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2025-09-14T01:17:49Z

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Die '''Involut-Funktion''' wird zur Berechnung bei [[Evolventenverzahnung]]en verwendet. Die Involut-Funktion ist definiert als:
:<math>\operatorname{inv}(\alpha) = \tan (\alpha) - \alpha \quad \text{mit} \quad -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}</math>

Beispiel:
:<math>\operatorname{inv}(20^\circ) = \tan (20^\circ) - \frac{20^\circ \cdot \pi }{180^\circ} = \tan (20^\circ) - \frac{\pi}{9} = 0{,}014904384 \ldots = \operatorname{inv}\left(\frac{\pi}{9}\right)</math>

Siehe auch [[Evolvente]].

== Umkehrfunktion ==
Die [[Umkehrfunktion]] der Involut-Funktion sei im Folgenden mit <math>\operatorname{inv}^{-1}</math> bezeichnet.
Sie ist eine auf ganz <math>\R</math> definierte, [[analytische Funktion]], die [[Streng monoton wachsende Funktion|streng monoton wachsend]] ist und deren [[Funktionsgraph]] punkt[[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisch]] zu (0,0) ist und betragsmäßig durch <math>\pi/2</math> beschränkt ist (also ähnlich der reellen [[Arcustangens]]funktion).
Die Werte dieser Umkehrfunktion der Involut-Funktion kann man effizient [[Iteration#Numerische_Mathematik|iterativ]] bestimmen. Aus der [[Reihenentwicklung]] der Involut-Funktion

:<math>\operatorname{inv}(\alpha) = \tan (\alpha) - \alpha = \frac{1}{3} \alpha^3 + \frac{2}{15} \alpha^5 + \frac{17}{315} \alpha^7 + \dots </math>

lässt sich ableiten, dass für die inverse Involut-Funktion

: <math>\alpha = \operatorname{inv}^{-1}(\tan(\alpha) - \alpha) = \sqrt[3]{3\ \operatorname{inv}(\alpha)} - \frac{2}{5}\operatorname{inv}(\alpha) + \Theta\left(\operatorname{inv}(\alpha)^\frac{5}{3}\right) \approx \sqrt[3]{3\ \operatorname{inv}(\alpha)} - \frac{2}{5}\operatorname{inv}(\alpha)</math>

eine akzeptable Näherung ist, falls <math>|\operatorname{inv}(\alpha)|</math> genügend klein ist. Mit Hilfe des [[Newton-Verfahren]]s lässt sich dieser Näherungswert für <math>\alpha</math> weiter verbessern:

:<math> \alpha_{i+1} = \alpha_i + \frac{\operatorname{inv}(\alpha)-\tan(\alpha_i)+\alpha_i}{\tan(\alpha_i)^2} \quad \text{und} \quad \alpha_0 = \sqrt[3]{3\ \operatorname{inv}(\alpha)} - \frac{2}{5}\operatorname{inv}(\alpha)</math>

Ist <math>|\operatorname{inv}(\alpha)| > 2</math>, sollte man als Startwert <math>\alpha_0 = \arctan(\operatorname{inv}(\alpha))</math> wählen, damit obiges Newton-Verfahren auch konvergiert.
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
[[Kategorie:Getriebelehre]]
[[Kategorie:Zahnradtechnik]]

Involut-Funktion - Versionsgeschichte

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