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2025-03-17T13:16:56Z

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In der [[Numerik|numerischen Mathematik]] bezeichnet der Begriff '''Interpolation''' (aus lateinisch inter = dazwischen und polire = glätten, schleifen) eine Klasse von Problemen und Verfahren. Zu gegebenen [[Diskretheit|diskreten]] [[Daten]] (z. B. [[Messwert]]en) soll eine [[stetige Funktion]] (die sogenannte ''Interpolante'' oder ''Interpolierende'') gefunden werden, die diese Daten abbildet. Man sagt dann, die Funktion ''interpoliert'' die Daten.
[[Datei:Punkte Interpolation.svg|mini|Zu interpolierende Punkte]]

== Einführung ==
Manchmal sind von einer Funktion nur einzelne Punkte bekannt, aber keine analytische Beschreibung der Funktion, durch die sie an beliebigen Stellen ausgewertet werden könnte. Ein Beispiel sind Punkte als Resultat einer physikalischen [[Messung]]. Könnte man die Punkte durch eine (eventuell glatte) Kurve verbinden, so wäre es möglich, die unbekannte Funktion an den dazwischenliegenden Stellen zu schätzen. In anderen Fällen soll eine schwierig handhabbare Funktion näherungsweise durch eine einfachere dargestellt werden. Eine Interpolationsfunktion kann diese Anforderung der Einfachheit erfüllen. Diese Aufgabe bezeichnet man als ''Interpolationsproblem''. Es gibt für das Problem mehrere Lösungen, der Anwender muss zunächst geeignete Ansatzfunktionen wählen. Je nach Ansatzfunktionen erhalten wir eine andere Interpolante.

Die Interpolation ist eine Art der [[Approximation]]: Die betrachtete Funktion wird durch die Interpolationsfunktion in den [[Stützstelle]]n exakt wiedergegeben und in den restlichen Punkten immerhin näherungsweise. Die Approximationsgüte hängt vom Ansatz ab. Um sie zu schätzen, werden Zusatzinformationen über die Funktion <math> f </math> benötigt. Diese ergeben sich auch bei Unkenntnis von <math> f </math> meist in natürlicher Weise: Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit lassen sich häufig voraussetzen.

Bei anderen Approximationsverfahren wie der [[Ausgleichungsrechnung]] wird nicht gefordert, dass die Messdaten exakt wiedergegeben werden. Dadurch unterscheiden sich diese Verfahren von der Interpolation. Bei dem verwandten Problem der [[Extrapolation]] werden Werte geschätzt, die über den Definitionsbereich der Daten hinausgehen.

== Interpolationsprobleme ==
=== Das allgemeine Interpolationsproblem ===
Gegeben seien <math>n+1</math> Paare [[Reelle Zahlen|reeller]] oder [[Komplexe Zahl|komplexer]] Zahlen <math>(x_i,\,f_i)</math> als [[Stützstelle|Stützpunkte]]. Man wählt eine Ansatzfunktion <math>\Phi(x,\,a_0,\ldots,a_n)</math>, die sowohl von <math>x</math> als auch von <math>n+1</math> weiteren Parametern <math>a_j</math> abhängt. Als ''Interpolationsproblem'' bezeichnet man die Aufgabe, die <math>a_j</math> so zu wählen, dass
<math>\Phi(x_i,\,a_0,\ldots,a_n) = f_i</math> ist.

=== Das lineare Interpolationsproblem ===

Man spricht von einem ''linearen'' Interpolationsproblem, wenn <math>\Phi</math> nur [[Lineare Abbildung|linear]] von den <math>a_j</math> abhängt, d. h.

:<math>\Phi(x,\,a_0,\ldots,a_n) = a_0 + a_1 \Phi_1(x) + a_2 \Phi_2(x) +\cdots+a_n \Phi_n(x)</math>.

Insbesondere die [[Polynominterpolation]] ist ein solches lineares Interpolationsproblem. Für die Polynominterpolation gilt

:<math>\Phi(x,\,a_0,\ldots,a_n) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_n x^n</math>.

Spezialfälle für <math>n=1</math>, <math>n=2</math> und <math>n=3</math> nennt man ''lineare'', ''quadratische'' und ''kubische Interpolation''. In zwei Dimensionen spricht man entsprechend von ''[[Bilineare Filterung|bilinear]]'', ''biquadratisch'' und ''bikubisch''.

Des Weiteren ist die [[trigonometrische Interpolation]] eine lineare Interpolation:

:<math>\Phi(x,\,a_0,\ldots,a_n) = a_0 + a_1 e^{xi} + a_2 e^{2xi} +\cdots+a_n e^{nxi}, \quad(i^2=-1)</math>

=== Nichtlineare Interpolationsprobleme ===

Zu den wichtigsten ''nichtlinearen'' Interpolationsproblemen zählt

* das ''rationale'': <math>\Phi(x,\,a_0,\ldots,a_n,\,b_0,\ldots,b_m) = \frac{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_n x^n}{b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + b_3 x^3 + \cdots + b_m x^m}</math>

== Interpolationsverfahren ==

=== Abschnittsweise konstante Interpolation ===
[[Datei:Piecewise constant.svg|mini|Abschnittsweise konstante Interpolation]]
Als einfache Interpolationsmethode kann der nächstgelegenen Datenwert gesucht werden und dem aktuellen Punkt dessen Wert zugewiesen werden.<ref>{{Internetquelle |autor=U. Rüde |url=https://www.cs10.tf.fau.de/files/2018/07/Teaching-AlgoKS-10_interpolation1d-v1.pdf |titel=Rekonstruktion kontinuierlicher Daten Interpolation 1D |hrsg=Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg |datum=2017 |sprache=de |abruf=2023-05-06}}</ref> Bei einfachen Problemen ist es unwahrscheinlich, dass diese Methode verwendet wird, da die lineare Interpolation fast genauso einfach ist. Bei höherdimensionalen multivariaten Interpolationen könnte diese Methode aufgrund ihrer Schnelligkeit und Einfachheit dennoch eine gute Wahl sein.

=== Lineare Interpolation ===
[[Datei:Linear interpolation.svg|mini|Stückweise durchgeführte lineare Interpolation]]
Die von [[Isaac Newton]] begründete ''lineare Interpolation'' ist am einfachsten und wird wohl in der Praxis am häufigsten benutzt. Hier werden zwei gegebene Datenpunkte (<math>x_0, f_0</math>) und (<math>x_1, f_1</math>) durch eine Strecke verbunden. Es gilt:

:<math>f(x) = f_0 + \frac{f_1-f_0}{x_1-x_0}\,(x-x_0) = f_0 \frac{x_1-x}{x_1-x_0} + f_1 \frac{x-x_0}{x_1-x_0}\,.</math>

Dies entspricht einer [[Konvexkombination]] der Endpunkte <math>(x_0, \,f_0)</math> und <math>(x_1,\,f_1)</math>.

Detaillierte Erläuterungen siehe [[#Allgemeine lineare Interpolation|Allgemeine lineare Interpolation]].

=== Höhergradige Polynome ===
[[Datei:Polynomial-interpolation.svg|mini|Interpolationspolynom 7. Grades]]

Zu <math>n+1</math> [[paarweise verschieden]]en Datenpunkten gibt es genau ein Interpolationspolynom <math>n</math>-ten Grades, das an den vorgegebenen Stützstellen mit den vorgegebenen Stützwerten übereinstimmt. Die Bestimmung der Koeffizienten erfordert die Lösung eines [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]]. Die Existenz eines solchen Interpolationspolynoms sieht man z. B. mit Hilfe der Formel von [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]

:<math>p(x) = \sum_{i=0}^{n}\,f_i\prod_{k=0,k\neq i}^n \frac{x-x_k}{x_i-x_k}</math>.

Diese Funktion nimmt an den Stellen <math> x_0,\dots, x_n </math> die Werte <math> f_0,\dots, f_n </math> an. Die Eindeutigkeit folgt aus der bekannten Tatsache, dass ein Polynom <math>n</math>-ten Grades höchstens <math>n</math> Nullstellen besitzt.

Weitere Verfahren zur [[Polynominterpolation]] siehe dort.

=== Stückweise Interpolation ===
[[Datei:Spline interpolation.svg|mini|Kubische Spline-Interpolation]]

Da Polynome mit zunehmendem Grad immer instabiler werden, d. h. stark zwischen den Interpolationspunkten schwingen, werden in der Praxis Polynome mit einem Grad größer als 5 kaum eingesetzt. Stattdessen interpoliert man einen großen Datensatz ''stückweise''. Im Fall der linearen Interpolation wäre das ein [[Polygonzug (Mathematik)|Polygonzug]] oder linearer Spline, bei stückweisen Polynomen höheren Grades spricht man auch von [[Spline-Interpolation]]. Bei abschnittsweise definierten Interpolanten ist die Frage der Stetigkeit und [[Differenzierbarkeit]] an den Stützstellen von großer Bedeutung.

Im mehrdimensionalen Fall basiert insbesondere die [[Finite-Elemente-Methode|Methode der finiten Elemente]] für elliptische Probleme zweiter Ordnung auf dem Einsatz stetiger Splines, oft auf Dreiecksgittern. [[Fehlerabschätzung für die Finite-Element-Methode|Fehlerabschätzungen für die Finite-Element-Methode]] basieren auf entsprechenden Abschätzungen des [[Interpolationsfehler bei der Interpolation mit linearen Splines|Interpolationsfehlers]].

=== Hermiteinterpolation ===

Sind zusätzlich zu den Stützstellen <math>x_i</math> auch noch die <math>k</math>-[[Differentialrechnung|Ableitungen]] <math>f^{(k)}(x_i) = f^{(k)}_i</math> zu interpolieren, so spricht man von einem [[Hermiteinterpolation|Hermite-Interpolationsproblem]]. Die Lösung dieses Problems lässt sich analog zum Lagrange-Verfahren ebenfalls in geschlossener Form angeben.

Im mehrdimensionalen Fall basiert insbesondere die [[Finite-Elemente-Methode|Methode der finiten Elemente]] für elliptische Probleme vierter Ordnung auf dem Einsatz stetig differenzierbarer Splines. Auf Dreiecksgittern ist deren Konstruktion nicht so einfach.

=== Trigonometrische Interpolation ===
Wählt man als Ansatzfunktion ein trigonometrisches Polynom, so erhält man eine ''trigonometrische Interpolation''. Die Interpolationsformel

:<math>g(x) = \frac{1}{2} a_0+\sum_{k=1}^{N-1}(a_k\cos kx+b_k\sin kx) + \frac{1}{2} a_N\cos Nx\,,\quad N=n/2</math>

entspricht einer [[Fourierreihe|Fourier-Entwicklung]] der unbekannten Interpolanten. Die Fourier-Koeffizienten <math>a_k</math> und <math>b_k</math> berechnen sich zu

:<math>a_k \approx \frac{2}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)\cos kx_i</math> und <math>b_k \approx \frac{2}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)\sin kx_i</math>.

Dabei wird angenommen, dass die Stützstellen <math>x_i</math> im Intervall <math>[0;\,2\pi]</math> [[Abstand|äquidistant]] verteilt sowie außerhalb dieses Intervalls periodisch sind. Die Koeffizienten können effizient mit Hilfe der [[Schnelle Fourier-Transformation|schnellen Fourier-Transformation]] berechnet werden.

=== Logarithmische Interpolation ===
Vermutet bzw. weiß man, dass den Daten eine [[Logarithmus|logarithmische Funktion]] zugrunde liegt, so empfiehlt sich dieses Verfahren.

Bei der ''logarithmischen Interpolation'' werden zwei bekannte Datenpunkte <math>(x_0, f_0)</math> und <math>(x_1, f_1)</math> durch eine logarithmische Kurve verbunden. Es gilt:

:<math>\frac{ \ln f- \ln f_0}{ \ln f_1- \ln f_0} = \frac{x-x_0}{x_1-x_0}</math>

Oder anders formuliert:

:<math>f(x) = f_0 \cdot \exp \left( \frac{(x-x_0)( \ln f_1- \ln f_0)}{x_1-x_0} \right)</math>

Beispiel: [[Chi-Quadrat-Test#Vorgehensweise|χ²-Test]]

=== Gaußprozess-Regression (Kriging) ===
[[Datei:Gaussianprocess gapMean.svg|mini|Gaußprozess-Interpolation (blau) und geschätztes Vertrauensintervall (grau) einer Lücke zwischen zwei Kurven (schwarz) von sehr gemischten Eigenschaften.]]

Ein sehr vielseitiges und universelles Interpolationsverfahren ist die [[Anwendung von Gaußprozessen#Gaußprozess-Regression|Gaußprozess-Regression]] bzw. das [[Kriging]]-Verfahren. Damit können sowohl Interpolationen als auch Glättungen in beliebigen Dimensionen und auf unregelmäßigen Stützstellen durchgeführt werden. Mithilfe einer sogenannten [[Kovarianzfunktion]] können spezielle Eigenschaften der Daten beschrieben werden (z. B. die Korrelationslänge oder eine Periodizität), um damit die für das Problem optimale Interpolation durchzuführen.

'''Eigenschaften der Interpolationsmethode:'''
* Geeignet für unregelmäßige Stützstellen
* Interpolation in beliebigen Dimensionen (z. B. Flächen-Interpolation)
* Optimale Interpolation von glatten, periodischen oder verrauschten Kurven
* Vorhersage des Vertrauensintervalls der Interpolation

== Allgemeine lineare Interpolation ==
Es sei <math> H </math> eine reelle oder komplexe stetig differenzierbare Funktion mit [[Nullstellenmenge]] <math> \{ x_k: k\, \text{aus}\, I\} </math>, wobei alle Nullstellen einfach sein müssen. Dabei kann die Indexmenge <math> I </math> eine [[endliche Menge]], wie z. B. <math> I= \{1,\dots,N\} </math>, oder eine abzählbare Menge, wie <math> I= \mathbb{N} </math> oder <math> I= \mathbb{Z} </math>, sein. Damit sind die [[Interpolationskerne]] gegeben als
:<math>L_k(x):=\frac{H(x)}{H'(x_k)(x-x_k)}=\frac{G(x,x_k)}{G(x_k,x_k)}</math>

und stetig mit dem Wert 1 an der Stelle <math> x=x_k </math> fortgesetzt. Die Hilfsfunktion <math> G(x,y) </math> ist außerhalb der Diagonalen <math> x=y </math> definiert als
:<math>G(x,y):=\frac{H(x)-H(y)}{x-y}</math> und stetig fortgesetzt zu <math>G(x,x):=H'(x)</math>.

Auf den Nullstellen gilt <math>L_k(x_j) = \delta_{k,j}</math>, wobei das [[Kronecker-Delta]] verwendet wurde.

Sind jetzt Werte <math> f_k </math> für jedes <math> k \isin I </math> vorgegeben, so ist eine Interpolationsfunktion definiert durch
:<math>F(x) := \sum_{k\in I}f_k\cdot L_k(x) = \sum_{k\in I}\frac{G(x,x_k)}{G(x_k,x_k)}f_k</math>.
Im Falle einer abzählbaren Nullstellenmenge muss die [[Grenzwert (Folge)|Konvergenzbedingung]]
:<math>\sum_{k\in I}\left|\frac{f_k}{H'(x_k)(1+|x_k|)}\right|<\infty</math>
erfüllt sein.

=== Beispiele ===
* Mit vorgegebenen Stützstellen <math> \{x_1,\dotsc,x_N\} </math> und einer reellen Funktion <math> h </math> mit <math> h(0)=0 </math>, <math> h'(0)\neq 0 </math> kann die Funktion <math> H(x):=h(x-x_1) \dotsm h(x-x_N) </math> gebildet werden. Dann erhält man
::<math>L_k(x)=\frac{h(x-x_k)}{h'(0)(x-x_k)}\cdot\prod_{j\ne k}\frac{h(x-x_j)}{h(x_k-x_j)}</math>.
: Das aus <math> h(x)=x </math> resultierende Interpolationsverfahren ist die Lagrange-Interpolation. Andere Beispiele sind <math> h(x)=x/(1+x^2) </math> für nach Unendlich gegen Null fallende Interpolationsfunktionen oder <math> h(x)=\sin(x) </math> für eine beschränkte Interpolationsfunktion mit übersichtlicher Berechnungsformel.
* Mit dem [[Kreisteilungspolynom]] <math> H(x):=x^N-1 </math>, d. h. den <math> N </math>-ten [[Einheitswurzel]]n <math>x_k:=\exp(i2\pi\,k/N)</math>, <math> k=1,\dots,N </math>, als Stützstellen, ergibt sich die [[Diskrete Fourier-Transformation]] als Verfahren zur Berechnung der Koeffizienten des Interpolationspolynoms. Es gilt <math>L_N(x)=\frac1N(1+x+\dotsb+x^{N-1})</math> und allgemein <math>L_k(x)=L_N(\bar x_k\,x)</math>, so dass
::<math>F(x)=\sum_{n=0}^{N-1}x^n\cdot\frac1N\sum_{k=1}^N f_k\bar x_k^n</math> ist.
* Mit <math> H(x):=\sin(\pi x) </math> und den Nullstellen <math> x_k=k </math>, <math>k \isin \mathbb{Z} </math>, ergibt sich als Interpolationsfunktion die [[Kardinalreihe]]
:<math>
F(x)=\sum_{k\in\mathbb Z}f_k\frac{\sin(\pi x)}{(-1)^+k\pi(x-k)}
=\sum_{k\in\mathbb Z}f_k\frac{\sin(\pi (x-k))}{\pi(x-k)}
</math>.
Diese spielt eine zentrale Rolle im [[Nyquist-Shannon-Abtasttheorem]]. Die Konvergenzbedingung lautet
:<math>\sum_{k\in\mathbb Z}\left|\frac{f_k}{1+|k|}\right|<\infty</math>.

== Stützstellendarstellung von Polynomen ==
Sei <math>p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dotsb + a_{n-1}x^{n-1} </math> ein Polynom. Dieses Polynom lässt sich in der sogenannten ''Koeffizientendarstellung'' durch die Angabe des Vektors <math>(a_0, \dotsc, a_{n-1})</math> darstellen. Eine alternative Darstellung, die ohne die Koeffizienten <math>a_0, \dotsc, a_{n-1}</math> auskommt, besteht in der ''Stützstellendarstellung''. Dabei wird das Polynom für <math> n </math> Werte <math>x_i</math> mit <math>0 \le i \le n-1</math> und <math>i \in \N</math> ausgewertet, d. h., es werden die Funktionswerte <math>p(x_i)=y_i</math> berechnet. Das Paar von Vektoren <math>((x_0, \dotsc, x_{n-1}),(y_0, \dotsc, y_{n-1}))</math> bezeichnet man als die Stützstellendarstellung des Polynoms <math> p </math>. Ein wesentlicher Vorteil dieser Darstellung besteht darin, dass zwei Polynome in Stützstellendarstellung in <math> \Theta(n) </math> (s. [[Landau-Symbole]]) Schritten multipliziert werden können. In Koeffizientendarstellung werden hingegen <math> \Theta(n^2) </math> Schritte benötigt. Die Transformation von der Koeffizienten- in die Stützstellendarstellung ist daher von spezieller Bedeutung und wird als [[Fourier-Transformation]] bezeichnet. Die Rücktransformation wird durch Interpolation erreicht.

== Anwendungen ==
[[Datei:Umbrella Nearest Neigbor.png|mini|Interpolation bei der Skalierung eines Bildes]]
Hinsichtlicher vieler Anwendungen von Interpolationsverfahren besteht die Vorstellung, dass hierbei ''neue Information'' aus bestehenden Daten hinzugewonnen wird. Dies ist aber unrichtig. Vielmehr wird durch die Interpolation ein möglicher Verlauf einer [[Stetige Funktion|kontinuierlichen Funktion]] zwischen den bekannten Abtastpunkten abgeschätzt. Diese Abschätzung basiert auf der Annahme, dass der Verlauf einigermaßen „glatt“ ist, was in den vielen Fällen zu plausiblen Resultaten führt. Diese Annahme muss aber nicht notwendigerweise so zutreffen, denn die höheren Frequenzanteile, die bei der Digitalisierung eines Signals aufgrund des [[Nyquist-Shannon-Abtasttheorem|Abtasttheorems]] verloren gegangen sind, können grundsätzlich durch eine anschließende Interpolation nicht wieder rekonstruiert werden. Damit muss für jede Interpolation eine Annahme über die maximal zuvor enthaltene Frequenz gemacht werden. Nur wenn diese bekannt ist und eine ideale Digitalisierung vorlag, gelingt die Rekonstruktion perfekt. In den meisten Fällen wird damit dem Signal eine gewisse Menge an Falschinformation hinzugefügt.

Ein bekanntes Problem der Interpolation in der [[digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] ist die der Umwandlung eines Signals mit einer niedrigen [[Abtastrate]] in eine hohe (siehe [[Abtastratenkonvertierung]]). Dabei werden neue Abtastwerte für das Ausgabesignal aus denen des Eingabesignals interpoliert. Je nach Anwendungsfall werden dazu entweder Nullen eingefügt, die jeweils vorherigen Werte wiederholt oder eine von mehreren Interpolationen (linear, bilinear oder [[wavelet]]) genutzt.

Ein Spezialfall ist die [[Skalierung (Computergrafik)|Skalierung von Bildern]] in der [[Computergrafik]]: Da bei vielen Bildern maximale Kontraste benutzt werden, liegen Daten vor, bei denen das Nyquist-Kriterium verletzt wurde. Diese Bilder sind nur durch ganzzahlige Faktoren sinnvoll skalierbar, da sich bei unganzzahligen Ansätzen die Notwendigkeit ergibt, Pixelwerte für Zwischenkoordinaten zu berechnen, wodurch Alias-Effekte auftreten ([[Moiré-Muster]]).

Ein weiterer Anwendungsfall ist die Gewinnung von Phasen- und Amplitudeninformationen für Zwischenfrequenzen bei einer [[Fast Fourier transform|FFT]]: Hier sind spezielle Interpolationsformeln nötig. Diese erzeugen aber ebenfalls keine neuen Informationen, sondern machen nur die bereits enthaltenen Informationen der Stützpunkte leichter interpretierbar.<ref>{{Literatur |Autor=Z. Liu, J. Himmel, K.W. Bonfig |Titel=Improved Processing of Harmonics and Interharmonics by Time-Domain Averaging |Sammelwerk=IEEE Transactions on Power Delivery |Band=20 |Nummer=4 |Datum=2005-10 |ISSN=0885-8977 |DOI=10.1109/TPWRD.2005.855477 |Seiten=2370–2380 |Online=http://ieeexplore.ieee.org/document/1514481/ |Abruf=2024-05-01}}</ref>

== Interpolation in höheren Dimensionen ==
Die oben gezeigten einfachen Verfahren sind meist nur für 1D-Probleme beschrieben. Für höhere Dimensionen geeignet sind Spline-Interpolationen mit z. B. Thinplate-Splines oder anderen Radial-Basisfunktionen oder das Kriging-Verfahren bzw. die Gaußprozessregression. Eine einfache Möglichkeit zur Interpolation von Punkten in höheren Dimensionen (<math>\R^2 ,\R^3, \dots</math>), die in einem regelmäßigen Gitter vorliegen, ist die rekursive Anwendung von 1D-Interpolationen.

Am Beispiel der bilinearen Interpolation sei dieses erläutert.

[[Datei:BilinearInterpolation.svg|BilinearInterpolation]]
Gegeben sind Zahlenwerte an den Eckpunkten <math>Q_{11}</math>, <math>Q_{12}</math>, <math>Q_{21}</math> und <math>Q_{22}</math>. Gesucht ist der interpolierte Wert an Stelle <math>P</math>.

Vorgehensweise: Die lineare Interpolation wird zweimal angewendet, z. B. zuerst für die x-Richtung. Es wird <math>R_1</math> aus <math>Q_{11}</math> und <math>Q_{21}</math> mit der linearen 1D-Interpolation ermittelt. Anschließend wird <math>R_2</math> auf gleiche Weise bestimmt. Der Wert an <math>P</math> ergibt sich als lineare 1D-Interpolation in y-Richtung zwischen <math>R_1</math> und <math>R_2</math>.

3D: Für eine trilineare Interpolation gibt es <math>2^3</math> Eckpunkte mit Zahlenwerten. Die erste Interpolation auf der x-Achse ergibt <math>2^2</math> Zwischenpunkte, die auf einer Ebene senkrecht zu <math>x = P_x</math> liegen. In dieser Ebene wird in y-Richtung interpoliert bei <math>y = P_y</math> und es ergeben sich <math>2^1</math> Zwischenpunkte auf einer Linie in z-Richtung an Position <math>x = P_x, y = P_y</math>. Die letzte Interpolation auf dieser Linie ergibt schließlich <math>2^0</math> Punkte, also die gesuchte Lösung.

Für eine beliebige Dimension ist das Verfahren durch sukzessive Rekursion anwendbar.

== Siehe auch ==
{{Wiktionary|Interpolation}}

== Literatur ==
* Josef Stoer: ''Numerische Mathematik 1''. 8. Auflage, Springer 1999.
* [[Bernd Jähne]]: ''Digitale Bildverarbeitung''. 4. Auflage, Springer 1997.
* Oppenheim, Schafer: ''Zeitdiskrete Signalverarbeitung''. Oldenbourg 1992.
* Crochiere, Rabiner: ''Multirate Digital Signal Processing''. Prentice Hall 1983.

== Weblinks ==
* Online-Tool für [https://tools.timodenk.com/?p=linear-interpolation Lineare] und [https://tools.timodenk.com/?p=quadratic-interpolation Quadratische] Interpolation mit Visualisierung
* [https://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/applets/Interpolation/ Seite zu Newton, Lagrange und Cubic Spline] ebenfalls mit Java-Applet
* [https://docs.qgis.org/3.40/de/docs/gentle_gis_introduction/spatial_analysis_interpolation.html Räumliche Analyse (Interpolation) mit QGIS]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

Interpolation (Mathematik) - Versionsgeschichte

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