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2024-04-28T21:53:44Z

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In der [[Mathematik]] ist ein '''Isomorphismus''' (von [[Altgriechische Sprache|altgriechisch]] {{lang|grc|ἴσος}} (ísos) – „gleich“ und μορφή (morphḗ) – „Form“, „Gestalt“) eine Abbildung zwischen zwei [[Mathematische Struktur|mathematischen Strukturen]], durch die Teile einer Struktur auf bedeutungsgleiche Teile einer anderen Struktur [[Bijektive Funktion|umkehrbar eindeutig]] ''(bijektiv)'' abgebildet werden.

== Definition ==
=== Universelle Algebra ===
In der [[Universelle Algebra|universellen Algebra]] heißt eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>\varphi</math> zwischen zwei [[Algebraische Struktur|algebraischen Strukturen]] (zum Beispiel [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], [[Ring (Algebra)|Ringen]], [[Körper (Algebra)|Körpern]] oder [[Vektorraum|Vektorräumen]]) ein ''Isomorphismus'', wenn:
* <math>\varphi</math> [[Bijektive Funktion|bijektiv]] ist,
* <math>\varphi</math> ein [[Homomorphismus]] ist.

Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen, dann heißen die beiden Strukturen zueinander ''isomorph''. Isomorphe Strukturen sind in gewisser Weise „das gleiche“, nämlich dann, wenn man von der Darstellung der Elemente der zugrundeliegenden Mengen und den Namen der Relationen und Verknüpfungen absieht.

Die Aussage „<math>X</math> und <math>Y</math> sind isomorph“ wird üblicherweise durch <math>\simeq</math> oder durch <math>X \cong Y</math> notiert.

Ist <math>\varphi</math> ein bijektiver Homomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen, dann ist immer auch <math>\varphi^{-1}</math> ein bijektiver Homomorphismus.

=== Relationale Strukturen ===
Es seien <math>\boldsymbol A = (A,(R_i))</math> und <math>\boldsymbol B = (B,(S_i))</math> zwei [[relationale Struktur]]en vom gleichen Typ <math>(n_i),</math> sodass <math>n_i \in \N</math> für jedes <math>i</math> die [[Stelligkeit|Stelligkeit der Relationen]] <math>R_i</math> und <math>S_i</math> bezeichnet. Eine [[Bijektion]] <math>\varphi\colon A \to B</math> heißt ''Isomorphismus'', wenn sie für jedes <math>i</math> und für alle <math>a_1,\ldots,a_{n_i} \in A</math> die folgende ''Verträglichkeitseigenschaft'' besitzt:
: <math>(a_1,\ldots,a_{n_i}) \in R_i \Leftrightarrow (\varphi(a_1),\ldots,\varphi(a_{n_i})) \in S_i.</math>

Im Gegensatz zu algebraischen Strukturen ist nicht jeder bijektive Homomorphismus zwischen relationalen Strukturen ein Isomorphismus. Ein Beispiel für Isomorphismen zwischen relationalen Strukturen sind [[Isomorphie von Graphen|Isomorphismen zwischen Graphen]].

=== Kategorientheorie ===
In der [[Kategorientheorie]] definiert man einen Isomorphismus allgemein als einen [[Morphismus]] <math>f\colon X \to Y,</math> der ein beidseitiges Inverses <math>f^{-1}\colon\, Y \to X</math> besitzt:
: <math>f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y</math> und <math>f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_X.</math>

Die oben definierten Isomorphismen zwischen algebraischen Strukturen sowie zwischen relationalen Strukturen sind Spezialfälle dieser Definition. Weitere Spezialfälle dieses Isomorphiebegriffes sind beispielsweise [[Homöomorphismus|Homöomorphismen]] als Isomorphismen in der Kategorie der [[Topologischer Raum|topologischen Räume]] und [[Stetige Funktion|stetige Abbildungen]] oder [[Homotopie#Homotopieäquivalenz|Homotopieäquivalenzen]] als Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume mit den [[Homotopie]]klassen von Abbildungen als Morphismen.

== Bedeutung ==

In der Kategorientheorie ist von entscheidender Bedeutung, dass die Eigenschaft Isomorphismus unter jedem [[Funktor (Mathematik)#Elementare Eigenschaften|Funktor]] erhalten bleibt, d. h. ist <math>f\colon X\to Y</math> ein Isomorphismus in einer Kategorie <math>C</math> und <math>F\colon C\to D</math> ein Funktor, dann ist
: <math>F(f)\colon F(X)\to F(Y)</math>
ebenfalls ein Isomorphismus in der Kategorie <math>D</math>. In der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] wird diese Eigenschaft häufig festgestellt, um Räume in Relation bringen zu können: Sind beispielsweise zwei Räume [[Homöomorphismus|homöomorph]], so sind ihre [[Fundamentalgruppe]]n isomorph.

== Beispiele ==

Sind <math>(X, \cdot)</math> und <math>\left(Y, +\right)</math> Mengen mit einer [[Zweistellige Verknüpfung|binären Verknüpfung]], dann ist eine [[Bijektion]] <math>f\colon X \to Y</math> mit

:<math>f(u) + f(v) = f(u \cdot v)</math> für alle <math>u, v \in X</math>

ein Isomorphismus von <math>X</math> nach <math>Y</math>. So ist etwa der Logarithmus ein Isomorphismus von <math>(\mathbb{R}^+, /)</math> nach <math>(\mathbb{R}, -)</math>, da <math>\log(x) - \log(y) = \log\left(\tfrac{x}{y}\right)</math>.

Eine binäre Verknüpfung ist eine dreistellige Relation. Aber auch zu zweistelligen [[Relation (Mathematik)|Relationen]] lassen sich Homo- und Isomorphismen definieren (s. u. [[#Ordnungsisomorphismus]]).

Bei manchen Isomorphismen impliziert die Homomorphie der Funktion auch die der Umkehrfunktion; bei den anderen muss man sie extra nachweisen.

=== Gruppenisomorphismus ===
Sind die Strukturen [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], dann heißt ein solcher Isomorphismus [[Gruppenisomorphismus]]. Meist meint man mit Isomorphismen solche zwischen algebraischen Strukturen wie Gruppen, [[Ring (Algebra)|Ringen]], [[Körper (Algebra)|Körpern]] oder [[Vektorraum|Vektorräumen]].

=== Isometrischer Isomorphismus ===
Sind <math>\left(X, d\right)</math> und <math>\left(Y, D\right)</math> [[Metrischer Raum|metrische Räume]] und ist <math>f</math> eine Bijektion von <math>X</math> nach <math>Y</math> mit der Eigenschaft

:<math>D\left(f(u), f(v)\right) = d(u, v)</math> für alle <math>u, v \in X</math>,

dann nennt man <math>f</math> einen ''isometrischen Isomorphismus''.

In den bisherigen Beispielen sind Isomorphismen genau die homomorphen Bijektionen – die Umkehrabbildung ist automatisch homomorph. In den folgenden Beispielen muss zusätzlich gefordert werden, dass auch die Umkehrabbildung homomorph ist.

In der [[Funktionalanalysis]] nennt man eine Abbildung <math>T \colon X \to Y</math> zwischen [[Normierter Raum|normierten Räumen]] <math>(X, \| \cdot \| _X), (Y, \| \cdot \| _Y)</math> einen Isomorphismus, wenn sie folgende Eigenschaften hat:
* <math>T</math> ist [[Lineare Abbildung|linear]]
* <math>T</math> ist [[Stetige Funktion|stetig]]
* Die [[Umkehrfunktion]] <math>T^{-1}</math> ist auch [[Stetige Funktion|stetig]]
Falls zusätzlich für alle <math>x \in X</math> gilt <math>\|T(x)\|_Y = \|x\|_X</math>, so nennt man <math>T</math> einen [[Isometrische Isomorphie|isometrischen Isomorphismus]].

=== Ordnungsisomorphismus ===
Sind <math>(X, \leq_X)</math> und <math>(Y, \leq_Y)</math> [[Ordnungsrelation|geordnete]] Mengen, dann ist ein (Ordnungs-)Isomorphismus von <math>X</math> nach <math>Y</math> eine ordnungserhaltende Bijektion, deren Umkehrfunktion ebenfalls ordnungserhaltend ist. Ordnungserhaltende Bijektionen zwischen totalgeordneten Mengen sind automatisch Isomorphismen; für Halbordnungen gilt dies nicht: <math>n\mapsto n</math> ist offenkundig eine ordnungserhaltende Bijektion von <math>\N^+</math> mit der Teilerrelation nach <math>\N^+</math> mit der gewöhnlichen Ordnung, aber nicht in der Gegenrichtung.
Ordnungsisomorphismen spielen in der Theorie der [[Ordinalzahlen]] eine wichtige Rolle.
Man sagt auch, <math>X</math> und <math>Y</math> seien ''ordnungsisomorph'' oder vom selben [[Ordnungstyp]].
Der Ordnungstyp der natürlichen Zahlen <math>\N</math> wird mit <math>\omega</math> und der der rationalen Zahlen <math>\Q</math> mit <math>\eta</math> bezeichnet. Der Ordnungstyp der rationalen Zahlen im offenen Intervall <math>\{q\in\Q \mid 0<q<1\}</math> ist ebenfalls <math>\eta.</math> Beide sind [[Dichte Teilmenge|dicht]] in ihrer jeweiligen [[Vollständiger Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]]. Die Ordnungstypen der reellen Zahlen <math>\R</math> und des Intervalls <math>(0,1)</math> sind ebenfalls gleich, aber verschieden von <math>\eta,</math> da es keine Bijektion zwischen <math>\R</math> und <math>\Q</math> gibt.

== Siehe auch ==
* [[Isomorphiesatz]]
* [[Automorphismus]]
* [[Morphismus]]

== Literatur ==
* [[Klaus Jänich]]: ''Topologie.'' 8. Auflage, 1. korrigierter Nachdruck. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-21393-7.

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Isomorphismus}}


[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Morphismus]]
[[Kategorie:Universelle Algebra]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Isomorphismus - Versionsgeschichte

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