~2025-35733-96: In der Vorherigen Definition fehlte ein Kriterium.

2025-11-23T22:48:25Z

In der Vorherigen Definition fehlte ein Kriterium.

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{{Dieser Artikel|behandelt Singularitäten komplexer Funktionen. Für Singularitäten reeller Funktionen siehe [[Definitionslücke]].}}
{{Weiterleitungshinweis|Singulärer Punkt|Für den Begriff in der algebraischen Geometrie siehe [[Algebraische Kurve #Singularitäten]].}}
'''Isolierte Singularitäten''' werden im [[Mathematisches Teilgebiet|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionentheorie]] betrachtet. Es handelt sich um [[isolierter Punkt|isolierte Punkte]] in der Menge der Singularitäten einer [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]]. Man unterscheidet bei isolierten Singularitäten zwischen [[Stetig behebbare Definitionslücke|hebbaren Singularitäten]], [[Polstelle]]n und '''wesentlichen Singularitäten'''.

== Definition ==
Es sei <math>\Omega \subseteq \mathbb C</math> eine [[offene Teilmenge]], <math>z_0 \in \Omega</math>. Ferner sei <math>f\colon \Omega \setminus \{z_0\} \to \mathbb C</math> eine holomorphe [[komplexwertige Funktion]]. Dann heißt <math>z_0</math> ''isolierte Singularität'' von <math>f</math>.

== Klassifizierung ==
Jede isolierte Singularität gehört einer der folgenden drei Klassen an:
* Der Punkt <math>z_0</math> heißt ''hebbare Singularität'', wenn <math>f</math> auf <math>\Omega</math> holomorph fortsetzbar ist. Nach dem [[Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannschen Hebbarkeitssatz]] ist dies genau dann der Fall, wenn <math>f</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> beschränkt ist.
* Der Punkt <math>z_0</math> heißt ''[[Polstelle]]'' oder ''Pol'', wenn <math>z_0</math> keine hebbare Singularität ist und es eine natürliche Zahl <math>k</math> gibt, sodass <math>(z-z_0)^k\cdot f(z)</math> eine hebbare Singularität bei <math>z_0</math> hat und dort auch nicht gleich 0 ist. Ist das <math>k</math> minimal gewählt, sodass das vorherige Kriterium erfüllt ist, dann sagt man, <math>f</math> habe in <math>z_0</math> einen Pol <math>k</math>-ter Ordnung.
* Andernfalls heißt <math>z_0</math> eine ''wesentliche Singularität'' von <math>f</math>.

Hebbare Singularitäten und Polstellen werden auch unter dem Begriff ''außerwesentliche Singularität'' zusammengefasst.

== Isolierte Singularitäten und die Laurentreihe ==
Der Typ der Singularität lässt sich auch an der [[Laurentreihe]]
: <math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n</math>
von <math>f</math> in <math>z_0</math> ablesen:
* Eine hebbare Singularität liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil verschwindet, d. h. <math>a_n=0</math> für alle negativen ganzen Zahlen <math>n</math>.
* Ein Pol <math>k</math>-ter Ordnung liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil nach <math>k</math> Gliedern abbricht, d. h. <math> a_{-k} \neq 0</math> und <math>a_n=0</math> für alle <math>n<-k</math>.
* Eine wesentliche Singularität liegt genau dann vor, wenn unendlich viele Glieder mit negativem Exponenten nicht verschwinden.

Aussagen über die Eigenschaften holomorpher Funktionen an wesentlichen Singularitäten machen der [[Satz von Picard|Große Satz von Picard]] und
als einfacherer Spezialfall davon der [[Satz von Weierstraß-Casorati|Satz von Casorati-Weierstraß]].

== Beispiele ==
[[Datei:Essential singularity.png|miniatur|Plot der Funktion <math>\exp(1/z)</math>. Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß).]]

Es sei <math>\Omega=\mathbb C</math> und <math>z_0=0.</math>
* <math>f\colon \Omega \setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{\sin(z)}{z}</math> kann durch <math>f(0)=1</math> stetig auf <math>\Omega</math> fortgesetzt werden, also hat <math>f</math> bei <math>0</math> eine ''hebbare'' Singularität.
* <math>f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{1}{z}</math> hat bei <math>0</math> einen Pol erster Ordnung, weil <math>g(z)=z^1\cdot f(z)</math> durch <math>g(0)=1</math> stetig auf <math>\Omega</math> fortgesetzt werden kann.
* <math>f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto\exp\left(\tfrac{1}{z}\right)</math> hat bei <math>0</math> eine ''wesentliche Singularität'', weil <math>z^k \exp\left(\tfrac{1}{z}\right)</math> für <math>z\to 0</math> für festes <math>k\in\mathbb N</math> stets unbeschränkt ist, beziehungsweise weil in der Laurentreihe um <math>z_0</math> unendlich viele Glieder des Hauptteils nicht verschwinden, denn es gilt
::<math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,z^n}</math>.

== Nichtisolierte Singularitäten ==

Zusätzlich zu voneinander [[Isolierter Punkt|isolierten]] Singularitäten können auch nichtisolierte Singularitäten auftreten. Eine Singularität <math>z_0</math> heißt nicht isoliert, falls sich in jeder [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] um <math>z_0</math> mindestens eine zusätzliche Singularität findet.

Nichtisolierte Singularitäten können sowohl [[Grenzwert (Folge)|Grenzwerte]] einer Folge isolierter Singularitäten, als auch Elemente einer Menge sein, auf welche die Funktion nicht analytisch fortsetzbar ist, wie im Beispiel der [[Logarithmus#Komplexer Logarithmus|Logarithmusfunktion]] die negative reelle Halbachse.

=== Beispiele ===

* Die Funktion <math display="inline">\tan\left(\frac{1}{z}\right)</math> ist [[meromorph]] auf <math>\mathbb{C}\setminus\{0\}</math>, mit einfachen Polen in <math display="inline">z_n = \left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)^{-1}</math> für <math> n\in\mathbb{N}_0</math>. Die Polstellen häufen sich im Nullpunkt.
* Die Funktion <math display="inline">\csc \left(\frac {\pi} {z}\right)</math> hat eine nichtisolierte Singularität im Nullpunkt, denn <math display="inline">z_n =\frac{1}{n}, n\in\N</math> ist eine Folge von Singularitäten mit Häufungspunkt in <math>0</math>. (Die Singularitäten in <math display="inline">z_n =\frac{1}{n}</math> sind hingegen isolierte Singularitäten.)
* Die durch die [[Maclaurin-Reihe]] <math display="inline">\sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}</math> definierte Funktion konvergiert im Inneren des Einheitskreises, kann aber nicht analytisch auf den Rand des Einheitskreises fortgesetzt werden. Die Punkte auf dem Rand des Einheitskreises sind nichtisolierte Singularitäten.

== Quellen ==
* [[Eberhard Freitag]], Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1.'' Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4.

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{{SORTIERUNG:Isolierte Singularitat}}
[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Isolierte Singularität - Versionsgeschichte

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