imported>Georg Hügler am 30. Juli 2022 um 16:38 Uhr

2022-07-30T16:38:40Z

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In der [[Diskrete Mathematik|diskreten Mathematik]] bezeichnet die '''Inversion''' eine Koordinatentransformation zwischen verschiedenen Zahlenfolgen. Eine wichtige Klasse dieser Koordinatentransformationen ist die '''Binomialinversion'''.

== Inversionsformel ==
Seien <math>p_0, p_1, \ldots,</math> und <math>q_0, q_1, \ldots,</math> zwei [[Folge (Mathematik)|Folgen]] von Polynomen mit <math>\operatorname{Grad}(p_n) = \operatorname{Grad}(q_n) = n</math>. Das heißt, die Menge <math>p_0, \ldots, p_n</math> und die Menge <math>q_0, \ldots, q_n</math> bilden jeweils eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des Vektorraums aller Polynome vom [[Grad (Polynom)|Grad]] kleinergleich <math>n</math>. Mit Hilfe der Inversionsformel kann jedes <math>q_n</math> eindeutig durch <math>p_0, \ldots, p_n</math> beziehungsweise jedes <math>p_n</math> eindeutig durch <math>q_0, \ldots, q_n</math>ausgedrückt werden. Das heißt, es gibt eindeutig bestimmte [[Koeffizient|Koeffizienten]] <math>a_{nk}</math> und <math>b_{nk}</math> mit
:<math>q_n(x) = \sum_{k=0}^n a_{nk} p_k(x)</math>
beziehungsweise mit
:<math>p_n(x) = \sum_{k=0}^n b_{nk} q_k(x)\,.</math>

Die Koeffizienten <math>a_{nk}</math> und <math>b_{nk}</math> heißen Zusammenhangskoeffizienten. Setzt man <math>a_{nk} = b_{nk} = 0</math> für <math>n < k</math>, dann erhält man zwei (unendlich große) [[Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrizen]], die zueinander [[Inverse Matrix|invers]] sind. Sei also <math>A = (a_{ij})</math> und <math>B = (b_{ij})</math> dann gilt <math>A = B^{-1}</math>. Aus diesem Grund gilt für alle Zahlenfolgen <math>u_1, u_2, \ldots</math> und <math>v_1, v_2 \ldots </math>:

:<math> v_n = \sum_{k=0}^n a_{nk} u_k \Longleftrightarrow
u_n = \sum_{k=0}^n b_{nk} v_k \,.</math>

== Beispiel ==
Über dem [[Vektorraum]] der [[Polynom]]e bis zum Grad n stellen sowohl die [[Monom|Monome]] <math> 1,x,x^2,...,x^n </math> als auch die Polynome <math> 1,x-1,(x-1)^2,...,(x-1)^n </math> eine Basis dar. Jedes Polynom aus der ersten Folge kann also als [[Linearkombination]] der Polynome der zweiten Folge dargestellt werden, und umgekehrt. Die Inversionsformeln dazu lauten
:<math> (x-1)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^{n-k} x^k </math>
und
:<math> x^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} (x-1)^k\,.</math>

Dies ist ein Beispiel der Binomial-Inversion. Allgemein gilt für alle [[Familie (Mathematik)|Familien]] <math>u_1, \ldots u_n</math> und <math>v_1, \ldots , v_n</math>, dass
:<math> u_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{n-k} v_k \Longleftrightarrow
v_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u_k </math>.

== Quellen ==
* Martin Aigner: ''Diskrete Mathematik'', 6., korrigierte Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8, Kap. 2.3.

[[Kategorie:Diskrete Mathematik]]

Inversion (Diskrete Mathematik) - Versionsgeschichte

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