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2025-06-17T14:34:32Z

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Die beiden '''isodynamischen Punkte''' gehören zu den
[[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneten Punkten]] eines [[Dreieck]]s.

[[Datei:Isodynamic point.svg|zentriert]]

Gegeben sei ein Dreieck ABC mit den Halbierenden seiner Innen- und Außenwinkel.
Ua sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von <math>\alpha</math> mit der
Geraden BC, Va der Schnittpunkt der entsprechenden Außenwinkelhalbierenden mit
BC. Entsprechend seien die Punkte Ub und Vb (jeweils auf CA)
sowie Uc und Vc (jeweils auf AB) definiert. Dann haben die drei Kreise
mit den Durchmessern [Ua Va], [Ub Vb] und
[Uc Vc] zwei Punkte S und S' gemeinsam. S wird als
'''1. isodynamischer Punkt''' bezeichnet ([[Kimberling-Nummer]] <math>X_{15}</math>), S' als '''2. isodynamischer Punkt''' (Kimberling-Nummer <math>X_{16}</math>).

Bei [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecken]] fallen die isodynamischen Punkte zusammen (nämlich mit dem [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]], dem [[Inkreis]]mittelpunkt, dem [[Umkreis]]mittelpunkt und dem [[Höhenschnittpunkt]]). Dreiecke, die nicht gleichseitig sind, haben zwei verschiedene isodynamische Punkte. Die isodynamischen Punkte wurden 1885 von [[Joseph Neuberg]] erstmals studiert und benannt.<ref>{{Literatur |Autor=Howard Eves |Titel=College Geometry |Verlag=Jones and Bartlett Publishers |Ort=Boston |Datum=1995 |Sprache=en |Seiten=69-70 |Online=https://books.google.de/books?id=B81gnTjNazMC&pg=PA69&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false |Abruf=2025-01-26}}</ref>

== Koordinaten ==

Die [[Trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] der isodynamischen Punkte sind
:<math>\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right) \, : \, \sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right) \, : \, \sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right).</math><ref name="ETC-X15">{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X15 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(15), X(16) |sprache=en |abruf=2025-01-26}}</ref>

Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] sind
:<math>\left( a \cdot \sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right) \right) :
\left( b \cdot \sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right) \right) :
\left( c \cdot \sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right) \right).</math><ref name="ETC-X15" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel. Die Pluszeichen gelten für den 1. isodynamischen Punkt (<math>X_{15}</math>), die Minuszeichen für den 2. isodynamischen Punkt (<math>X_{16}</math>).

== Eigenschaften ==

* Das gegebene Dreieck geht durch [[Spiegelung (Geometrie)#Punktspiegelung|Punktspiegelung]] an einem der isodynamischen Punkte in ein gleichseitiges Dreieck über.<ref>{{Literatur |Autor=John Casey |Titel=A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle, and conic sections |Verlag=Dublin University Press series, Hodges, Figgis, & Co. |Datum=1893 |Seiten=303 |Sprache=en |Online=https://books.google.de/books?id=Ah5IAAAAIAAJ&pg=PA303&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false |Abruf=2025-01-26}}</ref>
* Die beiden isodynamischen Punkte sind [[Isogonal konjugierte Punkte|isogonal konjugiert]] zu den beiden [[Fermat-Punkt]]en.<ref name="ETC-X15" />
* Die [[Kreisspiegelung|Inversion (Kreisspiegelung)]] am [[Kreise am Dreieck|Umkreis]] führt einen der beiden isodynamischen Punkte in den anderen über.<ref name="ETC-X15" />
* Die [[Fußpunktdreieck]]e der beiden isodynamischen Punkte sind [[Dreieck|gleichseitig]].<ref name="ETC-X15" />
* Die isodynamischen Punkte liegen auf der [[Brocard-Achse]].<ref>{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/CentralLines.html |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, Central Lines (95) |sprache=en |abruf=2025-01-26}}</ref>
* Bei den drei Kreisen handelt es sich um [[Kreis des Apollonios|Kreise des Apollonios]], deren Mittelpunkte auf der [[Lemoine-Gerade]] liegen.

== Literatur ==
* Roger A. Johnson: ''Advanced Euclidean Geometry''. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 222, 294–297 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel ''Modern Geometry'').

== Weblinks ==
{{commonscat|Isodynamic points}}
* Eric W. Weisstein ([[MathWorld]]): [https://mathworld.wolfram.com/IsodynamicPoints.html ''Isodynamic Points''] ([https://mathworld.wolfram.com/FirstIsodynamicPoint.html First isodynamic Point] und [https://mathworld.wolfram.com/SecondIsodynamicPoint.html Second isodynamic Point])

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]

Isodynamischer Punkt - Versionsgeschichte

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