imported>Blaues-Monsterle: Großschreibung erster Bestandteil durchgekoppelter Substantive, keine Ausnahme für Adelsprädikate

2018-06-04T01:57:47Z

Großschreibung erster Bestandteil durchgekoppelter Substantive, keine Ausnahme für Adelsprädikate

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Die '''inverse Iteration''' ist ein [[Numerik|numerisches]] Verfahren zur Berechnung von [[Eigenwert]]en und [[Eigenvektor]]en von [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]]. Sie ist eine Variante der [[Potenzmethode|Von-Mises-Iteration]], mit deren Hilfe allerdings beliebige Eigenwerte berechnet werden können. Das Verfahren wurde 1944 von [[Helmut Wielandt]] bei der Stabilitätsanalyse von Strukturen, die kleine Störungen bekannter Systeme sind, eingeführt. In diesem Fall sind gute Approximationen für die relevanten Eigenwerte bekannt, und man erhält rasche Konvergenz.

== Beschreibung ==
Ist <math>\lambda</math> ein Eigenwert der quadratischen [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> und <math> x </math> der zugehörige [[Eigenvektor]], so ist <math>\lambda-\theta</math> ein Eigenwert von <math>(A-\theta I)</math> zum Eigenvektor <math> x </math>, wobei <math> I </math> die [[Einheitsmatrix]] ist. Des Weiteren ist dann <math>\frac{1}{\lambda-\theta}</math> ein Eigenwert von <math>(A-\theta I)^{-1}</math> zum Eigenvektor <math> x </math>. Ist <math>\lambda</math> nun der Eigenwert von <math> A </math>, der <math>\theta</math> am nächsten liegt, so ist <math>\frac{1}{\lambda-\theta}</math> der betragsmäßig größte Eigenwert von <math>(A-\theta I)^{-1}</math>. Wendet man nun auf <math>(A-\theta I)^{-1}</math> die [[Potenzmethode]] an, so konvergiert <math>x_k</math> gegen den Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda</math> von <math> A </math>, der <math>\theta</math> am nächsten liegt.

Statt wie bei der Potenzmethode in jedem Schritt die Matrix mit einem Vektor zu multiplizieren, wird nun ein [[lineares Gleichungssystem]] gelöst, da <math>(A-\theta I)^{-1}</math> nicht explizit verfügbar ist. Diese Matrix ist schlechter [[Kondition (Mathematik)|konditioniert]], je näher <math>\lambda</math> an <math>\theta</math> liegt, allerdings hat der Fehler eine dominante Komponente in Richtung des gesuchten Eigenvektors, so dass das Verfahren praktisch nutzbar ist.

== Algorithmus ==
Gegeben sei eine quadratische Matrix <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math>, ein Startvektor <math>x_0\in\mathbb{R}^n</math> und ein Shift <math>\theta\in\mathbb{R}</math> so dass <math>(A-\theta I)</math> [[Reguläre Matrix|regulär]] ist. Der Startvektor kann bis auf eine Lebesgue-[[Nullmenge]] beliebig gewählt werden.

Für <math>k=1,2,...</math>
# <math>q_k=\frac{x_{k-1}}{\|x_{k-1}\|}</math>
# Löse <math>(A-\theta I)x_k=q_k</math>

Über den [[Rayleigh-Quotient]]en erhält man eine Näherung für den zugehörigen Eigenwert.

:<math>\lambda_k=\frac{x_k^TAx_k}{x_k^Tx_k}</math>

== Erweiterungen ==
Wählt man in jedem Schritt über <math>\theta=\lambda_k</math> einen neuen Shift so erhält man die [[Rayleigh-Quotienten-Iteration]].

== Literatur ==
* [[Gene H. Golub]], Charles F. van Loan: ''Matrix Computations''
* [[James H. Wilkinson]]: ''The Algebraic Eigenvalue Problem''
* Hans-Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: ''Numerische Mathematik.'' 5., überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2004, ISBN 3-519-42960-8.

[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]

Inverse Iteration - Versionsgeschichte

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