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In der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], nennt man einen [[Homomorphismus]] <math>\phi\colon A\rightarrow B</math> von [[Abelsche Varietät|Abelschen Varietäten]] <math>A</math> und <math>B</math> eine '''Isogenie''', wenn <math>\phi</math> [[Surjektivität|surjektiv]] ist und einen endlichen [[Kern (Algebra)|Kern]] besitzt. Gibt es eine Isogenie <math>\phi\colon A\rightarrow B</math>, so heißen die Abelschen Varietäten <math>A</math> und <math>B</math> '''isogen'''. Speziell sind Isogenien „rationale“ Abbildungen zwischen [[elliptische Kurve|elliptischen Kurven]], welche das Gruppengesetz respektieren.<ref>F. Lemmermeyer: ''[http://www.zum.de/Faecher/Materialien/rubin/texte/elliptic_curve.pdf Elliptische Kurven 1.]''</ref>

== Definition ==
Sind <math>A</math> und <math>B</math> Abelsche Varietäten, so sind die folgenden Aussagen über einen Homomorphismus <math>\phi\colon A\rightarrow B</math> äquivalent<ref name="MilneAVPropIsogeny" />:
* <math>\phi</math> ist eine Isogenie, das heißt <math>\phi</math> ist surjektiv und der Kern von <math>\phi</math> ist endlich.
* <math>A</math> und <math>B</math> besitzen die gleiche Dimension und <math>\phi</math> ist surjektiv.
* <math>A</math> und <math>B</math> besitzen die gleiche Dimension und der Kern von <math>\phi</math> ist endlich.
Ist eine (und damit jede) dieser Bedingungen erfüllt, so nennt man <math>A</math> und <math>B</math> isogen.

Der in diesem Artikel behandelte Begriff einer Isogenie Abelscher Varietäten lässt sich verallgemeinern zum Begriff einer Isogenie von [[Gruppenschema]]ta.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="MilneAVPropIsogeny">[[James Milne (Mathematiker)|James Milne]]: ''[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/av.html Abelian Varieties]''. Course Notes, version 2.0, 2008, Proposition 7.1. (englisch)</ref>
</references>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Serge Lang]]
|Titel=Abelian Varieties
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=New York
|Datum=1983
|ISBN=3-540-90875-7
|Sprache=en}}
* {{Literatur
|Autor=[[David Mumford]]
|Titel=Abelian Varieties
|Verlag=Oxford University Press
|Ort=London
|Datum=1974
|ISBN=0-19-560528-4
|Sprache=en}}

[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]

Isogenie - Versionsgeschichte

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