imported>SchlurcherBot: Bot: http → https

2026-02-01T23:53:19Z

Bot: http → https

Neue Seite

Der '''Isentropenexponent''' (auch '''Adiabatenexponent''' oder '''Wärmekapazitätsverhältnis''' genannt) bezeichnet mit dem Symbol [[Kappa|<math>\kappa</math>]] ([[Kappa]]) oder [[Gamma|<math>\gamma</math>]] ([[Gamma]]), ist das [[dimensionslos]]e Verhältnis der [[Wärmekapazität]] eines [[Gas]]es bei konstantem Druck (''Cp'') zur Wärmekapazität eines Gases bei konstantem Volumen (''CV''):

:<math>\kappa = \frac{C_p}{C_V} = \frac{c_p}{c_V} = \frac{C_{\mathrm{m},p}}{C_{\mathrm{m},V}} = \frac{c_{m,p}}{c_{m,V}}</math>

[[Datei:Polytrope Zustandsänderung.jpg|mini|hochkant=1.3|Spezialfälle der [[Polytrope Zustandsänderung|polytropen Zustandsänderung]]: <math>\mathrm n = 0</math>: [[Isobare Zustandsänderung|isobar]], <math>\mathrm n = 1</math>: [[Isotherme Zustandsänderung|isotherm]], <math>\mathrm n = \kappa</math>: [[isentrop]], <math>\mathrm n = \infty</math>: [[Isochore Zustandsänderung|isochor]]]]
Der Isentropenexponent ist für [[Reales Gas|reale Gase]] eine temperaturabhängige Materialeigenschaft. Seinen Namen erhielt <math>\kappa</math> als [[Potenz (Mathematik)|Exponent]] in der [[Isentrop]]engleichung oder [[Adiabatengleichung]] für [[Ideales Gas|ideale Gase]]:

:<math>\ pV^{\kappa} = \text{const.}</math>

Isentrope Zustandsänderungen lassen die Entropie konstant. [[adiabat|Adiabate]] Zustandsänderungen sind isentrop, wenn sie reversibel sind, also keine Entropie erzeugen. Sie treten z. B. näherungsweise bei großräumigen Luftströmungen auf, weshalb man diese Kennzahl in der Meteorologie auch als ''Adiabatenexponent'', ''Adiabatenkoeffizient'' oder ''Adiabatenindex'' bezeichnet. In der Technik ist in der Regel eine adiabate Zustandsänderung (z. B. in einer [[Dampfturbine]]) nicht reversibel, da Reibungs-, Drossel- und Stoßvorgänge Entropie produzieren (vergl. „[[Adiabate Maschine]]“ und „[[Thermodynamik#Zweiter Hauptsatz|Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik]]“). Diese Zustandsänderungen lassen sich näherungsweise durch eine [[Polytrop]]e mit einem Polytropenexponenten ''n'' beschreiben, der sich von ''κ'' unterscheidet. Die Isentrope ist der Spezialfall einer Polytrope mit <math>n = \kappa</math> (vergl. Bild).

Da die mit dem Schall verbundenen raschen Druck- und Dichteschwankungen näherungsweise isentrop verlaufen, bestimmt der Isentropenexponent auch die [[Schallgeschwindigkeit#Klassisches ideales Gas|Schallgeschwindigkeit]] und lässt sich darüber messen. Eine andere Messmethode ist das [[Rüchardt-Experiment]].

{| class="wikitable float-right" style="border:0"
|+ Isentropenexponent für Gase bei Normaldruck<ref name="NIST">{{Webarchiv|url=http://webbook.nist.gov/chemistry/fluid/ |wayback=20140115211056 |text=NIST Standard Reference Database Number 69}}</ref>
|-
! Temp !! Gas !! ''κ'' !! style="width:1px; border:0;" rowspan="18" class="hintergrundfarbe-basis" |
! Temp !! Gas !! ''κ'' !! style="width:1px; border:0;" rowspan="18" class="hintergrundfarbe-basis" |
! Temp !! Gas !! ''κ''
|-
| −200 °C || rowspan="5" | H2<ref>Engineering Toolbox: [https://www.engineeringtoolbox.com/hydrogen-d_976.html Hochtemperatur-cp-Werte]</ref>|| 1,65 || 20 °C || rowspan="4" | Luft || 1,40 || −180 °C || rowspan="5" | N2|| 1,43
|-
| −100 °C|| 1,46 || 400 °C || 1,37 || 20 °C || 1,40
|-
| 20 °C || 1,41 || 1000 °C || 1,32 || 500 °C || 1,36
|-
| 1000 °C || 1,36 || 2000 °C || 1,30 || 1000 °C || 1,32
|-
| 2000 °C || 1,31 || −50 °C || rowspan="5" | CO2|| 1,35 || 2000 °C || 1,30
|-
| −200 °C|| rowspan="2" | He|| 1,67 || 20 °C || 1,29 || 20 °C || rowspan="2" | CH4 || 1,31
|-
| 2000 °C || 1,67 || 400 °C || 1,24 || 350 °C || 1,18
|-
| 100 °C || rowspan="5" | H2O || 1,33 || 1000 °C || 1,18 || 20 °C||rowspan="2" | H2S || 1,33
|-
| 200 °C || 1,32 || 2000 °C || 1,16 || 500 °C || 1,25
|-
| 500 °C || 1,28 || 20 °C || rowspan="3" | CO || 1,40 || 20 °C || rowspan="2" | NH3|| 1,32
|-
| 1000 °C || 1,23 || 1000 °C || 1,32 || 450 °C || 1,20
|-
| 2000 °C || 1,19 || 2000 °C || 1,29 || 450 °C || Ne || 1,67
|-
| 20 °C || rowspan="2" |NO<ref>Springer-Verlag: [https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-3-658-03169-5%2F1.pdf Stoffwerte und Tabellen]</ref>|| 1,39 || −180 °C|| rowspan="5" | O2|| 1,44 || 2000 °C || Ar || 1,67
|-
| 2000 °C || 1,29 || 20 °C || 1,40 || 20 °C || rowspan="2" | SO2 || 1,28
|-
| 20 °C || rowspan="2" |N2O<ref name="akoci">{{Webarchiv|url=http://www.akoci.uni-hannover.de/ak-duddeck/pdf/pdf-allg-chem/Teil%201%20_%20Bindungskonzepte%20-%20kovalente%20Bindung.pdf |wayback=20210411101543 |text=Bindungsgeometrie}}</ref>|| 1,28 || 400 °C || 1,34 || 250 °C || 1,22
|-
| 250 °C || 1,22 || 1000 °C || 1,31 || 20 °C || C2H6|| 1,20
|-
| 20 °C || NO2<ref name="akoci"></ref>|| 1,29 || 2000 °C || 1,28 || 20 °C || C3H8|| 1,14
|}

{| class="wikitable float-right" style="border:0"
|+ Isentropenexponent für überkritische Gase bei 200 bar Druck<ref name="NIST"/>
|-
! Temp !! Gas !! ''κ'' !! style="width:1px; border:0;" rowspan="14" class="hintergrundfarbe-basis" |
! Temp !! Gas !! ''κ'' !! style="width:1px; border:0;" rowspan="14" class="hintergrundfarbe-basis" |
! Temp !! Gas !! ''κ''
|-
| 126,2 K || rowspan="4" | N2|| 2,07 || 154,6 K|| rowspan="4" | O2|| 2,25 || 304,1 K || rowspan="4" |CO2|| 2,36
|-
| 600 K || 1,43 || 300 K || 1,77 || 700 K || 1,28
|-
| 1000 K || 1,35 || 1000 K || 1,33 || 1000 K || 1,21
|-
| 2000 K || 1,30 || 2000 K || 1,28 ||2000 K || 1,17
|-
| 638,9 K || rowspan="4" | H2O{{FN|*}}|| 10,7 || 5,2 K || rowspan="4" | He || 1,13 || 126,2 K || rowspan="4" | Ar || 2,07
|-
| 700 K || 1,95 || 300 K || 1,65 || 300 K || 2,23
|-
| 1000 K || 1,34 || 1000 K || 1,67 || 1000 K || 1,69
|-
| 2000 K || 1,20 || 2000 K || 1,67 || 2000 K || 1,67
|-
| 33,15 K || rowspan="4" | H2|| 1,51 || 132,9 K || rowspan="4" | CO || 2,54 || 190,6 K || rowspan="4" | CH4 || 2,00
|-
| 300 K || 1,42 || 300 K || 1,69 || 300 K || 1,91
|-
| 600 K || 1,39 || 400 K || 1,53 || 400 K || 1,47
|-
| 1000 K || 1,38 || 500 K || 1,47 || 600 K || 1,24
|-
| colspan="11" | {{FNZ|*|H2O ist bei 200 bar noch gasförmig und wird erst oberhalb 220,64 bar überkritisch}}
|}

== Gerechnetes Wärmekapazitätsverhältnis ==

Der Wert des Isentropenexponenten hängt vom [[Freiheitsgrad]] der Gasteilchen ab und der Freiheitsgrad eines Gasmoleküls hängt von der Geometrie und der Bindungsstärke der Atome ab. Gasmoleküle mit mehr Atomen besitzen einen höheren Freiheitsgrad. Der Freiheitsgrad setzt sich zusammen aus Translations-, Rotations- und Schwingungs- bzw. Vibrationsfreiheitsgrad. [[Translation (Physik)|Translation]] ist bei allen Temperaturen angeregt. [[Rotation (Physik)|Rotation]] erfolgt schon bei unteren, [[Eigenschwingung|Vibration]] linearer Moleküle erfolgt ab mittleren, Vibration starrer Moleküle erst bei höheren Temperaturen. Deshalb nimmt die Wärmekapazität von mehratomigen Gasen bei steigender Temperatur zu. Anders gesagt: mit abnehmender [[Temperatur]] „frieren“ immer mehr Freiheitsgrade ein und der Isentropenexponent nimmt zu.

Bei allen Gasen verläuft die ''isobare'' Wärmekapazität über einen großen Temperaturbereich parallel mit der ''isochoren'' Wärmekapazität. Deshalb bleibt über einen großen Temperaturbereich auch die [[Allgemeine Gaskonstante|Gaskonstante]] (R = Cpmol - CVmol = 8,314 J/mol K), also die ''Differenz'' zwischen isobarer und isochorer [[Molwärme]] gleich.

Der Freiheitsgrad kann näherungsweise wie folgt beschrieben werden:

:<math>f=3 \cdot N = f_{trans}+f_{rot}+f_{vib}</math>
:<math>f_{eff}=f-r</math>

Der Isentropenexponent kann näherungsweise wie folgt beschrieben werden:

:<math>\kappa = \frac{f_{eff}+2}{f_{eff}}</math>

Der Freiheitsgrad <math>f</math> eines Körpers gibt an, wie viele Bewegungsmöglichkeiten dieser Körper innerhalb eines Koordinatensystems hat. Der einzelne [[Massenpunkt]] hat 3 Freiheitsgrade, er kann sich entlang der x-, y- und z-Achse im Raum bewegen. Er hat keine Rotationsfreiheit, denn ein Punkt kann sich nicht drehen. Ein System von <math>N</math> Punkten hat <math>3N</math> Freiheitsgrade. Liegen zwischen den Punkten <math>r</math> starre Bindungen vor, so reduziert sich die Anzahl der effektiven Freiheitsgrade auf <math>3N - r</math>.<ref>''dtv-Atlas zur Physik; Mechanik, Akustik, Thermodynamik, Optik.'' Band 1, München 1987ff, ISBN 3-423-03226-X, S. 49 und 109.</ref> Starre Körper haben gewinkelte Bindungen.

Luft besteht hauptsächlich aus zweiatomigen Molekülen und hat unter Normalbedingungen einen Isentropenexponent von 1,4. Dies entspricht dem theoretischen Wert für 3 Translations- und 2 Rotationsfreiheitsgraden in der [[Kinetische Gastheorie|kinetischen Gastheorie]], da bei zweiatomigen Molekülen eine Rotation um die Verbindungsachse nicht möglich ist. Wasserstoff (H2) hat bei ganz tiefen Temperaturen den gleichen Wert wie die einatomigen Edelgase, weil dann selbst die Rotation gestoppt ist. Die Rotation mehratomiger Moleküle und die Schwingungen linearer oder schwach gewinkelter Moleküle sind schon unterhalb [[Normalbedingungen|Normaltemperatur]] angeregt, die Schwingungen starrer Moleküle erst oberhalb Normaltemperatur. Bei viel höheren Temperaturen kommt es durch Dissoziation und Ionisation zu noch mehr Freiheitsgraden. In der Atmosphäre kann es bei Expansion und Abkühlung der feuchten Luft zur Kondensation des Wassers kommen. Durch die dabei freiwerdende [[Kondensationsenthalpie]] wird der Exponent niedriger.

{| class="wikitable"
|+ Isentropenexponent <math>\kappa</math>; Freiheitsgrad <math>f_{eff}</math>; Atome <math>N</math>; Atombindungen <math>r</math>; von Gasen bei Normalbedingung
|- class="hintergrundfarbe6"
! Gasmolekül !! <math>\kappa = \frac{f_{eff}+2}{f_{eff}}</math> !! <math>f_{eff}=3\cdot N-r</math> !! Beispiele
|-
| 1-atomig || <math>1{,}\overline 6 = \frac{3+2}{3} </math> || <math>3=3\cdot 1-0</math> || Helium, Argon
|-
| 2-atomig || <math>1{,}4 = \frac{5+2}{5} </math> || <math>5=3\cdot 2-1</math> || N2, O2, H2, CO, NO
|-
| 3-atomig, starr (gewinkelt) || <math>1{,}\overline 3=\frac{6+2}{6}</math> || <math>6=3 \cdot 3-3</math> || H2O-Dampf bei 100 °C, H2S
|-
| 3-atomig, nicht starr (linear) || <math>1{,}29 \approx \frac{7+2}{7}</math>|| <math>7=3 \cdot 3-2</math> || CO2, SO2, N2O<ref name="akoci"></ref>, NO2<ref name="akoci"></ref>
|-
|}

== Literatur ==
* Alfred Böge: ''Handbuch Maschinenbau.'' Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1025-0.

== Weblinks ==
* {{TIBAV |10884 |Linktext=Bestimmung von Cp/Cv nach Rüchardt |Herausgeber=IWF |Jahr=2004 |DOI=10.3203/IWF/C-14879 }}

== Quellen ==
<references />

[[Kategorie:Thermodynamik]]

Isentropenexponent - Versionsgeschichte

imported>SchlurcherBot: Bot: http → https