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2026-03-17T14:29:22Z

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{{Zeichen|1=<math>\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math>|2=<math>\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math> steht für die Menge<br />der ''irrationalen Zahlen''<br />innerhalb <math>\mathbb{R}</math>.<ref group="H">Für die Menge der irrationalen reellen Zahlen wird manchmal das Kürzel <math>\mathbb{I}</math> verwandt.</ref>|kleiner=ja}}

{{Zeichen|1=<math>\mathbb{C}\setminus\mathbb{Q}</math>|2=<math>\mathbb{C}\setminus\mathbb{Q}</math> steht für die Menge<br />der ''irrationalen Zahlen''<br />innerhalb <math>\mathbb{C}</math>.|kleiner=ja}}

[[Datei:01 Kreiszahl.svg|mini|320px| Die Zahl <math>\pi</math> ([[Kreiszahl|Pi]]) zählt zu den bekanntesten [[Mathematische Konstante|mathematischen Konstanten]].]]
[[Datei:Square root of 2 triangle.svg|right|mini|Die Zahl <math>\sqrt{2}</math> ist irrational.]]

In der [[Mathematik]] heißt eine [[reelle Zahl|reelle]] oder [[komplexe Zahl]] '''irrational''', wenn sie keine [[rationale Zahl]] ist. Kennzeichen einer irrationalen [[Zahl]] ist also, dass sie nicht als [[Quotient]] zweier [[Ganze Zahl|ganzer Zahlen]] darstellbar ist.

In der [[Dezimalschreibweise]] werden irrationale Zahlen mit einer [[Dezimalbruch#Periode|nicht-periodischen]] [[Unendliche Folge|unendlichen Folge]] von Dezimalstellen dargestellt (z. B. 0,10110111011110…), d. h., sie sind unendliche nicht-periodische [[Dezimalbruch|Dezimalbrüche]].

Wenngleich umgangssprachlich mit dem [[Wort]] ''irrational'' etwas assoziiert wird, was gegen die „Ratio“, also gegen die [[Vernunft]] gerichtet ist, so bezieht sich hier der [[Begriff]] der ''irrationalen Zahl'' jedoch auf den Begriff „Ratio“ im Sinne eines Verhältnisses zweier Zahlen.<ref>Jürgen Koch, Martin Stämpfle: ''Mathematik für das Ingenieurstudium.'' 4. Auflage. Hanser, 2018, S. 29.</ref>

Bekannte irrationale Zahlen sind die [[Eulersche Zahl]] <math>\rm e</math> und die [[Kreiszahl]] <math>\pi</math>, die darüber hinaus [[Transzendente Zahl|transzendent]] sind. Auch die [[Wurzel 2|Quadratwurzel aus Zwei]] <math>\sqrt{2}</math> und das [[Verhältnis (Mathematik)|Teilungsverhältnis]] des [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitts]] sind irrationale Zahlen.

== Definition ==
Eine [[reelle Zahl]] heißt ''irrational'', wenn sie nicht als Bruch zweier [[Ganze Zahl|ganzer Zahlen]] dargestellt werden kann; sie kann nicht als <math>\tfrac{p}{q}</math> mit <math>p, q\in\mathbb{Z}, \; q\neq 0</math> geschrieben werden.

Im Gegensatz zu [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]], die als endliche oder periodische [[Dezimalzahl]]en dargestellt werden können, sind irrationale Zahlen solche, deren Dezimaldarstellung weder abbricht, noch periodisch ist.

Es gibt zwei Arten von Irrationalzahlen:
* [[Algebraische Zahl]]en, etwa <math>1+\sqrt[3]{5}</math> oder quadratische [[Wurzel (Mathematik)|Wurzeln]] aus Nicht-[[Quadratzahl]]en wie <math>\sqrt{2}</math>
** algebraische irrationale Zahlen, die quadratische Gleichungen lösen, nennt man ''quadratisch irrationale'' Zahlen
* [[Transzendente Zahl]]en, etwa die [[Kreiszahl]] <math>\pi = 3{,}14159\ldots</math> oder die [[Eulersche Zahl]] <math>\rm e = 2{,}71828\ldots</math>
** Weil jede rationale Zahl algebraisch – um genau zu sein, algebraisch vom Grad 1 – ist, ist jede reelle transzendente Zahl irrational.

Die Menge der irrationalen Zahlen lässt sich als [[Differenzmenge]] <math>\R \setminus \Q</math> schreiben, wobei <math>\R</math> die Menge der reellen Zahlen und <math>\Q</math> die Menge der rationalen Zahlen bezeichnet.

In der [[Zahlentheorie]], wo sich viele Untersuchungen in <math>\C</math>, dem [[Körper der komplexen Zahlen]], abspielen, versteht man hingegen unter einer irrationalen Zahl nicht selten eine Zahl aus der Differenzmenge <math>\C \setminus \Q</math>. Insbesondere ist in diesem Sinne jede [[rein imaginäre Zahl]] - und speziell die [[imaginäre Einheit]] <math>\mathrm i </math> ! - eine irrationale Zahl.

== Entdeckung der Irrationalität ==
Den ersten Beweis für irrationale Größenverhältnisse gab es in der griechischen Antike im 5. Jahrhundert v. Chr. bei den [[Pythagoreer]]n. Definitionen für irrationale Zahlen, die den heutigen Ansprüchen an Exaktheit genügen, finden sich bereits in den ''[[Euklids Elemente|Elementen]]'' von [[Euklid]]. Übersetzungen in die heutige Sprache der Mathematik gaben zuerst [[Karl Weierstraß]] und [[Richard Dedekind]] an.<ref>Lucio Russo: ''Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens.'' Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 978-3-540-20938-6, S. 53–56.</ref>

Hat man ein [[Quadrat]] mit der Seitenlänge <math>1</math> und berechnet dessen [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] <math>d</math>, folgt aus dem [[Satz des Pythagoras]] <math>d^2 = 1^2 + 1^2,</math> also <math>d^2 = 2</math>. Die positive Lösung dieser Gleichung bezeichnet man heute mit <math>\sqrt{2}</math>. Für griechische Mathematiker stellte sich die Frage, ob sich die Länge dieser Diagonalen exakt durch ein Verhältnis zweier [[Natürliche Zahl|natürlicher Zahlen]] <math>p</math> und <math>q</math>, also einen [[Rationale Zahl|Bruch]] <math>p/q</math>, darstellen lässt. Schon [[Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2|Euklid bewies]] durch Widerspruch, dass dies unmöglich ist; sein Beweis wird heute noch in der Schule gelehrt. Ob die Entdeckung der Irrationalität durch Anwendung des pythagoräischen Lehrsatzes auf ein Quadrat erfolgte oder, wie [[Kurt von Fritz]] meinte, durch stetige Teilung am [[Pentagramm]], ist unbekannt.<ref>Walter Burkert: ''Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon.'' Carl, Nürnberg 1962, S. 430–440.</ref>

Die ältere wissenschaftsgeschichtliche Forschung nahm an, dass die Entdeckung der Irrationalität zu einer Grundlagenkrise der damaligen griechischen Mathematik oder der pythagoreischen Zahlenlehre führte. Man sei nämlich vorher von der Grundvoraussetzung ausgegangen, dass alles durch ganzzahlige Zahlverhältnisse ausdrückbar sei, und die Widerlegung dieser Ansicht habe das Weltbild der Pythagoreer erschüttert. Damit wurde eine antike Legende in Zusammenhang gebracht, wonach der Pythagoreer [[Hippasos von Metapont]] im 5. Jahrhundert v. Chr. durch die schriftliche Bekanntmachung dieser Entdeckung einen Geheimnisverrat begangen habe und später im Meer ertrunken sei, was als göttliche Strafe gedeutet wurde. Ein Teil der Quellen überliefert, Hippasos selbst habe die Irrationalität entdeckt. Wissenschaftshistoriker gehen heute davon aus, dass es eine solche Krise nicht gegeben hat und die Irrationalität nicht als Geheimnis betrachtet wurde. Eine mögliche Erklärung der Verratslegende ist, dass sie durch ein Missverständnis entstand, weil das griechische Eigenschaftswort, das für „irrational“ (im mathematischen Sinn) verwendet wurde, zugleich die Bedeutungen „unsagbar“ und „geheim“ hatte.<ref>Walter Burkert: ''Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon.'' Carl, Nürnberg 1962, S. 436 f.</ref> Tatsache ist aber auch, dass sich die griechische Mathematik in der Zeit nach Hippasos grundlegend veränderte.

== Zahlen, deren Irrationalität bewiesen ist ==
* Schon der Pythagoreer [[Archytas von Tarent]] bewies die Irrationalität von <math>\sqrt{\tfrac{m+1}{m}}</math> für natürliche Zahlen <math>m</math>. Der Beweis für den Fall <math>m = 1</math> (<math>\sqrt{2}</math>) ist in Euklids Elementen überliefert ([[Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid|Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2]]). Den Satz des Archytas verallgemeinerte Euklid selbst in seiner Musiktheorie, in der er die Irrationalität beliebiger Wurzeln <math>\sqrt[n]{\tfrac{m+1}{m}}</math> bewies.
* Eine weitere wichtige quadratische Irrationalität ist der [[Goldener Schnitt|Goldene Schnitt]] <math>\textstyle\Phi = \frac{1+\sqrt5}2</math>.
* Die [[Eulersche Zahl]] <math>\mathrm e </math> ist irrational. Dies wurde von [[Leonhard Euler]] 1737 [[Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl|bewiesen]]. Ihre [[Transzendente Zahl|Transzendenz]] wurde 1873 von [[Charles Hermite]] bewiesen.
* 1761 bewies [[Johann Heinrich Lambert]] die Irrationalität der [[Kreiszahl]] <math>\pi</math>, ihre Transzendenz wurde 1882 von [[Ferdinand von Lindemann]] bewiesen.
* Die nichtganzzahligen Nullstellen eines normierten Polynomes <math>x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_0</math> mit ganzzahligen Koeffizienten sind irrational. Insbesondere sind die Quadratwurzeln aus Nichtquadratzahlen <math>\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5,\sqrt6,\dotsc</math> irrational.
* Im Jahr 1979 bewies [[Roger Apéry]] die Irrationalität der [[Apéry-Konstante]] <math>\textstyle \zeta(3)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Roger Apéry |Titel=Irrationalité de ζ (2) et ζ (3) |Sammelwerk=Astérisque |Band= |Nummer=61 |Datum=1979 |Seiten=11–13}}</ref>
* <math>\rm e^{\alpha}</math> ist für jede algebraische Zahl <math>{\alpha} \neq 0</math> transzendent (siehe [[Satz von Lindemann-Weierstraß]])
* Die Transzendenz (und damit die Irrationalität) der [[Gelfond-Konstante]]n <math>\rm e^{\pi}</math> und die der [[Gelfond-Schneider-Konstante]]n <math> 2^{ \sqrt{2} }</math> sowie die deren [[Quadratwurzel]] <math> \sqrt{2}^{\sqrt{2}} = \sqrt{ 2^{ \sqrt{2} } } </math> folgen aus dem [[Satz von Gelfond-Schneider]].<ref group="H">Dass <math>2^{\sqrt2}</math> transzendent ist, hat auch [[Carl Ludwig Siegel]] bewiesen.</ref>
* Die [[lemniskatische Konstante]] <math>\varpi = 2{,}622057\ldots</math> ist transzendent ([[Theodor Schneider (Mathematiker)|Theodor Schneider]], 1937).
* Im Jahr 1963 bewies [[Solomon W. Golomb]] die Irrationalität der Summe der [[Kehrwert]]e aller [[Fermat-Zahl]]en.<ref>{{Internetquelle
|hrsg = [[Canadian Mathematical Society|Canad. J. Math.]], Vol. '''15'''
|autor = [[Solomon W. Golomb]]
|url = https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0475-0478.pdf
|titel = On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities
|seiten = 475–478
|datum = 1963
|zugriff = 2016-08-09
|archiv-url = https://web.archive.org/web/20160321234733/http://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0475-0478.pdf
|archiv-datum = 2016-03-21
}}</ref><ref group="H">Es gilt <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{F_n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2^n}+1} \approx 0{,}59606317211782167942379392586279</math> ({{OEIS|A051158}}). </ref>
* Alle [[Liouvillesche Zahl|liouvilleschen Zahlen]] sind transzendent und damit irrational.
* <math>\tan a \,</math> ist für jede rationale Zahl <math> a \neq 0</math> stets irrational, was wiederum wegen der Rationalität von <math>\tan \left( \tfrac{\pi}{4} \right) = 1</math> die Irrationalität von <math>\pi</math> nach sich zieht.<ref>{{Literatur |Autor=Carl Ludwig Siegel|Titel=Transzendente Zahlen |Reihe=BI-Hochschultaschenbücher |BandReihe=137* |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1967 |Seiten=18}}</ref>
** Überdies ist nach dem [[Satz von Lindemann-Weierstraß]] <math>\tan a \,</math> für jede algebraische (und damit auch für jede rationale) Zahl <math> a \neq 0</math> transzendent.
* Bewiesen ist ebenfalls, dass <math>\tfrac{ \left( \Gamma \left( \tfrac{1}{4} \right) \right)^2 }{ \sqrt[4\,] {\pi} }</math> als transzendente Zahl irrational ist, während die Irrationalität von <math>\Gamma \left( \tfrac{1}{4} \right)</math> fraglich ist.<ref>{{Literatur |Autor=Carl Ludwig Siegel|Titel=Transzendente Zahlen |Reihe=BI-Hochschultaschenbücher |BandReihe=137* |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1967 |Seiten=81}}</ref>

== Zahlen, deren Irrationalität vermutet wird ==
* Die Irrationalität der Zahlen <math>\pi + \mathrm{e}, \pi - \mathrm{e}, \pi \cdot \mathrm{e}, \pi/\mathrm{e}</math> wird vermutet, ist aber noch nicht bewiesen. Man kann aber leicht sehen, dass mindestens eine von einer beliebigen Paarbildung irrational sein muss. Dies gilt allgemein für zwei beliebige transzendente Zahlen <math>a</math> und <math>b.</math>
* Für kein einziges Paar ganzer, von <math>0</math> verschiedener Zahlen <math>m</math> und <math>n</math> ist bekannt, ob <math>m\cdot \pi+n\cdot \mathrm e</math> irrational ist. Bekannt ist jedoch, dass im Falle der Existenz rationaler Linearkombinationen der Wert <math>m/n</math> einen konstanten Wert annimmt.
* Weiterhin ist unbekannt, ob <math>2^\mathrm{e}</math>, <math>\pi^\mathrm{e}</math>, <math>\pi^\sqrt{2}</math>, <math>\pi^\pi</math>, <math>\mathrm{e}^\mathrm{e}</math>, die [[Catalansche Konstante]] <math>G = 0{,}91596\ldots</math> oder die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] <math>\gamma = 0{,}57721\ldots</math> irrational sind.

== Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen ==
Wie das [[Cantor-Diagonalisierung|erste Diagonalargument von Cantor]] zeigt, ist die Menge der rationalen Zahlen [[Abzählbare Menge|abzählbar]]. Es gibt also eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] rationaler Zahlen, die jede rationale Zahl enthält. [[Cantors zweites Diagonalargument]] beweist, dass es [[überabzählbar]] viele reelle Zahlen gibt. Das bedeutet gleichzeitig, dass es überabzählbar viele irrationale Zahlen geben muss;<ref group="H">Das bedeutet insbesondere, dass sich nicht alle irrationalen Zahlen „darstellen“ oder „berechnen“ lassen.</ref> denn andernfalls wären die reellen Zahlen als Vereinigung zweier abzählbarer Mengen selbst abzählbar.

Cantor hat weiter gezeigt, dass auch die Menge der [[Algebraische Zahl|algebraischen Zahlen]], wozu alle Wurzelausdrücke gehören, noch abzählbar ist. Darüber hinaus gilt, dass die algebraische [[Hüllenoperator|Hülle]] jeder abzählbaren Teilmenge der reellen oder komplexen Zahlen (solche Mengen können insbesondere aus transzendenten Zahlen bestehen) ebenfalls abzählbar ist, also sicher nicht alle reellen Zahlen enthält.

== Irrationale Exponenten ==
Es gilt der Satz, dass in jedem Falle irrationale Zahlen <math>a, b \in \R \setminus \Q</math> existieren derart, dass <math>a^b \in \Q</math>, also rational ist.

Ein eleganter Beweis hierfür geht auf Dov Jarden<ref>[https://zbmath.org/authors/?q=ai%3AJarden.dov "Jarden, Dov" in der Datenbank ''zbMATH Open'']</ref> aus dem Jahr 1953 zurück:

Seien zunächst
:<math>a = b = \sqrt{2}</math>

gesetzt. Die Zahl
:<math>a^b = \sqrt{2}^\sqrt{2}</math>

ist nach dem [[Satz vom ausgeschlossenen Dritten]] entweder rational oder irrational.<ref group="H">Dass nach dem schon erwähnten Gelfond-Schneider’schen Satz <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> transzendent und damit insbesondere irrational ist, spielt für diesen Beweisgedanken keine Rolle.</ref> Falls sie rational ist, ist die Aussage bereits gezeigt.

Ist sie indes irrational, so setzt man neu
:<math>a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math>

und behält
:<math>b = \sqrt{2}</math>

bei. Man gewinnt dann die Zahl
:<math> a^b = {(\sqrt{2} ^ \sqrt{2})}^\sqrt{2} = {\sqrt{2}}^{(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})} = {(\sqrt{2})}^2 = 2</math>.

Und diese ist als [[natürliche Zahl]] auch rational, womit die Aussage bewiesen ist.<ref>{{Internetquelle |url=https://queuea9.wordpress.com/2015/01/27/the-square-root-of-two-proof/ |titel=The square root of two proof |werk=QA9 |datum=2015-01-27 |sprache=en |abruf=2024-07-16}}</ref>
Kurz gesagt gilt: Ist <math>a = \sqrt{2}^\sqrt{2}</math> nicht schon rational, so ist es <math>a^\sqrt{2}</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Peter Bundschuh]]
|Titel=Einführung in die Zahlentheorie
|Reihe=Springer-Lehrbuch
|Auflage=6., überarbeitete und aktualisierte
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin / Heidelberg
|Datum=2008
|ISBN=978-3-540-76490-8}}
* {{Literatur
|Autor=[[John H. Conway]], [[Richard K. Guy]]
|Titel=Zahlenzauber: Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen
|TitelErg=Aus dem Amerikan. von Manfred Stern
|Auflage=
|Verlag=Springer Basel AG
|Ort=Basel
|Datum=1967
|ISBN=978-3-0348-6085-7
|DOI=10.1007/978-3-0348-6084-0}}
* {{Literatur
|Autor=Steven R. Finch
|Titel=Mathematical Constants
|Reihe=Encyclopedia of Mathematics and its Applications
|BandReihe=94
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
|Ort=Cambridge [u. a.]
|Datum=2003
|ISBN=0-521-81805-2}}
* {{Literatur
|Autor=Tom Müller
|Titel=Irrationalitätsbeweise
|Reihe=Berliner Studienreihe zur Mathematik
|BandReihe=25
|Auflage=
|Verlag=[[Heldermann Verlag]]
|Ort=Lemgo
|Datum=2014
|ISBN=978-3-88538-125-9}}
* {{Literatur
|Autor=[[Oskar Perron]]
|Titel=Irrationalzahlen
|Reihe=Göschens Lehrbücherei, I. Gruppe
|BandReihe=1
|Auflage=4., durchgesehene und ergänzte
|Verlag=[[Walter de Gruyter & Co.]]
|Ort=Berlin
|Datum=1960
|ISBN=}}
* {{Literatur
|Autor=[[Harald Scheid]]
|Titel=Zahlentheorie
|Auflage=3.
|Verlag=[[Spektrum Akademischer Verlag]]
|Ort=Heidelberg / Berlin
|Datum=2003
|ISBN=3-8274-1365-6}}
* {{Literatur
|Autor=[[Carl Ludwig Siegel]]
|Titel=Transzendente Zahlen
|TitelErg=Übersetzung aus dem Englischen von B. Fuchssteiner und [[Detlef Laugwitz|D. Laugwitz]]
|Reihe=BI-Hochschultaschenbücher
|BandReihe=137*
|Auflage=
|Verlag=[[Bibliographisches Institut]]
|Ort=Mannheim
|Datum=1967
|Online=[https://zbmath.org/0167.32202 Eintrag im Zentralblatt (0167.32202)]}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Irrational numbers|Irrationale Zahlen}}
* [https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/irrationale-zahl/7118 Eintrag '''irrationale Zahl''' im Lexikon der Mathematik (2017)]
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Irrational_number Eintrag '''Irrational number''' in der Encyclopedia of Mathematics (EoM)]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Hinweise ==
<references group="H" />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4162426-9}}

[[Kategorie:Zahl]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Irrationale Zahl - Versionsgeschichte

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