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2019-03-30T19:03:50Z

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'''Isometrische Isomorphie''' beschreibt in der [[Funktionalanalysis]] einen Zusammenhang zwischen zwei unterschiedlichen Räumen, die geometrisch identisch sind.
== Definition ==
Zwei [[normierter Raum|normierte Räume]] <math>(X,\Vert \cdot\Vert_X)</math> und <math>(Y,\Vert \cdot\Vert_Y)</math> sind ''isometrisch isomorph'', wenn zwischen ihnen ein Vektorraum[[isomorphismus]] <math>T: X \rightarrow Y</math> existiert, der gleichzeitig eine [[Isometrie]] ist, also <math>\Vert T x \Vert_Y = \Vert x \Vert_X</math> erfüllt. Man schreibt dann <math>X \cong Y</math>.

Dies bedeutet, dass man die Räume eineindeutig miteinander identifizieren und Längenmessungen im einen auf den anderen übertragen kann. Der Operator <math>T</math> übernimmt die Identifizierung von Elementen aus <math>X</math> mit Elementen aus <math>Y.</math> Die Isometrie von <math>T</math> sichert die Normerhaltung bei diesem Wechsel.
Offenbar ist die Umkehrung <math>T^{-1}</math> wieder eine isometrische Isomorphie.

== Beispiele ==
* Jeder [[Separabler Raum|separable]] [[Dimension (Mathematik)|unendlich-dimensionale]] [[Hilbertraum]] ist isometrisch isomorph zum [[Folgenraum|Raum <math>\ell^2</math>]] aller [[Folge (Mathematik)|Folgen]] mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist.
* Zwei Hilberträume sind genau dann isometrisch isomorph, wenn ihre [[Hilbertraumdimension]]en übereinstimmen.
* Jeder normierte Vektorraum ist isometrisch isomorph zu einem [[Untervektorraum]] des Raumes <math>(C(K),\Vert \cdot\Vert_\infty)</math> der [[Stetige Funktion|stetigen]] Funktionen auf einem geeignet gewählten [[Kompakter Raum|kompakten]] [[topologischer Raum|topologischen Raum]] <math>K</math> nach <math>\R</math> mit der [[Supremumsnorm]].
* Nach dem [[Satz von Banach-Mazur]] ist jeder separable, normierte Raum isometrisch isomorph zu einem Unterraum des Raums <math>(C([0,1]),\Vert \cdot\Vert_\infty)</math> der stetigen Funktionen vom Einheitsintervall <math>[0,1]</math> nach <math>\R</math> mit der [[Supremumsnorm]].

== Literatur ==
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis''. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Isometrische Isomorphie - Versionsgeschichte

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