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2020-03-08T23:53:53Z

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Die '''Intravarianz''' (von {{laS}} ''intra'', „innerhalb“ und ''variantia'' für „Verschiedenheit“) bzw. ''Streuung ([[Varianz (Stochastik)|Varianz]]) innerhalb der Klassen'' ist ein Maß dafür, wie sehr sich die Objekte innerhalb einer Klasse unterscheiden. Je geringer die Intravarianz, desto ähnlicher sind sich die Objekte.

Die Intravarianz ist zusammen mit der [[Intervarianz]] besonders in der [[Klassifizierung]] von Bedeutung, wo Objekte in Klassen eingeordnet werden. Dort gilt die Richtlinie: Je geringer die Intravarianz und je höher die Intervarianz, desto leichter fällt die Klassifizierung.

== Formale Darstellung ==
Sei <math>M</math> ein beliebiger [[Merkmalsraum]], der die <math>c</math> Klassen <math>C_1,\ldots, C_c \subseteq M</math> umfasst. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Intravarianz anzugeben, je nachdem ob die [[Erwartungswert|Mittelwert]]e <math>\mu_i</math> oder die [[A-priori-Wahrscheinlichkeit]]en <math>P_i</math> und [[Kovarianzmatrix|Kovarianzmatrizen]] <math>\Sigma_i</math> der Klassen (jeweils <math>i = 1,\ldots, c</math>) bekannt sind:<ref>Matthias Michelsburg: [https://books.google.de/books?id=MIhYBQAAQBAJ&pg=PA50&lpg=PA50&dq=Streuung+innerhalb+der+Klassen+Intravarianz&source=bl&ots=h11vTs7p2h&sig=ACfU3U3GDDYD1sgIaUIZBlcjeiIcoM55Pw&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjUt7XQhozoAhWhM-wKHcgQDYUQ6AEwAHoECAkQAQ#v=onepage&q=Streuung%20innerhalb%20der%20Klassen%20Intravarianz&f=false ''Materialklassifikation in optischen Inspektionssystemen mithilfe hyperspektraler Daten.''], S. 50.</ref>

:<math>S_W := \sum_{i=1}^c \sum_{x \in C_i} (x - \mu^i) (x - \mu^i)^T = \sum_{i=1}^c P_i \Sigma_i</math>

Falls <math>M</math> <math>d</math> Dimensionen hat, so ist <math>S_W</math> eine [[quadratische Matrix]] mit <math>d</math> Zeilen und <math>d</math> Spalten. Da [[Kovarianzmatrix|Kovarianzmatrizen]] stets symmetrisch sind, ist aufgrund der zweiten Form auch die Intravarianz eine [[symmetrische Matrix]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Klassifizierung]]
[[Kategorie:Multivariate Statistik]]

Intravarianz - Versionsgeschichte

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