imported>Mathze: /* Definition */ Sprachliche Straffung

2025-09-18T19:30:38Z

Definition: Sprachliche Straffung

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'''Involution''' bedeutet in der Mathematik eine selbst[[Inverses Element|inverse]] [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]]. Die Bezeichnung leitet sich von dem lateinischen Wort ''involvere'' „einwickeln“ ab.

== Definition ==

Eine Abbildung <math>f\colon A\rightarrow A</math> mit übereinstimmender [[Definitionsmenge|Definitions-]] und [[Zielmenge]] <math>A</math> heißt ''Involution'', wenn für alle <math>x\in A</math> gilt: <math>f(f(x))=x</math>.

Diese Forderung lässt sich auch kompakter formulieren als <math>f\circ f = \operatorname{id}_A</math> oder <math>f^2=\operatorname{id}_A</math>.
Dabei bezeichnet <math>\operatorname{id}_A</math> die [[Identische Abbildung|Identität]] auf <math>A</math>.

== Eigenschaften ==

* Jede Involution ist eine [[Bijektion]] und es gilt <math>f^{-1} = f</math>.
* Wenn <math>f \colon A \to A</math> und <math>g \colon A \to A</math> Involutionen sind, dann ist ihre [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] <math>f \circ g</math> genau dann selbst eine Involution, wenn <math>f \circ g = g \circ f</math> gilt.
* Ist <math>f \colon A \to A</math> eine Involution und <math>g \colon A \to A</math> eine Bijektion, dann ist die Komposition <math>g \circ f \circ g^{-1} </math> ebenfalls eine Involution. Mit dieser Eigenschaft können neue Involutionen erzeugt werden.
* Ist <math>\pi</math> eine Bijektion der endlichen Menge <math>\mathbb N_n=\{1,\dotsc, n \}</math> (also ein Element der [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe <math>S_n</math>]]), dann ist <math>\pi</math> genau dann involutorisch, wenn es sich als [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] aus lauter disjunkten [[Vertauschung]]en schreiben lässt. Man spricht in diesem Fall von einer [[Selbstinverse Permutation|selbstinversen Permutation]].
* Der [[Funktionsgraph|Graph]] einer Involution in den [[Reelle Zahl|Reellen Zahlen]] ist symmetrisch zur [[Identische Abbildung|Winkelhalbierenden]], die selbst der Graph der trivialen Involution ist. Daraus folgt, dass eine Verschiebung einer Involution entlang der Winkelhalbierenden ebenfalls eine Involution ergibt. Die Involution <math>f(x)</math> ist also invariant unter der Abbildung <math>f(x) \to f(x-a)+a</math> mit <math>a \in \R</math>, dies ist ein Spezialfall der Komposition einer Bijektion mit der Involution und ihrer Inversen.

=== Involutionen auf Vektorräumen ===
Sei <math>V</math> ein endlichdimensionaler [[Vektorraum]] über dem Körper <math>K</math>.
*Eine (lineare) [[Selbstabbildung]] <math> f\in\operatorname{End}(V)</math> ist genau dann involutorisch, wenn das [[Minimalpolynom (Lineare Algebra)|Minimalpolynom]] von <math>f</math> die Form <math>x^2-1</math>, <math>x-1</math> oder <math>x+1</math> hat. Das bedeutet insbesondere:
**Ist die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] des Grundkörpers <math>K</math> von 2 verschieden, so ist jeder involutorische [[Endomorphismus]] [[diagonalisierbar]] und alle seine [[Eigenwert]]e liegen in <math>\{-1; +1\}</math>.
**Jede Involution <math>f\in\operatorname{End}(V)</math> ist eine [[Darstellung (Gruppe)|Darstellung]] der Gruppe [[Z2 (Gruppe)|Z/2Z]] in der [[Allgemeine lineare Gruppe|allgemeinen linearen Gruppe]] GL(V).
** Über Körpern <math>K</math> mit der Charakteristik 2 gibt es nicht diagonalisierbare involutorische Endomorphismen. So ist im zweidimensionalen Vektorraum <math>\mathbb F_2^2</math> durch die Matrix <math>\begin{pmatrix} 1 &1\\ 0 &1\end{pmatrix}</math> eine Involution gegeben, die nicht diagonalisierbar ist.

== Beispiele ==

=== Negatives und Kehrwert ===

Die Abbildungen
: <math>\mathbb R\to\mathbb R,\quad x\mapsto -x</math>
und
: <math>\mathbb R^\times\to\mathbb R^\times,\quad x\mapsto\frac1x</math>
sind Involutionen, denn es gilt
: <math>-(-x)=x</math> für alle <math>x\in\mathbb R</math>
und
: <math>\frac1{1/x}=x</math> für alle <math>x\ne0</math>.
Ist allgemein <math>G</math> eine [[abelsche Gruppe]], so ist die Abbildung <math>g\mapsto -g</math> (bei additiver Schreibweise) bzw. <math>g\mapsto g^{-1}</math> (bei multiplikativer Schreibweise) ein [[Gruppenautomorphismus]] und eine Involution. Für eine nichtabelsche Gruppe ist diese Abbildung zwar auch eine Involution, aber kein [[Gruppenhomomorphismus]] (gleichwohl ein [[Antihomomorphismus|Gruppen-''Anti''homomorphismus]]).

=== Logik ===
Die Negation in der [[Klassische Logik|klassischen Logik]] ist ebenfalls eine Involution, denn es gilt:
: <math>\forall x (\lnot\lnot x \leftrightarrow x)</math>

=== Die komplexe Konjugation ===

Beim Rechnen mit [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] ist das Bilden der [[Komplexe Zahl#Komplexe Konjugation|konjugiert-komplexen]] Zahl eine Involution:
Für eine komplexe Zahl <math>z=a+b\mathrm i</math> mit <math>a,b\in\mathbb R</math> ist die konjugiert-komplexe Zahl
: <math>\bar z = z^* = a - b\mathrm i.</math>
Nochmalige Ausführung der Konjugation liefert
<math>\overline{\overline{z}} = z^{**} = a + b\mathrm i = z</math>.

=== Die Quaternionen-Konjugation ===
Zur [[Quaternion]]
: <math>x=x_0+x_1 \mathrm i+x_2 \mathrm j+x_3 \mathrm k</math>
mit <math>x_0,x_1,x_2,x_3\in\mathbb R</math> wird die [[Quaternion#Konjugation|konjugierte Quaternion]] durch
: <math>\bar x=x_0-x_1 \mathrm i-x_2 \mathrm j-x_3 \mathrm k</math>
gebildet. Wegen der Umkehrung der Reihenfolge (wichtig bei nicht-[[kommutativ]]en Ringen!) der Faktoren bei der Multiplikation
: <math>\overline{x \cdot y}=\bar y \cdot \bar x</math>
wird diese Konjugation als [[Antiautomorphismus]] bezeichnet.

Nochmalige Ausführung der Konjugation liefert
: <math>\overline{\overline{x}} = x.</math>
Sie ist also eine Involution.

Beide Eigenschaften zusammen ergeben einen [[Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiven Antiautomorphismus]].

=== Das Transponieren von Matrizen ===
In der Menge <math>R^{n\times n}</math> der quadratischen [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] über einem Ring <math>R</math> ist das [[Transponierte Matrix|Transponieren]]
:<math>\cdot^T\colon R^{n\times n}\rightarrow R^{n\times n}</math>, <math>A\mapsto A^T</math>
eine Involution. Da <math>R^{n\times n}</math> ein Ring ist, sogar ein involutiver Antiautomorphismus.

Aus dieser Eigenschaft folgt zusammen mit der Selbstinversität der komplexen Konjugation, dass das [[Adjungierte Matrix|Adjungieren]] einer Matrix eine Involution ist.

=== Rechnen in F<sub>2</sub> ===
In der additiven Gruppe des [[Endlicher Körper|Restklassenkörpers]] <math>\mathbb{F}_2</math> ist die Abbildung <math>x \mapsto x+1</math> eine Involution:

: <math>(x + 1) + 1 = x.</math>

=== Geometrie ===
In der [[Geometrie]] sind Punkt- und Geradenspiegelungen Involutionen.

=== Involutorische Chiffren ===
Involutorische Chiffren weisen die Eigenart auf, dass der [[Algorithmus]] zum Verschlüsseln und zum Entschlüsseln identisch ist. Sie sind damit besonders bequem zu handhaben. Ein einfaches Beispiel aus der [[Kryptologie]] ist die [[Verschiebechiffre]] [[ROT13]], bei der zur [[Verschlüsselung]] jeder Buchstabe durch den um 13 Stellen im [[Alphabet (Kryptologie)|Alphabet]] verschobenen Buchstaben ersetzt wird. Die zweimalige Anwendung dieser Methode ergibt eine Verschiebung um 26 Buchstaben und damit wieder den ursprünglichen [[Klartext (Kryptographie)|Klartext]]. In der Geschichte gab es aber auch wesentlich komplexere involutorische Verschlüsselungsverfahren. Das wohl bekannteste Beispiel ist die deutsche Verschlüsselungsmaschine [[Enigma (Maschine)|ENIGMA]], die im [[Zweiter Weltkrieg|Zweiten Weltkrieg]] im Nachrichtenverkehr des [[Wehrmacht|deutschen Militärs]] verwendet wurde.

Die logische Funktion [[Exklusives Oder]] ist ebenfalls selbstinvers und wird daher unter anderem in Verschlüsselungsalgorithmen wie [[One Time Pad]] eingesetzt.

== Körperinvolution ==
Unter einer '''Körperinvolution''' versteht man üblicherweise eine Involution, die zugleich ein Körper[[automorphismus]] ist.

Von einer Körperinvolution <math>\sigma</math> über einem Körper <math>K</math> fordert man also
: <math>\sigma^2 = \operatorname{id}_K</math>
sowie für alle <math>a,b\in K</math>
: <math>\sigma(a + b) = \sigma(a) + \sigma(b)</math>
und
: <math>\sigma(ab) = \sigma(a)\sigma(b).</math>

Die bekannteste nichttriviale Körperinvolution ist die [[Komplexe Konjugation|Konjugation]] über den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]. Aus diesem Grund benutzt man für eine Körperinvolution oft die gleiche Schreibweise wie für die komplexe Konjugation: Anstelle von <math>\sigma(a)</math> wird häufig <math>\overline{a}</math> geschrieben.

Ein anderes Beispiel ist der Automorphismus des Körpers
: <math>\mathbb Q\left(\sqrt2\right)=\left\{a+b\sqrt2\mid a,b\in\mathbb Q\right\},</math>
der durch
: <math>a+b\sqrt2\mapsto a-b\sqrt2</math>
definiert ist. Man beachte, dass er im Unterschied zur komplexen Konjugation den Betrag nicht erhält:
: <math>|7-5\sqrt2|\approx0{,}1,</math> aber <math>|7+5\sqrt2|\approx14{,}1.</math>

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Involution
| Autor =
| Url = http://eom.springer.de/I/i052510.htm
}}

[[Kategorie:Algebra]]

Involution (Mathematik) - Versionsgeschichte

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