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2025-05-19T15:10:54Z

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[[Datei:Isoperimetrischer punkt.svg|mini|hochkant=1.5|Isoperimetrischer Punkt P, Inkreismittelpunkt I, Gergonne-Punkt G, Punkt gleichen Umwegs T]]
Der '''isoperimetrische Punkt''' ist ein [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneter]] [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] in einem [[Dreieck]] ABC. Es handelt sich um den Punkt P in diesem Dreieck, für den die Teildreiecke PBC, PCA und PAB gleichen [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] haben. Der isoperimetrische Punkt hat die [[Kimberling-Nummer]] X(175).

== Eigenschaften ==
[[Datei:2025-02-09 Isoperimetrischer Punkt im rechtwinkligen Dreieck.jpg|mini|Isoperimetrischer Punkt im rechtwinkligen Dreieck]]
* Der isoperimetrische Punkt ist [[Harmonische Teilung|harmonisch verwandt]] zum [[Punkt des gleichen Umwegs]] in Bezug auf den [[Inkreis]]mittelpunkt und den [[Gergonne-Punkt]] und somit [[Kollinearität|kollinear]] zu diesen drei Punkten.
* Die Umfänge von PBC, PCA und PAB betragen <math>\tfrac{2\triangle}{\left\vert 4R+r-(a+b+c) \right\vert}</math> und sind gleich dem [[Durchmesser]] des äußeren [[Soddy-Kreis]]es.
* Der isoperimetrische Punkt existiert [[Logische Äquivalenz|genau dann, wenn]] der Umfang von ABC größer ist als <math>4R+r</math>, wobei <math>R</math> der [[Radius]] des [[Umkreis]]es und <math>r</math> der Radius des [[Inkreis]]es ist.
* In einem rechtwinkligen Dreieck existiert der isoperimetrische Punkt immer und ist er besonders einfach zu finden. Der Radius des äußeren Soddy-Kreises ist in dem Fall gleich dem Halbumfang.

== Koordinaten ==

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Isoperimetrischer Punkt (<math>X_{175}</math>)
|-
!style="text-align:left"| [[Trilineare Koordinaten]]
| <math>\left(\sec\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}-1\right)
: \left(\sec\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha}{2}-1\right)
: \left(\sec\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}-1\right)</math>
|-
!style="text-align:left"| [[Baryzentrische Koordinaten]]
| <math>\left(a-\frac{\Delta}{s-a}\right) : \left(b-\frac{\Delta}{s-b}\right) : \left(c-
\frac{\Delta}{s-c}\right)</math>
|}

Hierbei steht <math>\Delta</math> für den [[Flächeninhalt]] und <math>s</math> für den halben Umfang von ABC.

== Literatur ==
* G. R. Veldkamp: ''The Isoperimetric Point and the Point(S) of Equal Detour in a Triangle''. In: ''The American Mathematical Monthly'', Band 92, Nr. 8, Okt. 1985, S. 546–558 ({{JSTOR|2323159}})

== Weblinks ==
* [http://www.pandd.demon.nl/soddy.htm#5 Isoperimetrisch punt] (niederländisch)
* C. Kimberling: [http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/isoper.html Isoperimetric Point And Equal Detour Point]
* {{MathWorld |id=IsoperimetricPoint |title=Isoperimetric Point}}
* [https://www.geogebra.org/m/p897we6j isoperimetric and equal detour points] – interaktive Illustration auf [[GeoGebra]]tube

[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]

Isoperimetrischer Punkt - Versionsgeschichte

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