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2025-10-26T10:20:57Z

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'''Intransitive Würfel''' nennt man einen Satz spezieller [[Spielwürfel]], in dem es zu jedem der Würfel einen anderen Würfel gibt, gegen den er auf Dauer verliert, das heißt, verglichen mit dem er mit größerer [[Wahrscheinlichkeit]] eine kleinere als eine größere Zahl zeigt.

== Beispiel ==
[[Datei:Intransitive dice 2.svg|rechts|frame|Intransitive Würfel (die einander gegenüberliegenden Seiten jedes Würfels sind mit der gleichen Zahl beschriftet)]]
Ein Beispiel sind die im ersten Bild abgebildeten drei intransitiven Würfel A, B und C. Die drei Würfel A, B und C haben folgende Augenzahlen auf ihren jeweils sechs Seiten:

*'''A:''' 2, 2, 4, 4, 9, 9
*'''B:''' 1, 1, 6, 6, 8, 8
* '''C:''' 3, 3, 5, 5, 7, 7

Jeweils mit [[Wahrscheinlichkeit]] <math>\tfrac{5}{9}</math> gewinnt A gegen B, B gegen C und C gegen A, wie folgende Tabellen zeigen:
{| class="wikitable" style="border:none"
|-
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|}
Für das Ergebnis in jeder Zeile und jeder Spalte beträgt die Wahrscheinlichkeit <math>\tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}</math>. Weil die Ergebnisse der Würfel [[Stochastisch unabhängige Ereignisse|stochastisch unabhängig]] sind, tritt der Spielausgang in jedem farblich markierten Feld (A gewinnt, B gewinnt oder C gewinnt) mit Wahrscheinlichkeit <math>\tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{9}</math> auf.

Das Beispiel der intransitiven Würfel zeigt, dass die Relation „ist mit größerer Wahrscheinlichkeit größer“ für [[Zufallsvariable]]n nicht [[Transitive Relation|transitiv]] sein muss. Ein ähnliches Beispiel für eine [[intransitive Relation]] ist das Spiel [[Schere, Stein, Papier]], in dem jedes Symbol gegen eines gewinnt und gegen ein anderes verliert.

Das Ergebnis des Spiels widerspricht der Intuition, dass ein Vorteil transitiv sein müsse. Diese Vorstellung wäre zutreffend, wenn das Ergebnis die Summe der in einer großen Zahl von Spielrunden gewürfelten Zahlen und nicht die Anzahl der gewonnenen Runden wäre. Einen ähnlichen Irrtum zeigt das [[Condorcet-Paradoxon]].

== Efrons Würfel ==

''Efrons Würfel'' sind vier intransitive Würfel, die von dem amerikanischen Statistiker [[Bradley Efron]] erfunden wurden.

[[Datei:Efron dice 2.svg|rechts]]
Die vier Würfel A, B, C und D haben folgende Augenzahlen auf ihren jeweils sechs Seiten:<ref>{{MathWorld|EfronsDice|Efron’s Dice}}</ref>

* '''A:''' 4, 4, 4, 4, 0, 0
* '''B:''' 3, 3, 3, 3, 3, 3
* '''C:''' 6, 6, 2, 2, 2, 2
* '''D:''' 5, 5, 5, 1, 1, 1

Für jeden der Würfel gibt es einen anderen, der ihn mit der Wahrscheinlichkeit <math>\tfrac{2}{3}</math> besiegt:
{| class="wikitable" style="border:none"
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|}

Die Wahrscheinlichkeit, dass Würfel A eine größere Zahl zeigt als Würfel B, wird mit <math>P(A > B)</math> bezeichnet. Dann gilt

:<math>P(A > B) = P(B > C) = P(C > D) = P(D > A) = \tfrac{2}{3}</math>

Weil die Ergebnisse der Würfel [[Stochastisch unabhängige Ereignisse|stochastisch unabhängig]] sind, können diese Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet werden:

:<math>P(A > B) = P(A = 4, B = 3) = P(A = 4) \cdot P(B = 3) = \tfrac{4}{6} \cdot \tfrac{6}{6} = \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{1}{1} = \tfrac{2}{3}</math>
:<math>P(B > C) = P(B = 3, C = 2) = P(B = 3) \cdot P(C = 2) = \tfrac{6}{6} \cdot \tfrac{4}{6} = \tfrac{1}{1} \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{2}{3}</math>
:<math>P(C > D) = P(C = 6) + P(C = 2, D = 1) = P(C = 6) + P(C = 2) \cdot P(D = 1) = \tfrac{2}{6} + \tfrac{4}{6} \cdot \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{2}{3}</math>
:<math>P(D > A) = P(D = 5) + P(D = 1, A = 0) = P(D = 5) + P(D = 1) \cdot P(A = 0) = \tfrac{3}{6} + \tfrac{3}{6} \cdot \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}</math>

Die Wahrscheinlichkeiten für den Vergleich von A mit C und B mit D sind <math>P(A > C) = \tfrac{4}{9}</math> und <math>P(B > D) = \tfrac{1}{2}</math>.

Die [[Erwartungswert|Erwartungswerte]] für die gewürfelten Zahlen sind für die Würfel A, B, C und D unterschiedlich. Es gilt

:<math>\operatorname{E}(A) = 4 \cdot \tfrac{4}{6} + 0 \cdot \tfrac{2}{6} = \tfrac{8}{3} </math>
:<math>\operatorname{E}(B) = 3 \cdot \tfrac{6}{6} = 3 </math>
:<math>\operatorname{E}(C) = 6 \cdot \tfrac{2}{6} + 2 \cdot \tfrac{4}{6} = \tfrac{10}{3} </math>
:<math>\operatorname{E}(D) = 5 \cdot \tfrac{3}{6} + 1 \cdot \tfrac{3}{6} = 3 </math>

Es gibt auch Varianten von Efrons Würfeln, wo die [[Erwartungswert|Erwartungswerte]] für die gewürfelten Zahlen gleich sind, zum Beispiel
*'''A:''' 7, 7, 7, 7, 1, 1
* '''B:''' 5, 5, 5, 5, 5, 5
* '''C:''' 9, 9, 3, 3, 3, 3
* '''D:''' 8, 8, 8, 2, 2, 2
Für diese Würfel gilt <math>P(A > B) = P(B > C) = P(C > D) = P(D > A) = \tfrac{2}{3}</math> und <math>\operatorname{E}(A) = \operatorname{E}(B) = \operatorname{E}(C) = \operatorname{E}(D) = 5 </math>.

== Literatur ==

* [[Hugo Steinhaus]], Stanisław Trybuła: ''On a paradox in applied probabilities'', Bulletin de l’Académie Polonaise des Sciences. Série des sciences mathématiques, astronomiques et physiques 7, 1959, S. 67–69 (englisch mit russischer Zusammenfassung; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an%3A0083.14202 Zentralblatt-Rezension])
* Stanisław Trybuła: ''On the paradox of three random variables'', Zastosowania Matematyki 5, 1961, S. 321–332 (englisch; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an%3A0094.32503 Zentralblatt-Rezension])
* Li-chien Chang: ''On the maximin probability of cyclic random inequalities'', Scientia Sinica 10, 1961, S. 499–504 (englisch; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an%3A0099.35201 Zentralblatt-Rezension])
* Zalman Usiskin: ''[https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177703585 Max–min probabilities in the voting paradox]'', The Annals of Mathematical Statistics 35, Juni 1964, S. 857–862 (englisch; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an%3A0126.35505 Zentralblatt-Rezension])
* Stanisław Trybuła: ''On the paradox of n random variables'', Zastosowania Matematyki 8, 1965, S. 143–156 (englisch; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an%3A0134.14606 Zentralblatt-Rezension])
* [[Martin Gardner]]: ''Nontransitive dice and other probability paradoxes'', Scientific American 223, Dezember 1970, S. 110–114 (englisch)
* Richard P. Savage: ''The paradox of nontransitive dice'', American Mathematical Monthly 101, No. 5, 1994, S. 429–436 (englisch; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an%3A0808.05011 Zentralblatt-Rezension])
* [[Noga Alon]], Graham Brightwell, H. A. Kierstead, A. V. Kostochka, Peter Winkler: ''[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895605001413 Dominating sets in k-majority tournaments]'', Journal of Combinatorial Theory Series B 96, No 3, Mai 2006, S. 374–387 (englisch)

== Weblinks ==
* [[Ivars Peterson]]: ''[https://www.sciencenews.org/article/tricky-dice-revisited Tricky Dice Revisited]'', Science News 161 No. 15, 13. April 2002 (englisch)
* {{Internetquelle |autor=Wolfgang Urban |url=http://www.hib-wien.at/leute/wurban/mathematik/NontransitiveDice.pdf |titel=Nicht-Transitive Würfel |hrsg=www.hib-wien.at |datum=2009-09 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20120131072333/http://www.hib-wien.at/leute/wurban/mathematik/NontransitiveDice.pdf |archiv-datum=2012-01-31 |abruf=2019-05-02 |format=PDF; 129 kB}}
* Brian Conrey, James Gabbard, Katie Grant, Andrew Liu, Kent E. Morrison: [https://arxiv.org/pdf/1311.6511.pdf ''Intransitive Dice'']
* Elisabetta Cornacchia, Jan Hązła: [https://arxiv.org/pdf/2011.10067.pdf ''Intransitive dice tournament is not quasirandom'']
* Levi Angel, Matt Davis, Muskingum University: [https://arxiv.org/pdf/1610.08595.pdf ''A Direct Construction of Non-Transitive Dice Sets'']
* Mark Finkelstein, Edward O. Thorp: [https://www.math.uci.edu/~mfinkels/dice9.pdf ''Nontransitive Dice With Equal Means'']
* Rosetta Code: [https://rosettacode.org/wiki/Non-transitive_dice ''Non-transitive dice'']

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Stochastik]]

Intransitive Würfel - Versionsgeschichte

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