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2026-03-26T10:11:00Z

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Die '''inverse Normalverteilung''' (auch '''inverse Gauß-Verteilung''' oder '''Wald-Verteilung''' genannt) ist eine kontinuierliche [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der [[Brownsche Molekularbewegung|Brownschen Molekularbewegung]] mit Drift <math>v>0</math> und Streuungskoeffizient <math>\lambda>0</math> ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus <math>a>0</math> invers normalverteilt mit den Parametern <math>\left(\tfrac{a}{v}, \tfrac{a^{2}}{\lambda^{2}}\right)</math>. Die inverse Normalverteilung gehört zur [[Exponentialfamilie]].

== Definition ==
[[Datei:PDF invGauss.svg|mini|Dichtefunktionen verschiedener inverser Gaußverteilungen]]
Eine stetige Zufallsvariable <math>X</math> genügt der ''inversen Normalverteilung'' mit den
Parametern <math>\lambda > 0</math> (Ereignisrate) und <math>\mu > 0</math> ([[Erwartungswert]]), wenn sie die
[[Wahrscheinlichkeitsdichte]]
:<math>f(x)=
\begin{cases}
\left(\frac{\lambda}{2\pi x^3}\right)^{\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{\lambda(x-\mu)^2}{2\mu^2x}\right) & \text{für } x > 0 \\
0 & \text{für } x \leq 0
\end{cases}</math>
besitzt.

== Eigenschaften ==

=== Verteilungsfunktion ===
Die [[Verteilungsfunktion]] ist gegeben als
:<math> F(x) = \operatorname{IG}\left(x;\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}};\sqrt{\lambda}\right) := 1 - \Phi\left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt{x}}-\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\sqrt{x}\right) + e^{2\mu}\Phi\left(-\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt{x}}-\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\sqrt{x}\right). </math>

=== Erwartungswert ===
Die inverse Normalverteilung besitzt den [[Erwartungswert]]
:<math> \operatorname{E}(X) = \mu </math>.

=== Varianz ===
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] ergibt sich analog zu
:<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{\mu^3}{\lambda}</math>.

=== Standardabweichung ===
Daraus erhält man für die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]]
:<math>\sigma = \sqrt{\frac{\mu^3}{\lambda}}</math>

=== Variationskoeffizient ===
Aus [[Erwartungswert]] und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] erhält man unmittelbar den [[Variationskoeffizient]]en
:<math>\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}</math>.

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] ergibt sich zu
:<math>\operatorname{v}(X) = 3\sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}</math>.

=== Wölbung (Kurtosis) ===
Die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]] ergibt sich zu
:<math>\beta_2 = \frac{15 \mu}{\lambda} + 3 </math>.
Die Exzess-Kurtosis ist
:<math>\gamma_2 = \beta_2 - 3 = \frac{15 \mu}{\lambda} </math>.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] hat die Form
:<math>\phi_{X}(s) = \exp\left(\frac{\lambda}{\mu}\left(1-\sqrt{1-\frac{2\mu^2is}{\lambda}}\right)\right)</math>.

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] der inversen Normalverteilung ist
:<math>m_{X}(s) = \exp\left(\frac{\lambda}{\mu}\left(1-\sqrt{1-\frac{2\mu^2s}{\lambda}}\right)\right)</math>.

=== Reproduzierbarkeit ===
Sind <math>X_1, \dots, X_n</math> [[Zufallsvariable]] mit inverser Normalverteilung mit den Parametern <math>\lambda</math> und <math>\mu</math>, dann ist die Größe <math>\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}</math> wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern <math>n\lambda</math> und <math>\mu</math>.

=== Laplacetransformation ===
Die [[Laplace-Transformation|Laplacetransformation]] der inversen Normalverteilung ist
:<math>\mathbb{E}[e^{-\lambda T}] = \int_0^\infty e^{-\lambda t}\operatorname{IG}(\text{d}t;\zeta;u) = \exp\left\{-u\left(\sqrt{2\lambda+\zeta^2}-\zeta\right)\right\}.</math>

== Anwendungen ==
=== Diffusionsapproximationen ===
In der [[Versicherungsmathematik]] kann zur Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit die zeitliche Verteilung der Schäden mithilfe des [[Satz von Donsker|Satzes von Donsker]] durch eine [[Wienerprozess|Brownsche Bewegung]] approximiert werden. Die dadurch approximierten Ruinwahrscheinlichkeiten basieren auf speziellen Parametrisierungen der inversen Normalverteilung.

== Literatur ==
*Hansjörg Asmussen, Søren Albrecher. Ruin Probabilities (Second Edition). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2010, ISBN 978-981-320-361-7, Kapitel 5, S. 136–145.
*[[William Feller]]. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, Volume II (Second Edition). New York, NY: Dover Publications, 1971, ISBN 978-0-471-25709-7, Kapitel VIII, S. 436–437, 463.

== Weblinks ==
*{{MathWorld| id = InverseGaussianDistribution| title = Inverse Gaussian Distribution| author = }}

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Inverse Normalverteilung - Versionsgeschichte

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