imported>Sümmetrik: Korrektur eines Fehlers. Die resultierende Magnetisierung beträgt 24 - 1 = 23. (24 in einer Richtung minus 1 in entgegengesetzter Richtung).

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Korrektur eines Fehlers. Die resultierende Magnetisierung beträgt 24 - 1 = 23. (24 in einer Richtung minus 1 in entgegengesetzter Richtung).

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[[Datei:Ising betaC.gif|mini|Am kritischen Punkt (mit H=0)]]
[[Datei:Ising beta 1.gif|mini|Bei einer Temperatur deutlich unterhalb der kritischen Temperatur]]
Das '''Ising-Modell''' ist ein von [[Ernst Ising]] auf Anregung seines Doktorvaters [[Wilhelm Lenz (Physiker)|Wilhelm Lenz]] 1924<ref>[[Ernst Ising|E. Ising]], [https://link.springer.com/article/10.1007/BF02980577 ''Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus''], Zeitschrift für Physik, Band 31, 1925, S. 253–258</ref> erstmals genauer untersuchtes [[Gittermodell]] in der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]]. Es beschreibt insbesondere den [[Ferromagnetismus]] in [[Festkörper]]n ([[Kristall]]en). Das Ising-Modell zählt zu den meistuntersuchten Modellen der [[Statistische Physik|statistischen Physik]]. Ising-Modelle können mit [[Monte-Carlo-Simulation]]en untersucht werden oder durch die Beschreibung als [[zellulärer Automat]].

== Definition ==
[[File:2D ising model on lattice.svg|thumb|upright=1.4|Zweidimensionales Ising-Modell, dargestellt als Gitter wechselwirkender Spins.]]
In dem Modell wird angenommen, dass die [[Spin]]s, welche das [[Magnetisches Moment|magnetische Moment]] der Atome oder Ionen bestimmen, nur zwei diskrete Zustände annehmen können (Spinwert <math>\pm 1</math>). Die Richtung im Raum bleibt aber offen; es handelt sich also um [[Vektor]]en (um im [[Klassische Physik|klassischen Bild]] zu bleiben, bzw. [[quantenmechanisch]] um [[Vektoroperator]]en).

Der allgemeine Energieausdruck (oder [[Hamiltonoperator]]) für eine solche Situation ist durch das [[Heisenberg-Modell]] gegeben:

:<math>\hat{ \mathcal H} = -\frac{1}{2}\sum _{i,j} J_{ij} \vec s_i \cdot \vec s_j - \vec H \cdot \sum_{i=1}^N \vec s_i\quad\text{(Heisenberg-Modell)}</math> . <ref>Bezüglich der Mitnahme des Faktors 1/2 gibt es unterschiedliche Konventionen (oft wird er fortgelassen)</ref>

Hierbei bezeichnet
* <math>\vec s_i</math> einen (mehrkomponentigen) Spin des Atoms am Platz <math>i</math> des [[Kristallgitter]]s,
* <math>J_{ij}</math> die [[Kopplungskonstante]] (Stärke der Austauschkopplungs-Wechselwirkung) zwischen den Spins an den Plätzen <math>i</math> und <math>j</math>,
* der Punkt <math>\cdot</math> das [[Skalarprodukt]]
* <math>\vec H</math> die [[Magnetische Feldstärke|Stärke des Magnetfeldes]].

Beim Ising-Modell dagegen wird die Zahl der Spinkomponenten auf Eins reduziert (d. h. parallel oder antiparallel zu einer ausgezeichneten Achse – hier <math>z</math>-Achse): <math>s_i^z= \pm 1</math>:

:<math>\hat{\mathcal H} = -\frac{1}{2}\sum _{i,j} J_{ij} s_i^z s_j^z - H_z \sum_{i=1}^N s_i^z\quad\text{(Ising-Modell)}</math> .

Oft wird zusätzlich angenommen, dass <math>J_{ij}</math> nur für benachbarte Spins ungleich Null ist. Ist die Austauschkopplung positiv, so spricht man von einer ''[[ferromagnetisch]]en'' Kopplung; ist sie negativ, so wird sie ''[[antiferromagnetisch]]'' genannt. Bei Ferromagneten bzw. Antiferromagneten dominiert das jeweilige [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]; bei den [[Spinglas|Spingläsern]] kommen beide Vorzeichen gleich häufig vor.

Durch geeignete Wahl der Wechselwirkungen können u. a. Spingläser (hierbei ist <math>J_{ij}</math> eine Zufallsgröße), verdünnte Magnete mit interessanten [[Kritisches Phänomen|kritischen Eigenschaften]] oder auch räumlich modulierte magnetische Strukturen (hierbei liegen konkurrierende Kopplungen <math>J_{ij}</math> vor, siehe [[ANNNI-Modell]]<ref>[[Walter Selke|W.Selke]]: ''The ANNNI model.'' In: ''Physics Reports'' 170, 1988, S. 213–264, [[doi:10.1016/0370-1573(88)90140-8]]</ref>) modelliert werden. Im Allgemeinen beschreibt das Ising-Modell die [[Magnetische Ordnung|magnetischen Ordnungen]] bei tiefen [[Temperatur]]en, die bei höheren Temperaturen jedoch durch [[Ungeordnete Bewegung|thermische Fluktuationen]] aufgebrochen werden, wobei ein [[Phasenübergang]] stattfindet. Eine umfassende theoretische Analyse von Phasenübergängen liefert die Theorie der [[Renormierungsgruppe]]n, für die [[Kenneth G. Wilson]] 1982 den Nobelpreis für Physik erhielt.

Bei der eindimensionalen Ising-Kette mit hinreichend kurzreichweitigen Wechselwirkungen beobachtet man jedoch ''keinen'' Phasenübergang. Dies hatte schon Ernst Ising in seiner Doktorarbeit mit Bedauern feststellen müssen. Fälschlicherweise vermutete er, dass dies auch für zwei und mehr Dimensionen zutrifft, was zunächst allgemein akzeptiert wurde. Die Argumentation hierfür ist, dass die Energie einer ''Insel'' aus Spins mit antiparalleler Ausrichtung zum Rest der Kette nur von der Kopplungskonstante abhängt, jedoch nicht von der Größe der Insel. Die Entropie eines Systems hängt jedoch vom [[Binomialkoeffizient]] zwischen Zahl der Inseln und Systemgröße ab. Im thermodynamischen Gleichgewicht ist die [[freie Energie]] immer minimal. Es folgt dann direkt, dass ein ungeordnetes (''paramagnetisches'') System eine niedrigere freie Energie hat und eine ferromagnetische Phase deshalb nicht existieren kann.

[[Rudolf Peierls]] zeigte jedoch 1936,<ref>[[Rudolf Peierls|R.Peierls]], Ising’s model of ferromagnetism, Proc. Cambridge Phil. Soc., Band 32, 1936, S. 477–481</ref> dass in zwei Dimensionen sehr wohl ein Phasenübergang vorlag. 1941 bestimmten [[Hendrik Anthony Kramers]] und [[Gregory Wannier]]<ref>[[Hendrik Anthony Kramers|H.A.Kramers]], [[Gregory Wannier|G.Wannier]], Statistics of the two dimensional Ferromagnet, 2 Teile, Phys. Rev., Band 60, 1941, S. 252–262, 263–276</ref> durch ein [[Dualität (Logik)|Dualitätsargument]] die [[Curie-Temperatur|kritische Temperatur]]. Die exakte Lösung des zweidimensionalen Ising-Modells mit Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn und bei verschwindendem Magnetfeld wurde erstmals 1944 von [[Lars Onsager]] berechnet.<ref>[[Lars Onsager|L.Onsager]], Crystal Statistics I, Physical Review, Band 65, 1944, S. 117–149</ref> Weitere Verbesserungen stammten von [[Bruria Kaufman]] (teilweise mit Onsager zusammen) und [[Chen Ning Yang]], der 1952 die spontane Magnetisierung exakt berechnete.<ref>[[Chen Ning Yang|C. N. Yang]], The spontaneous magnetization of the two dimensional Ising model, Phys. Rev., Band 85, 1952, S. 808–816</ref> Eine [[kombinatorisch]]e Behandlung stammt von [[Mark Kac]] und [[John Clive Ward]] (1952),<ref>[[Mark Kac|M. Kac]], [[John Clive Ward|J.C. Ward]], Physical Review Bd. 88, 1952, S. 1332</ref> und der Beweis der Äquivalenz zu einem [[Fermion]]en<nowiki />modell von [[Elliott Lieb]], Theodore David Schultz und [[Daniel Mattis|Daniel Charles Mattis]] (1964).<ref>T.D. Schultz, [[Elliott Lieb|E. Lieb]], [[Daniel Mattis|D.C. Mattis]], Two dimensional Ising model as a soluble model of many fermions, Rev. Mod. Phys., Band 36, Juli 1964, S. 856–871</ref>

Für das dreidimensionale Ising-Modell mit Wechselwirkungen zwischen benachbarten Spins gibt es keine [[Analytische Lösung|analytisch-exakte Lösung]]. Seine Eigenschaften kann man jedoch mit Hilfe der [[Molekularfeldnäherung]] (oder [[Landau-Theorie]]), [[Monte-Carlo-Simulation]]en, [[Reihenentwicklung]]en oder anderen [[Numerische Mathematik|numerischen]] Lösungsverfahren berechnen.

Das Ising-Modell gilt wegen seiner konzeptionellen Einfachheit und seiner vielfältigen Eigenschaften als „[[Drosophila]]“ der statistischen Physik. Es hat darüber hinaus Anwendungen in vielen Bereichen der Naturwissenschaften gefunden, bis hin zur Biologie und Hirnforschung. Die nahezu programmatische Aussage von [[Michael E. Fisher]] ‚Ising models still thrive‘ (etwa: ‚Ising-Modelle sind noch im Wachsen‘) wird wohl noch für viele Jahre gültig bleiben. Auch dient es für viele Konzepte der statistischen Physik als simples Beispiel.

Verallgemeinerungen des Ising-Modells liefern das [[Blume-Capel-Modell]], das [[Potts-Modell]] und das [[Markow-Netzwerk]].

== Vereinfachte Darstellung ==
Die wesentlichen Eigenschaften des Ising-Modells lassen sich erläutern anhand des zweidimensionalen Ising-Modells mit Wechselwirkung nur zwischen direkten Nachbarn (links, rechts, oben, unten) in Abwesenheit eines externen Magnetfelds (<math>H_z = 0</math>).

In diesem speziellen Fall kann die Energie eines Zustands beschrieben werden durch:

:<math>\begin{align}
\mathcal H &= -\frac{1}{2}\sum _{i,j} J_{ij} s_i^z s_j^z\\
&= -J N_{\rm N} + 2JN_{\rm A}\;.
\end{align}</math>

mit
* der konstanten Anzahl <math>N_{\rm N}</math> der möglichen Nachbarpaare
* der Anzahl <math>N_{\rm A}</math> Nachbarpaare mit ''unterschiedlicher'' Ausrichtung, die von der Ausrichtung der einzelnen Spins abhängt (<math>N_{\rm A} \leq N_{\rm N}</math>).
Die konstante Energie <math>-J N_{\rm N}</math> des [[Grundzustand]]s trägt nicht zum [[thermodynamisch]]en Verhalten des Systems bei. Entgegengesetzte Nachbarspins liefern einen Energiebeitrag <math>2J</math>, parallele Spins liefern keinen Beitrag.

=== Energie, Wärme, Wahrscheinlichkeit ===
[[Datei:Ising model 5x5 g.svg|280px|mini|Sehr kleines zweidimensionales Ising-Modell]]

Das Bild zeigt symbolisch einen winzigen „Magneten“ aus 25 „Eisen-Atomen“. Eisenatome verhalten sich wie kleine Magnete. Das Magnetfeld des Gesamtmagneten ist die Summe der Magnetfelder, die von den einzelnen Atomen ausgehen, wobei die Felder entgegengesetzt ausgerichteter Atome einander aufheben.

Fünf der Atome (schwarz) sind hier in eine Richtung ausgerichtet, die restlichen 20 (weiß) in die andere Richtung. Die Netto[[magnetisierung]] ist somit <math>5-20=-15</math> Einheiten. Ein bestimmtes Schwarz-Weiß-Muster bezeichnet man als den ''Zustand'' des Magneten.

Die <math>N_{\rm A} = 14</math> roten Kanten zeigen entgegengesetzt ausgerichtete Nachbarn. Jede rote Kante entspricht einer im Magneten gespeicherten [[Energie]]<nowiki />menge, die <math>2J</math> genannt wird (dies steht hier ''nicht'' für die Energieeinheit [[Joule]], sondern für eine Kenngröße des jeweiligen Materials).

Jede rote Kante vermindert die [[Wahrscheinlichkeit]], den Zustand in der Natur anzutreffen, und zwar umso mehr, je kälter es ist. Man berechnet dies, indem man die Wahrscheinlichkeit für den Zustand „alle Atome gleichgerichtet“ für jede rote Kante einmal mit <math>\exp\left(-\frac{2J}{Tk_\mathrm B}\right)</math> multipliziert. Dabei ist der Nenner das Produkt aus der Temperatur in [[Kelvin]] und der [[Boltzmann-Konstante]]n.

Beispiel: An einem warmen Sommertag (27 Grad Celsius, d. h. ca. 300 K) bewirkt in einem Material, dessen <math>2J</math>-Wert 0,0595 [[Elektronenvolt]] beträgt, jede rote Kante eine Wahrscheinlichkeitsminderung um den Faktor 10. Bei Abkühlung auf minus 123 Grad Celsius, d. h. ca. 150 K, ist der Faktor schon 100 und bei minus 173 Grad, d. h. ca. 100 K, sogar 1000.

Das Gesagte betrifft die Wahrscheinlichkeit eines individuellen Zustandes, die meist sehr klein ist. Meist gibt es aber auch eine sehr große Zahl von Zuständen, die eine bestimmte Magnetisierungsstärke des Magneten (Anzahl schwarzer Quadrate minus Anzahl weißer Quadrate) herstellen (man denke an die zahlreichen Möglichkeiten, einen Lottoschein auszufüllen).

Die große Zahl von Zuständen kann die kleine Wahrscheinlichkeit des einzelnen Zustandes ausgleichen. Tatsächlich gibt es in der Regel bei gegebener Temperatur eine bestimmte Magnetisierungsstärke, die alle anderen an Wahrscheinlichkeit deutlich übertrifft. Diese Magnetisierung wird fast ausschließlich angetroffen. Mit zunehmender Temperatur verschiebt sie sich von „voll magnetisiert“ zu „entmagnetisiert“.

=== Extreme Temperaturen ===
Um ein Gefühl für die Bedeutung des oben gesagten zu finden, betrachte man zuerst die Grenzfälle sehr geringer und sehr hoher Temperatur. Entgegen der Intuition werden die Berechnungen dabei nicht etwa durch große Zahlen erschwert, sondern so einfach, dass man schon durch „Kopfrechnung“ zu Ergebnissen kommt.

Bei extrem tiefen Temperaturen (Temperatur nähert sich dem [[Absoluter Nullpunkt|absoluten Nullpunkt]]) wird der Wahrscheinlichkeitsfaktor <math>\exp\left(-\frac{2J}{Tk_\mathrm B}\right)</math> so klein, dass kein Zustand außer „alle schwarz“ oder „alle weiß“ jemals angetroffen werden kann. Der Magnet nimmt somit seine volle Magnetisierung an.

Bei extrem hohen Temperaturen hingegen wird der Wahrscheinlichkeitsfaktor der Zahl 1 immer ähnlicher, so dass er zu keiner
Wahrscheinlichkeitsminderung führt und alle Zustände gleich wahrscheinlich werden. Dann gilt für jede Magnetisierung die reine Anzahl der sie realisierenden Zustände, und die ist für „50 % weiß – 50 % schwarz“ am höchsten. Der Magnet ist effektiv entmagnetisiert.

=== Moderate Temperatur ===
[[Datei:Ising model 5x5 1.svg|120px|mini|Ein Atom ist entgegengesetzt zu den anderen ausgerichtet]]

Der abgebildete Zustand mit einem abweichenden Atom weist vier rote Kanten auf. Bei einem <math>2J</math>-Wert von 0,0017 eV ist dieser eine Zustand zehnmal weniger wahrscheinlich als die Vollmagnetisierung (bei 27 Grad Celsius). Allerdings gibt es 25 Möglichkeiten, genau ein Atom abweichen zu lassen, und so ist eine Nettomagnetisierung von 23 Einheiten (24 – 1 entgegengesetzt) 2,5-mal so wahrscheinlich wie die Vollmagnetisierung.

=== Kritische Temperatur ===
Der Zusammenbruch des Magnetismus tritt schon bei einer endlichen Temperatur auf, der kritischen Temperatur <math>T_C</math>. Dies zu begründen erfordert umfangreiche mathematische Analysen, die hier nicht ausgeführt werden können.

Nahe der kritischen Temperatur treten „interessante“ Muster (bezüglich der Schwarz-Weiß-Verteilung) auf.

=== Strukturbildung ===
[[Datei:Ising model 5x5 4.svg|120px|mini|Kompakte Struktur]]
[[Datei:Ising model 5x5 13.svg|120px|mini|Aufgelockerte Struktur]]

Auf dem Weg vom absoluten Nullpunkt zu unendlicher Temperatur gelangt man von perfekter Ordnung zu perfektem [[Rauschen (Physik)|Rauschen]].

Dazwischen findet man „interessante“ [[Muster (Struktur)|Muster]]. Bezüglich des Magnetisierungswertes bildet sich ein Kompromiss zwischen geringer Wahrscheinlichkeit und großer Anzahl eines Zustands: Eine beliebig herausgegriffene kompakte Struktur weist zwar weniger rote Kanten auf (und ist daher wahrscheinlicher) als eine beliebig herausgegriffene aufgelockerte Struktur; weil es aber mehr aufgelockerte Strukturen gibt, kann die Eigenschaft „aufgelockert“ insgesamt wahrscheinlicher sein. Man wird also einen Kompromiss vorfinden, der weder ganz kompakt noch ganz zerrissen ist, eben eine „interessante“ Struktur.

Analog kann man argumentieren bezüglich der [[Streuung (Statistik)|Streuung]] schwarzer und weißer Quadrate, wenn Temperatur ''und'' Magnetisierung gegeben sind.

== Anwendungen und Interpretationen ==
Die ursprüngliche Interpretation des Isingmodells ist die „[[Magnetismus|magnetische]]“: Die Spinwerte zeigen nach „oben“ bzw. nach „unten“. Aber auch für andere [[Relation (Mathematik)|binäre]] Probleme bietet sich das Isingmodell an.

Ein prominentes Beispiel ist das „Ising-Gittergas“, das zur Modellierung von [[Flüssigkeit]]en benutzt werden kann: Man betrachtet hierbei ein Gitter, dessen Plätze entweder „besetzt“ oder „unbesetzt“ sein können, je nachdem, ob der dem Gitterplatz zugeordnete Isingspin den Wert +1 oder −1 hat.

Mit dem Isingmodell können auch [[Spinglas|Spingläser]] beschrieben werden, nämlich mit der Energie <math>\hat H = -\tfrac 12 \sum s_i \, J_{ik} \, s_k</math>, wobei die {{nowrap|1=<math>s</math>-Variablen}} die Ising-Spins bedeuten und die <math>J_{ik}</math> feste, aber zufällige Werte annehmen.

=== Quantenchromodynamik ===
Darüber hinaus existiert eine Interpretation dieses Hamiltonoperators als ein stark vereinfachtes Modell der [[Quantenchromodynamik]] in der [[Elementarteilchenphysik]]: Man kann die <math>s</math>-Variablen als [[Quark (Physik)|Quarks]] und die <math>J_{ik}</math> als [[Gluon]]en interpretieren, wenn man beide Größen fluktuieren lässt. Allerdings muss man in diesem Fall zum Hamiltonoperator noch die als [[Wilson-Loop]]-Variablen bezeichneten Gluon-Gluon-Kopplungen der Form <math>\,J_{ik}J_{kl}J_{lm}J_{mi}</math> hinzufügen.

Man erhält dann [[Eichinvarianz|eichinvariante]] Modelle, welche mit unkorrelierten binären Größen <math>\epsilon_i = \pm 1</math> und <math>\epsilon_k = \pm 1</math> den gekoppelten [[Eichtransformation]]en <math>s_i\to s_i\epsilon_i</math> , <math>s_k\to s_k\epsilon_k</math> , <math>J_{ik}\to \epsilon_i J_{ik}\epsilon_k</math> genügen; d. h. der Hamiltonoperator bleibt bei diesen Transformationen invariant, so wie die [[Lagrangefunktion]] der Quantenchromodynamik gegenüber Transformationen mit den Elementen der Gruppe [[SU(3)]] invariant bleibt, die hier durch die <math>\epsilon</math>-Variablen ersetzt sind.

Mit diesem Modell – einer Art ''Ising Lattice QCD'' – wurde die [[Gittereichtheorie]] eingeführt. Die relevante Veröffentlichung dazu stammt von [[Franz Wegner]]. <ref>[[Franz Wegner|F. Wegner]], ''Duality in Generalized Ising Models and Phase Transitions without Local Order Parameter'', J. Math. Phys. '''12''' (1971) 2259-2272. Reprinted in [[Claudio Rebbi]] (Hrsg.): ''Lattice Gauge Theories and Monte Carlo Simulations'', World Scientific, Singapore (1983), S. 60–73. ([https://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wegner/Abstracts.html#12 Abstract])</ref>

=== Nukleation ===
[[Datei:Homogeneous Nucleation Ising Model.png|mini|Homogene Nukleation (ein gerade kritischer Nukleationskern und ein bereits (weit) überkritischer Nukleationskern (Oligonukleation))]]
Eine weitere Anwendungsmöglichkeit ist die Simulation von Phasenübergängen durch [[Nukleation]]. Homogene Nukleation entspricht bei der Modellierung ziemlich exakt dem Ferromagnetismus, für heterogene Nukleation müssen einige kleine Änderungen vorgenommen werden.

:<math>\hat{ \mathcal H} = -J \frac 12 \sum _{i,j} \vec s_i \cdot\vec s_j - \vec H \cdot\sum_{i=1}^N \vec s_i -J_s \frac 12 \sum_{i,j}^{\text{Wand}}\vec s_i\cdot\vec s_j</math><ref>A. J. Page, R. P. Sear: ''Heterogeneous nucleation in and out of pores.'' In: ''Physical review letters.'' Band 97, Nummer 6, August 2006, S. 065701, [[doi:10.1103/PhysRevLett.97.065701]], PMID 17026175. (Variablennamen und Vorzeichen angepasst um Konsistenz auf der Seite zu gewährleisten)</ref>

[[Datei:Nucleation in the Ising Model (2D).png|mini|Heterogene Nukleation in und aus Poren (grau = Wand, weiß = Spin −1, rot = Spin +1)<ref>Berechnet mit [https://github.com/oerpli/Ising2D GitHub]</ref> ]]
Die erste Summe ist in diesem Fall wieder die Interaktion zwischen Nachbarn, die neu hinzugekommene zweite Summation über <math>i,j</math> steht jedoch für die Interaktion mit einer Begrenzungsfläche.<ref>Sofern die Begrenzungsfläche Nukleation nicht direkt begünstigt (<math>J_s = 0</math>), ist die einzige Änderung, die man für die derart geänderte Hamiltonfunktion durchführen muss, den Spin aller Atome, die zur Wand gehören, auf 0 zu ändern.</ref>
Es zeigt sich, dass im Bereich derartiger Begrenzungsflächen ein Kern kritischer Größe um ein Vielfaches schneller entsteht.

Basierend darauf wurden auch Simulationen zur Nukleation auf [[porös]]er Oberfläche durchgeführt. Ihr Ergebnis war, dass eine bestimmte Größe der Poren gegeben sein muss, um schnellstmögliche Nukleation zu gewährleisten (in der Regel ist dies bei unregelmäßigen Poren am ehesten gegeben): Bei großen Poren ist der Anteil an Begrenzungsflächen kleiner, dadurch entsteht länger kein Nukleationskern kritischer Größe in der Pore; wenn die Pore hingegen klein ist, so ist die Initiation eines Phasenübergangs vom oberen Rand weg weniger wahrscheinlich.<ref>[[Daan Frenkel|D.Frenkel]]: ''Physical chemistry: Seeds of phase change.'' In: ''Nature.'' 443, 2006, S. 641, [[doi:10.1038/443641a]].</ref>

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

== Literatur ==
* Barry Cipra: ''An introduction to the Ising model'', American Mathematical Monthly, Band 94, 1987, S. 937–959, [https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Hasse/00029890.di991727.99p0087h.pdf pdf]
* [[Barry McCoy]], [[Tai Tsun Wu]]: ''The two dimensional Ising model'', Harvard University Press 1973
* [[John Kogut]]: ''An introduction to lattice gauge theory and spin systems'', Rev. Mod. Phys., Band 51, 1979, S. 659–713
* [[Richard Feynman]]: ''Statistical mechanics'', Benjamin 1972
* [[Kerson Huang]]: ''Statistical mechanics'', Wiley 1987
* [[Stephen G. Brush]]: ''History of the Lenz-Ising model'', Rev. Mod. Phys., Band 39, 1967, S. 883–893

{{Normdaten|TYP=s|GND=4127615-2|LCCN=sh85068376}}

[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Magnetismus]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Modellierung und Simulation]]

Ising-Modell - Versionsgeschichte

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