Isophote zu bestimmen, muss man also Lösungen des nicht linearen Gleichungssystems
*<math>\ f(x,y,z)=0, \qquad \nabla f (x,y,z)\cdot \vec v -c\;|\nabla f(x,y,z)|=0 \ </math>
bestimmen. Dieses System kann man als Schnitt zweier impliziter Flächen ansehen und mit dem Verfolgungsalgorithmus von Bajaj et al. (s. Literatur) genügend viele Punkte berechnen.

=== Für parametrisierte Flächen ===
Ist die [[Reguläre Fläche|Fläche parametrisiert]] durch <math>\vec x= \vec S(s,t)</math> gegeben, so lautet die Isophotenbedingung
:<math> \frac{(\vec S_s\times\vec S_t)\cdot\vec v}{|\vec S_s\times\vec S_t|}=c\ .</math>
Diese Gleichung kann man in die Gleichung

*<math> \ (\vec S_s\times\vec S_t)\cdot\vec v- c\;|\vec S_s\times\vec S_t|=0 </math>
umformen. Diese Gleichung beschreibt in der s-t-Ebene eine implizite Kurve, für die man mit einem Verfolgungsalgorithmus (s. [[implizite Kurve]]) genügend viele Punkte bestimmen und anschließend mit <math>\vec S(s,t)</math> Flächenpunkte berechnen kann.

== Siehe auch ==
* [[Isolinie]]

== Literatur ==
* J. Hoschek, D. Lasser: ''Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung'', Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989, ISBN 3-519-02962-6, S. 31.
* Z. Sun, S. Shan, H. Sang et al.: ''Biometric Recognition'', Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4, S. 158.
* C.L. Bajaj, C.M. Hoffmann, R.E. Lynch, J.E.H. Hopcroft: ''Tracing Surface Intersections'', (1988) Comp. Aided Geom. Design 5, S. 285–307.
<references />

== Weblinks ==
* [https://web.mit.edu/hyperbook/Patrikalakis-Maekawa-Cho/node148.html Patrikalakis-Maekawa-Cho: Isophotes (engl.)]
* [https://www.liverpool.ac.uk/~pjgiblin/papers/34590049.pdf A. Diatta, P. Giblin: ''Geometry of Isophote Curves'']
* [http://bh.knu.ac.kr/~kujinkim/papers/isophote.pdf Jin Kim: ''Computing Isophotes of Surface of Revolution and Canal Surface'']

[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]
[[Kategorie:Geometrische Modellierung| ]]

Isophote - Versionsgeschichte

imported>SchlurcherBot: Bot: http → https