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2026-03-02T21:41:03Z

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In der [[Mathematik]] versteht man unter einer '''Invariante''' eine mit einem Objekt assoziierte Größe, die sich bei einer jeweils passenden Klasse von Modifikationen des Objektes nicht ändert.<ref>{{Internetquelle |autor=Clara Löh |url=https://loeh.app.uni-regensburg.de/teaching/schnupperstudium_2021/schnupperstudium_2021.pdf |titel=Invarianten |hrsg=Universität Regensburg |abruf=2026-03-02}}</ref> Invarianten sind ein wichtiges Hilfsmittel bei [[Klassifikation (Mathematik)|Klassifikationsproblemen]]: Objekte mit unterschiedlichen Invarianten sind wesentlich verschieden; gilt auch die Umkehrung, d. h., sind Objekte mit gleichen Invarianten im Wesentlichen identisch, so spricht man von einem ''vollständigen Satz'' von Invarianten oder von ''trennenden Invarianten''.

== Einführendes Beispiel ==

Die betrachteten Objekte sind [[Geordnetes Paar|Paare]] <math>(x,y)</math> [[Reelle Zahl|reeller Zahlen]], erlaubte Modifikationen bestehen darin, zu beiden Zahlen dieselbe beliebig gewählte Zahl zu addieren:
: <math>(x,y) \longmapsto (x',y')=(x+z,y+z)</math>.
Eine Invariante ist in diesem Fall die Differenz <math>x-y</math> der beiden Zahlen:
: <math>x' - y' = (x+z) - (y+z) = x - y.</math>
Eine Interpretation dieses Beispiels könnte sein: <math>x</math> und <math>y</math> sind die Anfangs- und Endpunkt einer Stange, gemessen von einem festen Punkt in der Verlängerung der Stange. Die Modifikationen entsprechen einer Verschiebung der Stange um <math>z</math>, die Invariante ist die Länge der Stange.

In diesem Beispiel genügt bereits diese eine Invariante für eine vollständige Klassifikation: Zwei Zahlenpaare <math>(x_1,y_1)</math> und <math>(x_2,y_2)</math> gehen genau dann auseinander hervor, das heißt, es gibt ein <math>z</math>, so dass
: <math>x_1 + z = x_2</math> und <math>y_1 + z = y_2,</math>
wenn die Längen übereinstimmen:
: <math>x_1 - y_1 = x_2 - y_2.</math>
(Beweis: Setze <math>z = x_2 - x_1</math>, dann ist <math>y_1+z=x_2-(x_1-y_1)=x_2-(x_2-y_2)=y_2</math>.)

== Weitere Beispiele ==

* Die [[Dimension (Mathematik)#Hamel-Dimension|Dimension]] eines [[Vektorraum]]es ist eine [[Isomorphismus|Isomorphie]]-Invariante, d. h., sind <math>V</math> und <math>W</math> isomorphe Vektorräume, so stimmen ihre Dimensionen überein. Es gilt auch die Umkehrung: Zwei Vektorräume gleicher Dimension (aufgefasst als [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]]) über einem gemeinsamen Grundkörper sind isomorph.
* Die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] ist eine Ähnlichkeitsinvariante, d. h., sind <math>A</math> und <math>B</math> zwei Matrizen, für die es eine invertierbare Matrix <math>S</math> gibt, so dass <math>B=SAS^{-1}</math> gilt, so haben <math>A</math> und <math>B</math> dieselbe Determinante. Hier gilt die Umkehrung nicht, beispielsweise hat jede Drehung die Determinante 1.
* Die [[Frobenius-Normalform]] bzw. die Invariantenteiler der charakteristischen Matrix <math>xI-A</math>, wobei <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]] der gleichen Dimension ist wie A, dagegen ist sogar eine trennende Invariante der Ähnlichkeitsoperation, d. h., zwei Matrizen sind genau dann ähnlich zueinander, wenn sie die gleiche Frobenius-Normalform haben.
* [[Bettizahl]]en und [[Euler-Charakteristik]] sind ''topologische Invarianten'', d. h. invariant unter [[Homöomorphismus|Homöomorphismen]].

== Invarianten unter Operationen ==

Bei [[Gruppenoperation]]en spricht man ebenfalls von Invarianten: Ist <math>X</math> eine Punktmenge mit einer Operation der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>G</math>, so heißen die Punkte <math>x \in X</math>, die invariant bleiben,
: <math>\forall g \in G \colon gx=x</math>,
Fixpunkte oder die <math>G</math>-invarianten Punkte.

Allgemeiner ist jede Bahn durch einen Punkt <math>x \in X</math>, die durch die Gruppenoperation entsteht,
: <math>Gx=\{y\in X \vert \exists g \in G \colon y=gx\}</math>,
invariant unter der Gruppenoperation.

== Weiterführende Themen ==

In der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]] stellt das [[Noether-Theorem]]
einen Zusammenhang zwischen [[Symmetrie (Physik)|Symmetrien]] der Wirkung und Invarianten der Zeitentwicklung her. Diese nennt man in der Physik ''[[Erhaltungsgröße]]n'' (Beispiele: Energie, Impuls, [[Drehimpuls]]). „Relativistische Invarianz“, d. h. Invarianz gegen [[Lorentztransformation]]en, besitzen viele (per Postulat: ''alle'') physikalische Theorien, darunter an prominentester Stelle die [[Maxwell-Gleichungen|Maxwellsche Elektrodynamik]] und natürlich die [[Relativitätstheorie]]n [[Albert Einstein]]s. Im Gegensatz zur Mathematik steht aber letzten Endes nicht [[Axiomatik]] dahinter, sondern wenige, besonders aussagekräftige [[Experiment]]e, z. B. das [[Michelson-Morley-Experiment]] zur Konstanz der [[Lichtgeschwindigkeit]].

== Siehe auch ==
* [[Topologische Invariante]]
* [[j-Invariante]]

== Literatur ==
* [[Harm Derksen]], [[Gregor Kemper]]: ''Computational invariant theory''. Springer, Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-48422-7.

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=Invariant |title=Invariant}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematik]]

Invariante (Mathematik) - Versionsgeschichte

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