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2026-04-06T15:17:01Z

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Die '''Intervallskala''' (eine von drei '''Kardinalskalen''') ist ein [[Skalenniveau]] in der [[Statistik]]. Sie zählt zum ''[[Kennzahl|metrischen]] Messniveau'', da sich die Ausprägungen dieses Skalenniveaus [[Quantität|quantitativ]] mittels Zahlen darstellen lassen. Insbesondere bedeutet das auch, dass [[Rangordnung|Rangunterschiede]] und Abstand zwischen Werten gemessen werden können; das heißt, quantitative Merkmale gehen in ihren Anforderungen über [[Ordinalskala|ordinale]] oder gar [[Nominalskala|nominale]] Eigenschaften hinaus.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Klaus Backhaus, Bernd Erichson, Wulff Plinke, Rolf Weiber |Titel=Multivariate Analysemethoden: eine anwendungsorientierte Einführung |Auflage=11., überarb. Aufl |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2006 |Reihe=Springer-Lehrbuch |ISBN=978-3-540-27870-2 |Seiten=5}}</ref>

== Beschreibung ==
Bei intervallskalierten Merkmalen lassen sich zusätzlich zu den Eigenschaften der [[Ordinalskala]] die Abstände zwischen den verschiedenen Merkmalsausprägungen exakt bestimmen.

Allerdings existiert kein natürlicher [[Nullpunkt]] für die Intervallskala. Willkürlich definierte Nullpunkte, wie z. B. bei der [[Grad Celsius|Grad-Celsius]]-Temperaturskala, zählen nicht zu den natürlichen Nullpunkten, während der Nullpunkt der [[Kelvin]]-Temperaturskala, der dem [[Absoluter Nullpunkt|absoluten Nullpunkt]] entspricht, ein natürlicher Nullpunkt ist.

Der Unterschied lässt sich daran ablesen, dass 20 °C nicht doppelt so viel bedeuten wie 10 °C (z. B. doppelt so viel Hitze). Bei Kelvin hingegen stehen die Zahlwerte tatsächlich im Verhältnis: 20 Kelvin bedeuten auch doppelt so viel Energie wie 10 Kelvin. Die Celsius-Temperaturskala ist also intervallskaliert, Kelvin-Temperaturangaben sogar auf [[Verhältnisskala|Verhältnisskalenniveau]], dem nächsthöheren und zugleich höchsten [[Skalenniveau]]. Beide Skalen gehören dabei zu den metrischen Skalenniveaus (auch ''Kardinalskala'').

Sind zwei Datenpaare (a,b) und (c,d) äquivalent (siehe unten), dann ist bei Intervallskalen der [[Quotient]] aus [[Subtraktion|Differenzen]] (a−b)/(c−d) immer gleich.

Zulässige Aussagen bei Intervallskalen lassen sich an folgendem Beispiel illustrieren. Dabei werden zwei Intervallskalen in einem zweiten Schritt in ein Verhältnis gesetzt ([[Verhältnisskala]]). Dies entspricht einer weiteren Datenverarbeitung der Intervallskala: Wir kennen die Temperaturen von Tag A, Tag B und Tag C. Jetzt bilden wir das Verhältnis der Differenzen: (A−B)/(A−C). Angenommen, das Verhältnis ist 2. Dann wäre eine zulässige Aussage: „Der Temperaturunterschied zwischen Tag A und B ist doppelt so groß wie der Temperaturunterschied zwischen Tag A und C.“

Jede Intervallskala ist so geartet, dass die Rangfolge der Differenz zwischen Zahlen gleich der Rangfolge der Merkmalsunterschiede zwischen den entsprechenden Objekten ist.

== Beispiele ==

Beispiele für intervallskalierte Merkmale mit einer mathematischen Paarbildung <math>S \times S</math> aus der Skala <math>S</math> sind:

* Temperatur auf der Celsius-Skala mit <math>(\text{Temperatur}_{12\colon 00 \text{Uhr}}, \text{Temperatur}_{6\colon 00 \text{Uhr}})\in S \times S</math>
* Jahreszahlen mit <math>(\text{Sterbejahr},\text{Geburtsjahr})\in S \times S</math>
* [[Zeitpunkt]]e <math>(\text{Zielzeit},\text{Startzeit})\in S \times S</math>

== Mögliche Operationen ==

Zusätzlich zu Größenvergleichen sind Differenzen und Summen aus intervallskalierten Merkmalen sinnvoll, da hier die Abstände zwischen den einzelnen Merkmalsausprägungen exakt definiert sind. Damit lassen sich hier auch [[Mittelwert|Durchschnittswerte]] berechnen.<ref name=":0" /> Aufgrund des fehlenden Nullpunkts stellt die [[Multiplikation]] keine sinnvolle Operation für intervallskalierte Merkmale dar.

Ein Beispiel:

War es gestern 10 Grad [[Celsius]] warm, und heute sind es zwanzig Grad, dann kann man zwar behaupten: „Es ist zehn Grad Celsius wärmer“, aber nicht: „Es ist doppelt so warm wie gestern“. Dies wird besonders deutlich, wenn man Celsius in [[Kelvin]] oder [[Grad Fahrenheit]] umrechnet.

== Erlaubte Transformationen ==

Zulässig sind positiv-[[Affine Abbildung|lineare Transformationen]] der Art <math>y=\alpha x + \beta</math>

== Mathematische Deutung ==

Aus mathematischer Sicht ist eine '''Intervallskala''' <math>S</math> eine [[Menge (Mathematik)|Menge]], für die Folgendes gilt:

# Es existiert eine [[Äquivalenzrelation]] <math>E \subseteq P \times P </math> mit <math>P:=S \times S</math> (Menge der Paare aus <math>S</math>). <math>E = \left\{ \left(m,n\right) \vert m=(m_1,m_2) \in P \wedge n=(n_1,n_2) \in P \wedge m_1-m_2=n_1-n_2\right\}</math> (Nominalskalen-Eigenschaft). Bezogen auf das Beispiel <math>(\text{Zielzeit},\text{Startzeit})\in P=S \times S</math> werden alle Paare <math>(\text{Zielzeit},\text{Startzeit})</math> zu einer Äquivalenzklasse zusammengefasst, die die gleiche Zeitdauer benötigt haben, also z. B. <math>m=(m_1,m_2)=(20,7)</math> und <math>n=(n_1,n_2)=(30,17)</math> sind in einer Äquivalenzklasse (formal: <math>(m,n)\in E</math>), weil beide Datenpaare <math>m</math> und <math>n</math> die gleiche Zeitdauer zwischen Start und Ziel benötigt haben. Siehe auch Differenzfunktion.
# Es existiert eine [[lineare Ordnungsrelation]] <math>O \subseteq P \times P </math> mit <math>P:=S \times S</math> (Ordinalskalen-Eigenschaft). <math>O = \left\{ \left(m,n\right) \vert m=(m_1,m_2) \in P = S\times S \wedge n=(n_1,n_2) \in P = S\times S \wedge m_1-m_2 \leq n_1-n_2\right\}</math>. Die <math>\leq</math>-Beziehung kann z. B. auch durch eine andere Ordnungsrelation auf der Differenz in <math>D</math> ersetzt werden (z. B. <math>\geq</math>), wenn die mathematischen Eigenschaften der Ordnungsrelation erhalten bleiben. Bezogen auf das Beispiel <math>(\text{Zielzeit},\text{Startzeit})\in P=S \times S</math> werden alle Paare <math>(\text{Zielzeit},\text{Startzeit})</math> bezogen auf die Zeitdifferenz geordnet, also z. B..mit <math>m=(m_1,m_2)=(40,37)</math> und <math>n=(n_1,n_2)=(30,7)</math> wäre <math>(m,n)\in O</math> (<math>m</math> ist kleiner als <math>n</math>), weil <math>m</math> weniger Zeit zwischen Start und Ziel benötigt hat als <math>n</math>. Es wird eine Ordnungsrelation auf der Menge der Zahlenpaare in <math>P</math> über die Differenz der Komponenten von <math>m</math> bzw. <math>n</math> definiert (siehe nachfolgende Definition der Differenzfunktion auf <math>S\times S</math>).
# Intervallskalen-Eigenschaft:
## Es existiert eine Funktion '''(Differenzfunktion)''' <math>\Box -\Box :S \times S \longrightarrow D</math> (Man kann [[Mengenlehre#Differenz und Komplement|Differenzen]] bilden, z. B. <math>(\text{Zielzeit},\text{Startzeit})\in S \times S</math> wird der Zeitdauer <math>d=\text{Zielzeit}-\text{Startzeit}\in D</math> zugeordnet).
## Es existiert eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>\Box +\Box :S \times D \longrightarrow S</math> (Man kann die Differenzen wieder auf Ausprägungen von <math>S</math> addieren), für die außerdem gilt:
### <math>\forall\left(m \in S\right):\left( m+0 = m \right)</math> (Das Addieren von Null bringt keine Änderung)
### <math>\forall\left(m_0 \in S\right):\forall\left(m_1 \in S\right):\left( m_0+\left(m_1-m_0\right) = m_1 \right)</math> (Differenzbildung ist konsistent mit Addierung).
### <math>\forall\left(d_0 \in D\right):\forall\left(d_1 \in D\right):\forall\left(m \in S\right):\left( \left(m+d_0\right)+d_1 = m+\left(d_0+d_1\right) \right)</math> (eine Art einseitiges [[Assoziativgesetz]])
## Die Menge der Differenzen <math>D</math> ist den [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] in folgender Hinsicht ähnlich:
### <math>\left( D, \Box + \Box \right)</math> ist ein [[Untermonoid]] von <math>\left(\mathbb{R},\Box + \Box\right)</math> ([[reelle Zahlen]] mit der [[Addition]]).

Jedes Element <math>m \in S</math> heißt [[Ausprägung]] von <math>S</math>.

Jede ''Intervallskala'' <math>(S,-)</math> ist eine [[Ordinalskala]] <math>S</math> mit einer Differenzfunktion <math>-</math> auf <math>S \times S</math>.

== Siehe auch ==

* [[ordinales Merkmal]]
* [[nominales Merkmal]]

== Einzelnachweise ==
<references />
{{Navigationsleiste Skalenniveaus}}

[[Kategorie:Zahl]]

Intervallskala - Versionsgeschichte

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