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2026-03-08T12:50:42Z

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Ein mathematisches Problem wird ein '''inverses Problem''' genannt, wenn man von einer beobachteten oder gewünschten ''Wirkung'' eines Systems auf die der Wirkung zugrunde liegende ''Ursache'' zurückschließen will. Inverse Probleme sind oft sehr schwierig oder manchmal gar nicht [[Lösung (Mathematik)|lösbar]]. Beispielhaft für die Anwendung solcher Probleme sind Bildgebungsverfahren in der Medizin wie etwa [[Computertomografie|Computertomographie]] oder [[Magnetresonanztomographie]].<br />
Das Gegenteil eines inversen Problems ist ein ''[[direktes Problem]]'' (teilweise auch [[Vorwärtsproblem]] genannt), bei dem man ausgehend von der bekannten ''Ursache'' die ''Wirkung'' des Systems ableiten möchte.<ref>{{Internetquelle |url=https://inverseprobleme.de/ |titel=GIP – Gesellschaft für Inverse Probleme e.V. |sprache=de-DE |abruf=2026-03-08}}</ref>

Man unterscheidet ''[[Korrekt gestelltes Problem|gut gestellte]]'' und ''schlecht gestellte'' inverse Probleme. Neben Fragen der mathematisch-physikalischen [[Gleichgewicht (Systemtheorie)#stabil|Stabilität]] ist oft auch jene der [[Stabilität (Numerik)|numerischen Stabilität]] (etwa bei großen [[Normalengleichungen|Normalgleichungs-Systemen]]) zu beachten. Zur Verbesserung der numerischen Stabilität kommen Regularisierungsverfahren zum Einsatz.

== Erklärende Beispiele ==
Die Schwierigkeit von inversen Problemen kann man an einem Beispiel veranschaulichen:

* Ein [[U-Boot|Untersee-Boot]] befindet sich an einer Stelle A, definiert durch die Koordinaten ''x'' und ''y'' und eine Tiefe ''t'' (Koordinate ''z'') im Meer.
* Der Antrieb sendet [[Schall]]wellen aus (Motoren- und Propellergeräusche).

Kennt man die Eigenschaften dieser Schallwellen ([[Amplitude|Stärke]], [[Frequenz]]) und des übertragenden [[Ausbreitungsmedium|Mediums]] (Temperatur des [[Wasser]]s), kann man leicht berechnen, wie laut ein [[Mikrofon]] an einer entfernten Stelle B das U-Boot hören kann. Das ist ein einfach zu lösendes, direktes Problem. Man schließt von der Ursache (Geräusch am Ort A) auf die Wirkung (akustisches Signal am Mikrofon am Ort B). Für die Ortung des U-Boots möchte man ''umgekehrt'' aus dem am Ort B gemessenen Geräusch wissen, wo und in welcher Tiefe sich das U-Boot befindet. Wichtig ist dann oft auch die Frage, um welche Art von U-Boot es sich handelt.

Dieses ist das zugehörige inverse Problem, bei dem man von der Wirkung auf die Ursache schließen möchte. Das Ortungsproblem ist ungleich schwieriger zu lösen. Hat man bei dem empfangenen Signal z. B. keine Informationen, aus welcher Richtung der Schall kommt, ist das Problem unlösbar. Rein geometrisch würden zwei Messpunkte nur für eine Lokalisierung der Koordinaten ''x'' und ''y'' genügen, wenn die Richtung bekannt ist. Bei drei Koordinaten – um auch die Tiefe zu ermitteln – wären also drei Messpunkte nötig. Damit könnte zugleich eine Lokalisierung erfolgen, wobei als zusätzlicher Faktor die noch unbekannte Geschwindigkeit des U-Bootes hinzukommt. Ferner ist nicht bekannt, mit welcher Leistung das U-Boot momentan fährt – also mit halber oder voller Kraft. Es fallen also im Laufe der Zeit eine Vielzahl von Daten an, die zu berücksichtigen sind. Der Schwierigkeitsgrad der Lösung nimmt mit der Zahl der Dimensionen zu.<ref>Heinrich Tietze, 1949, Seite 118 ff.: Drei Dimensionen - Höhere Dimensionen</ref>

Weitere Beispiele für inverse Probleme
{{Belege}}
# Bei der [[Computertomografie]] möchte man aus den Messungen eines beim Durchstrahlen eines Körpers geschwächten [[Röntgenstrahlung|Röntgenstrahls]] (Wirkung) auf den örtlichen Verlauf der Röntgen-Absorption im Körperinnern (Ursache) schließen. Viele inverse Probleme treten im Zusammenhang mit [[Tomografie|tomografischen]] Fragestellungen auf.
# Aufnahmen [[Astronomie|astronomischer]] Objekte sind manchmal durch die Eigenschaften der Aufnahmegeräte oder durch die [[Brechung (Physik)|Brechung]] der [[Erdatmosphäre]] in ihrer Qualität herabgesetzt. Man kann von einem schlechten Bild (beobachtete Wirkung) nicht auf die Eigenschaften eines Objektes (Ursache) schließen und benötigt daher viele Aufnahmen für die gewünschten Erkenntnisse.
# Aus den gemessenen Signalen eines [[Erdbeben]]s (Wirkung) möchte man Eigenschaften des [[Erdinneres|Erdinneren]] ableiten (Ursache des Bebens).
# Aus [[Lotabweichung]]en oder [[Schwereanomalie]]n soll auf die [[Massenverteilung]] im Erdinnern geschlossen werden ([[Umkehrproblem der Potentialtheorie]])
# Die spektralen Daten der [[IR-Spektroskopie]] oder [[Raman-Spektroskopie]] einer Mischung von Gasen oder Flüssigkeiten stellen eine Überlagerung der [[Absorptionsspektrum|Spektren]] der im Gemisch enthaltenen reinen Komponenten dar. Bei Kenntnis der Reinstoffspektren möchte man aus den unterschiedlich intensiven Peaks im Gemischspektrum (Wirkung) auf die Konzentrationen (Ursache) der einzelnen Komponenten im Gemisch schließen.
# Das Kalibrieren von Parametern finanzmathematischer Modelle über Marktpreise gehandelter derivativer Instrumente (Swaptions, Caps, Floors etc.) ist ebenfalls ein inverses Problem.

== Lösungsansätze ==
Für inverse Streuprobleme vom [[Sturm-Liouville-Problem|Sturm-Liouville-Typ]] gibt es die Gelfand-Levitan-Theorie (1951), nach [[Israel Gelfand]] und [[Boris Levitan]]. Dazu zählen zum Beispiel Wellengleichungen mit Streupotential und die [[stationäre Schrödingergleichung]] mit Potential. Die Aufgabe besteht in der Rekonstruktion des Potentials aus den Streudaten.

Einige inverse Probleme führen auch auf Integralgleichungen vom [[Abelsche Integralgleichung|Abelschen Typ]].

== Literatur ==
* [[Heinrich Tietze]]: ''Gelöste und ungelöste Probleme der Mathematik aus alter und neuer Zeit. 14 Vorträge für Laien und für Freunde der Mathematik'', 2 Bände, Biederstein Verlag, München 1949
=== Allgemeine inverse Probleme ===
* Alfred Louis: ''Inverse und schlecht gestellte Probleme''. Teubner, Stuttgart 2001, ISBN 3-519-02084-X.
* Andreas Rieder: ''Keine Probleme mit Inversen Problemen''. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03198-0.
* Albert Tarantola: ''Inverse Problem Theory''. ([http://www.ipgp.jussieu.fr/~tarantola/Files/Professional/SIAM/index.html als PDF]), Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2005, ISBN 0-89871-572-5.
* Heinz W. Engl, Martin Hanke, Andreas Neubauer: ''Regularization of inverse problems''. Springer Netherland, Berlin 1996, ISBN 0-7923-4157-0.

=== Inverse Probleme in der medizinischen Bildgebung ===
* [[Frank Natterer]]: ''The Mathematics of Computerized Tomography''. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2001. ISBN 0-89871-493-1.
* Frank Natterer und Frank Wübbeling: ''Mathematical Methods in Image Reconstruction''. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2001, ISBN 0-89871-472-9.

== Siehe auch ==
* [[Bildgebendes Verfahren]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

Inverses Problem - Versionsgeschichte

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