imported>Rigormath: Weil bei invertierbar der Zusatz "beidseitig" unüblich ist, wurde er eingeklammert; ich würde ihn sogar ganz weglassen.

2026-03-14T14:47:30Z

Weil bei invertierbar der Zusatz "beidseitig" unüblich ist, wurde er eingeklammert; ich würde ihn sogar ganz weglassen.

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In der [[Mathematik]] treten '''inverse Elemente''' bei der Untersuchung von [[Algebraische Struktur|algebraischen Strukturen]] auf. Solch eine Struktur besteht aus einer Menge und einer in ihr definierten [[Zweistellige Verknüpfung|zweistelligen Verknüpfung]] (Rechenoperation). In diesem Kontext heißt das: Wenn man ein beliebiges Element der Menge und sein Inverses mit der Rechenoperation verknüpft, erhält man immer das sogenannte [[Neutrales Element|neutrale Element]] als Ergebnis.

Umgangssprachlich könnte man das inverse Element auch das „umgekehrte“ oder „entgegengesetzte“ Element nennen. Dabei darf man aber nicht vergessen, in welchem Kontext man sich befindet, denn es gibt eine Vielzahl von Möglichkeiten, eine Menge bzw. eine Rechenoperation zu definieren.

== Definition ==

Sei <math>A</math> eine Menge mit einer [[Zweistellige Verknüpfung|zweistelligen Verknüpfung]] <math>\circ</math> und einem [[Neutrales Element|neutralen Element]] <math>e</math>. Seien <math>a,b \in A</math>.

Ist zunächst keine Kommutativität gegeben, d. h. es gilt lediglich <math>a \circ b=e</math>, so heißt <math>a</math> ''rechtsinvertierbar'' mit dem ''rechtsinversen Element'' <math>b</math>, und es heißt <math>b</math> ''linksinvertierbar'' mit dem ''linksinversen Element'' <math>a</math>.

Existiert hingegen für ein Element <math>a</math> ein Element <math>b</math> mit <math>a \circ b=b \circ a=e</math>, so heißt <math>a</math> ''beidseitig invertierbar'' oder kurz ''invertierbar'' mit dem ''inversen Element'' <math>b</math>.

Ein (beidseitig) inverses Element wird bei additiver Schreibweise der Verknüpfung häufig als <math>( -a )</math> geschrieben, bei multiplikativer Schreibweise häufig als <math>a^{-1}</math>.

== Eigenschaften ==

Die Verknüpfung <math>\circ</math> sei als [[Assoziativgesetz|assoziativ]] vorausgesetzt, d. h. <math>A</math> sei ein [[Monoid]].

* Ist ein Element <math>a</math> sowohl links- als auch rechtsinvertierbar, dann stimmen alle links- und rechtsinversen Elemente von <math>a</math> überein. Insbesondere ist <math>a</math> (beidseitig) invertierbar, und das zu einem (beidseitig) invertierbaren Element inverse Element ist eindeutig bestimmt.
* Das Inverse des Inversen ist das ursprüngliche Element, also <math>\left(a^{-1} \right)^{-1} = a</math>. Die [[einstellige Verknüpfung]] <math>^{-1}</math> ist also eine [[Involution (Mathematik)|Involution]] auf der Menge der (beidseitig) invertierbaren Elemente.
* Ist ein Produkt <math>a \circ b</math> rechtsinvertierbar, so ist auch <math>a</math> rechtsinvertierbar; ist <math>a \circ b</math> linksinvertierbar, so ist auch <math>b</math> linksinvertierbar. Sind <math>a</math> und <math>b</math> (beidseitig) invertierbar, so auch <math>a \circ b</math>, und es gilt
:: <math>(a \circ b)^{-1}=b^{-1} \circ a^{-1}.</math>
: Diese Eigenschaft wird gelegentlich ''Socke-Schuh-Regel'' (englisch: ''shoe(s)-socks property'') oder ''Hemd-Jacken-Regel'' genannt: Beim Ausziehen von Schuhen und Socken oder Hemd sowie Jacke muss man die Reihenfolge des Anziehens umkehren.
* Die (beidseitig) invertierbaren Elemente eines Monoids bilden eine Gruppe. Dies folgt aus den beiden vorangegangenen Eigenschaften. Diese Gruppe wird als [[Einheitengruppe]] bezeichnet. Dieser Begriff ist vor allem dann üblich, wenn man vom multiplikativen Monoid eines [[Unitärer Ring|unitären Ringes]] spricht.
* Ein Monoid-[[Homomorphismus]] <math>f \colon A \to B</math> bildet Inverse auf Inverse ab, d. h., ist <math>a \in A</math> invertierbar, so ist auch <math>f \left(a \right) \in B</math> invertierbar, und es gilt
:: <math>f \left(a^{-1} \right)=f \left(a \right)^{-1}.</math>

Gilt in einer algebraischen Struktur <math> \left(A, \circ \right)</math> mit neutralem Element das Assoziativgesetz nicht allgemein, so kann es sein, dass ein Element mehrere Linksinverse und mehrere Rechtsinverse hat.

== Beispiele ==

=== Additiv Inverses ===

In den bekannten [[Zahlenmenge]]n ([[natürliche Zahl]]en einschließlich der Null 0, [[rationale Zahl]]en usw.) hat man eine [[Addition]] mit neutralem Element 0. Das additiv Inverse einer Zahl <math>a</math> ist die Zahl, die zu <math>a</math> addiert 0 ergibt, also ihr '''Entgegengesetztes''' oder auch ihre '''[[Positive und negative Zahlen#Gegenzahl|Gegenzahl]]''' <math>-a</math>.<br />
Addiert man zu einem Term <math>a +(-a)=a -a=0</math>, fügt man eine so genannte ''konstruktive'' oder ''produktive Null'' hinzu.

Zum Beispiel ist <math> -7</math> das Entgegengesetzte von <math>7</math>, denn <math>7 + ( -7) = ( -7) + 7 = 0</math>. Aus demselben Grund ist das Entgegengesetzte von <math> -7</math> wiederum <math>7</math>, also ist <math>-( -7) = 7</math>. Das gilt allgemein für alle Zahlen.

Daher ist das Entgegengesetzte einer Zahl nicht immer eine [[negative Zahl]], also eine Zahl <math> a < 0</math>. Für negative Zahlen <math>a</math> gilt: <math> -a > 0,</math> d. h. das Entgegengesetzte einer negativen Zahl ist eine [[positive Zahl]]. Das Entgegengesetzte einer positiven Zahl ist jedoch stets eine negative Zahl.

Das Entgegengesetzte erhält man in diesen Fällen stets durch [[Multiplikation]] mit −1, d. h. <math>-a = -1 \cdot a</math>.

Allgemein existiert das '''additiv inverse Element''' regelmäßig in ''additiv geschriebenen [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]] <math>(G,+)</math>''<ref>{{Literatur |Autor=[[Bartel Leendert van der Waerden|Bartel L. van der Waerden]] |Titel=Algebra |Band=1 |Auflage=9. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin [u. a.] |Datum=1993 |ISBN=3-540-56799-2 |Seiten=14}}</ref>. Die Hauptbeispiele hierfür sind:
* [[ganze Zahl]]en
* [[rationale Zahl]]en
* [[reelle Zahl]]en
* [[komplexe Zahl]]en
* [[p-adische Zahl]]en
* [[hyperreelle Zahl]]en

Daneben existieren Zahlenmengen, in denen zwar eine [[Addition]] ausführbar ist, in denen jedoch keine '''additiv inversen Elemente''' existieren. Solche sind z. B.
* [[natürliche Zahl]]en
* [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahlen]]
* [[Ordinalzahl]]en

Man kann die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen konstruieren, indem man formal die Negativen (und 0, falls 0 nicht als [[natürliche Zahl]] definiert ist) hinzunimmt und passende Rechenregeln definiert. So gesehen, hat jede natürliche Zahl ein Entgegengesetztes, das gleichzeitig sein Negatives ist. Da dieses jedoch (außer für 0, wenn 0 als natürliche Zahl definiert ist) keine natürliche Zahl ist, ist die Menge der natürlichen Zahlen nicht ''[[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|abgeschlossen]] unter der Entgegensetzung'' bzw. ''der Subtraktion'' (Addition mit einem Entgegengesetzten).

=== Multiplikativ Inverses ===

In den oben angesprochenen Zahlenmengen hat man auch eine Multiplikation mit neutralem Element 1. Das multiplikativ Inverse einer Zahl ''a'' ist die Zahl, die mit ''a'' multipliziert 1 ergibt. Es ist also der [[Kehrwert]] von ''a''.

Zum Beispiel ist der Kehrwert von 7 die rationale Zahl 1/7; in den ganzen Zahlen hat 7 jedoch kein multiplikativ Inverses.

Ist allgemein ein [[Ring (Algebra)|Ring]] ''R'' gegeben, dann heißen die Elemente, die multiplikativ Inverse haben, [[Einheit (Mathematik)|Einheiten]] des Rings. In der Theorie der [[Teilbarkeit]] unterscheidet man meist nicht zwischen Ringelementen, die sich multiplikativ um eine Einheit unterscheiden (d. h. Elementen <math>a</math>, <math>b</math> mit <math>a</math> = <math>eb</math> für eine Einheit <math>e</math>).

In [[Restklassenring]]en kann man das multiplikative Inverse ([[Restklassenring#Invertierbarkeit und Inversenberechnung|inverse Restklasse]]) mit Hilfe des [[Restklassenring#Invertierbarkeit und Inversenberechnung|erweiterten euklidischen Algorithmus]] berechnen, falls es existiert.

=== Umkehrfunktion ===
{{Hauptartikel|Umkehrfunktion}}

Betrachte die Menge <math>A ^A</math> aller Funktionen <math>f \colon A \to A</math> von einer Menge <math>A</math> nach <math>A</math>. Auf dieser Menge hat man die [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] (Hintereinanderausführung) als Verknüpfung, definiert durch
:<math> g \circ f \colon \, A \to A, \, a \mapsto (g \circ f)(a) := g(f(a))</math>.

Die Komposition ist assoziativ und hat die ''identische Abbildung'' <math> \operatorname{id}_A \colon A \to A, \, a \mapsto a</math> als neutrales Element.

Ist nun eine Funktion <math>f \colon A \to A</math> [[Bijektivität|bijektiv]], dann ist die Umkehrfunktion <math>f^{-1} \colon A \to A</math> das inverse Element von <math>f</math> in <math>A ^A</math>.

Man verallgemeinert diesen Begriff auf bijektive Funktionen <math>f \colon A \to B</math> und erhält eine Umkehrfunktion <math>f^{-1} \colon B \to A</math> mit <math>f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_A</math> und <math>f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_B.</math>

Ist ''A'' ein [[Körper (Algebra)|Körper]] wie z. B. die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]], dann darf man die Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> nicht mit dem Kehrwert <math>1/f</math> verwechseln! Die [[Umkehrfunktion]] ist nur definiert, wenn <math>f</math> bijektiv ist, und der Kehrwert ist nur definiert, wenn <math>f</math> keine [[Nullstelle]]n hat. Selbst wenn <math>f</math> eine [[Teilmenge]] von <math> \R \setminus \{0\}</math> bijektiv auf sich abbildet, stimmen Umkehrfunktion und Kehrwert im Allgemeinen nicht überein.

Zum Beispiel hat die Funktion <math>f \colon \R^+ \to \R^+, \, x \mapsto x^2</math> eine Umkehrfunktion <math>f^{-1} \colon \R^+ \to \R^+, \, x \mapsto \sqrt x</math> und einen Kehrwert <math>\left( \frac{1}{f} \right)(x) = \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{x^2}</math>, die jedoch nicht übereinstimmen. (Dabei ist <math> \R^+ = (0, \infty)</math> die Menge der positiven reellen Zahlen.)

== Selbstinverse Elemente ==

In einem [[Monoid]] <math>(M,*)</math> mit dem neutralen Element <math>e \in M</math> heißt ein Element <math>a \in M</math> '''selbstinvers''', wenn gilt:
: <math>a * a = e \ \text{bzw.}\ a^{{-}1} = a</math>

* Das neutrale Element ist in jedem Monoid selbstinvers: <math>e * e = e</math>
* In einer [[Verknüpfungstafel]] für ein Monoid erkennt man die selbstinversen Elemente daran, dass auf der Diagonalen das neutrale Element steht.
** Beispiel:
{| border="2" cellpadding="5" align="center" style="text-align:center;"
|-
!style="background:#EFEFEF;"|<math>*</math>
!style="background:#EFEFEF;"|e
!style="background:#EFEFEF;"|a
!style="background:#EFEFEF;"|b
!style="background:#EFEFEF;"|c
|-
!style="background:#EFEFEF;"|e
| e || a || b || c
|-
!style="background:#EFEFEF;"|a
| a || e || c || b
|-
!style="background:#EFEFEF;"|b
| b || c || e || a
|-
!style="background:#EFEFEF;"|c
| c || b || a || e
|}
* Ein Monoid, in dem jedes Element selbstinvers ist, ist immer eine [[Kommutativgesetz|kommutative]] Gruppe.
** Beweis:
:: Da jedes Element ein inverses Element (nämlich sich selbst) besitzt, ist das Monoid eine Gruppe.
:: Da mit <math>a, b \in M</math> auch <math>(a * b) \in M</math>, ist auch <math>(a * b)</math> selbstinvers, so dass gilt
:::<math>(a * b) * (a * b) = e</math>
:: Ebenso gilt aber auch (wegen des Assoziativgesetzes)
::: <math>(a * b) * (b * a) = a * (b * (b * a)) = a * (( b * b) * a) = a * (e * a) = a * a = e.</math>
:: Wegen der Eindeutigkeit des (rechts-)inversen Elements in einer Gruppe (siehe oben) muss deshalb gelten
::: <math>b * a = a * b.</math>

== Verallgemeinerung: Definitionen ohne neutrales Element ==

Man kann inverse Elemente auch ohne die Existenz eines neutralen Elementes, also in einem beliebigen [[Magma (Mathematik)|Magma]] oder einer [[Halbgruppe]] definieren.

=== (schwache) Inverse in einem Magma ===

Gibt es in einem beliebigen Magma <math>(M,*)</math> für ein <math>a\in M</math> ein eindeutiges Element <math>a^{{-}1} \in M</math>, so dass für alle <math>b\in M</math> gilt:

: <math>a^{{-}1} * (a * b) = b = (b * a) * a^{{-}1},</math>
dann nennt man <math>a</math> ''(schwach) invertierbar'' und <math>a^{{-}1}</math> das ''(schwache) Inverse'' von <math>a</math>. Ein Magma <math>(M,*),</math> in dem alle <math>a\in M</math> (schwach) invertierbar sind, hat die '''Inverseneigenschaft''' (engl. ''inverse property''<ref name="bruck111">{{Literatur |Autor=Richard Hubert Bruck |Titel=A survey of binary systems |Reihe=Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete |BandReihe=NF20 |Auflage=3. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=1971 |ISBN=978-3-662-42837-5 |Seiten=111}}</ref>), und man nennt <math>(M,*),</math> dann ''[[Quasigruppe#Quasigruppe mit Inverseneigenschaft|Quasigruppe mit Inverseneigenschaft]]''.

Ein Magma mit Inverseneigenschaft ist eine [[Quasigruppe]] (Beweis siehe [[Quasigruppe#Quasigruppe mit Inverseneigenschaft|Quasigruppe]]). Eine [[Halbgruppe]], die die Inverseneigenschaft hat, ist demnach sogar bereits eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]].

Gemäß dieser Definition operieren <math>a</math> und <math>a^{{-}1}</math> zusammen wie ein neutrales Element auf jedem Element <math>b\in M</math>, aber es muss nicht unbedingt ein explizites, neutrales Element geben.

In einer Halbgruppe <math>(M,*),</math> die die Inverseneigenschaft hat, gilt jedoch wegen des [[Assoziativgesetz]]es für alle <math>b\in M</math>:

: <math>(a^{{-}1} * a) * b = a^{{-}1} * (a * b) = b = (b * a) * a^{{-}1} = b * (a * a^{{-}1}),</math>

also ist <math> e := (a^{{-}1} * a) </math> das (eindeutige) neutrale Element von <math>(M,*).</math> In (Halb-)Gruppen stimmen also beide Definitionen von inversen Elementen überein, in Quasigruppen nicht unbedingt.

=== (überkreuzt) Inverse in einem Magma ===

Gibt es in einem beliebigen Magma <math>(M,*)</math> für ein <math>a\in M</math> ein Element <math>a^{{-}1} \in M</math>, so dass für alle <math>b\in M</math> gilt:

: <math>a^{{-}1} * (b * a) = b = (a * b) * a^{{-}1},</math>
dann nennt man <math>a</math> ''(überkreuzt) invertierbar'' und <math>a^{{-}1}</math> ein ''(überkreuzt) Inverses'' (engl. ''crossed inverse''<ref name="bruck111" />) von <math>a</math>.

Ein Magma <math>(M,*),</math> in dem alle <math>a\in M</math> ein (überkreuzt) Inverses haben, hat die '''Überkreuzt-Inverseneigenschaft''' (engl. ''crossed inverse property'', CIP), und man nennt <math>(M,*),</math> dann auch ''CIP-Magma'' (engl. ''CIP-groupoid''<ref name="Izbash">{{Literatur |Autor=V.Izbash, N. Labo |Titel=Crossed-inverse-property groupoids |Reihe=Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica |BandReihe=2(54) |Datum=2007 |ISSN=1024-7696 |Seiten=101–106}}</ref>).

In einem CIP-Magma ist das (überkreuzt) Inverse für ein Element eindeutig bestimmt.<ref name="Izbash" /> Außerdem ist ein CIP-Magma auch immer eine Quasigruppe (''CIP-Quasigruppe'').<ref name="Izbash" />

Eine [[Abelsche Gruppe]] hat die Überkreuzt-Inverseneigenschaft, eine nicht-kommutative Gruppe nicht unbedingt:

: <math>(b * a) = (a * b) \implies a^{{-}1} * (b * a) = a^{{-}1} * (a * b) = (a^{{-}1} * a) * b = e * b = b \land (a * b) * a^{{-}1} = (b * a) * a^{{-}1} = b * (a * a^{{-}1}) = b * e = b</math>

=== (relativ) Inverse in einer Halbgruppe ===

In einer [[Inverse Halbgruppe|inversen Halbgruppe]] <math>(A,*)</math> wird ein '''(relatives) Inverses''' (engl. ''relative inverse''<ref name="bruck25">{{Literatur |Autor=Richard Hubert Bruck |Titel=A survey of binary systems |Reihe=Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete |BandReihe=NF20 |Auflage=3. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=1971 |ISBN=978-3-662-42837-5 |Seiten=25}}</ref>) <math>y\in A</math> zu einem <math>x\in A</math> dadurch definiert, dass gilt:
: <math>x * y * x = x</math> und <math>y * x * y = y</math>.

Diese Definition ist noch schwächer als in einer Quasigruppe mit Inverseneigenschaft, da ansonsten die inverse Halbgruppe bereits eine Gruppe wäre.

== Siehe auch ==
* [[Retraktion und Koretraktion]], Links- bzw. Rechtsinverse in [[Kategorie (Mathematik)|Kategorien]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]

Inverses Element - Versionsgeschichte

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