imported>-haznK: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|1|0 */

2024-11-04T16:18:53Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:2|1|0

Neue Seite

In der [[Algebra]] ist ein '''Integritätsring''' oder '''Integritätsbereich''' ein vom [[Nullring]] verschiedener [[Nullteiler|nullteilerfreier]] [[kommutativer Ring]] mit einem [[Einselement]].

Alternativ kann man einen Integritätsring definieren als einen kommutativen Ring mit 1, in dem das [[Nullideal]] <math>\lbrace 0 \rbrace</math> ein [[Primideal]] ist, oder als einen Teilring eines [[Körper (Algebra)|Körpers]]. Es gibt auch eine abgeschwächte Definition, in der kein Einselement gefordert wird, sondern nur, dass es wenigstens ein von Null verschiedenes Element in dem Ring gibt. Viele Sätze über Integritätsringe benötigen jedoch eine Eins, deshalb wird diese Eigenschaft meist mit in die Definition aufgenommen.

== Beispiele ==
* Das bekannteste Beispiel ist der Ring <math>\Z</math> der ganzen Zahlen.
* Jeder Körper ist ein Integritätsring. Umgekehrt ist jeder [[artinsch]]e Integritätsring ein Körper. Insbesondere ist jeder endliche Integritätsring ein [[endlicher Körper]]: Leicht verifiziert man, dass für ein <math>a \in R \setminus \{0\}</math> die Abbildung <math>\varphi\colon R \rightarrow R, r \mapsto ar </math> injektiv ist. Da <math>R</math> endlich ist, folgt die Bijektivität von <math>\varphi</math>. Es existiert also ein eindeutiges Element <math>b</math> aus <math>R</math>, sodass <math>1 = \varphi (b) = ab</math>. Da <math>a</math> beliebig bis auf von Null verschieden gewählt wurde, folgt, dass jedes <math>a</math> ein Inverses in <math>R</math> besitzt, also, dass <math>R</math> ein Körper ist.
* Ein [[Polynomring]] ist genau dann ein Integritätsring, wenn die Koeffizienten aus einem Integritätsring stammen. Zum Beispiel ist der Ring <math>\Z[X]</math> der [[Polynom]]e mit ganzzahligen Koeffizienten ein Integritätsring, ebenso der Ring <math>\R[X,Y]</math> der [[Reelle Zahlen|reellen]] Polynome in zwei Variablen.
* Der Ring aller reellen Zahlen der Form <math>a+b\sqrt 2</math> mit ganzen Zahlen <math>a,b</math> ist ein Integritätsring, da er Teilring von <math>\R</math> ist. Allgemein ist der [[Ganzheitsring]] eines [[Algebraischer Zahlkörper|Algebraischen Zahlkörpers]] immer ein Integritätsring.
* Sind <math>R</math> ein kommutativer Ring mit 1 und <math>P \triangleleft R</math> ein Ideal, so ist der [[Faktorring]] <math>R/P</math> genau dann ein Integritätsring, wenn <math>P</math> ein [[Primideal]] in <math>R</math> ist. So ist der [[Restklassenring]] <math>\Z/n\Z</math> (für <math>n>0</math>) genau dann ein Integritätsring, wenn <math>n</math> eine [[Primzahl]] ist.
* Ist <math>U\subseteq\mathbb C</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] (eine zusammenhängende, offene und nicht-leere Teilmenge) in den [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], so ist der Ring <math>\operatorname{H}(U)</math> der [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f\colon U\to\mathbb C</math> ein Integritätsring.
* Zu einem Integritätsring <math>R</math> und einer natürlichen Zahl <math>n</math> ist der [[Matrizenring]] <math>R^{n \times n}</math> genau dann ein Integritätsring, wenn <math>n=1</math> gilt.

== Teilbarkeit ==
{{Hauptartikel|Teilbarkeit}}

Sind <math>a</math> und <math>b</math> Elemente des Integritätsrings <math>R</math>, dann nennt man <math>a</math> einen ''Teiler'' von <math>b</math> und <math>b</math> ein ''Vielfaches'' von <math>a</math> (und sagt auch: ''<math>a</math> [[Teilbarkeit|teilt]] <math>b</math>''), wenn es ein Element <math>x</math> in <math>R</math> gibt, so dass <math>ax=b</math>. Man schreibt dann <math>a \mid b</math>, andernfalls <math>a \nmid b</math>.

Es gelten die folgenden Teilbarkeitsregeln:

* Gelten <math>a \mid b</math> und <math>b \mid c</math>, dann folgt daraus <math>a \mid c</math>.
* Gilt <math>a \mid b</math>, dann gilt auch <math>a \mid bc</math> für jedes <math>c\in R</math>, insbesondere auch <math>a \mid -b</math>.
* Gelten <math>a \mid b</math> und <math>a \mid c</math>, dann gelten auch <math>a \mid b+c</math> und <math>a \mid b{-}c</math>.

Die erste Regel besagt, dass Teilbarkeit [[Transitive Relation|transitiv]] ist. Die zweite und dritte Regel besagen, dass die Menge <math>aR</math> der Vielfachen eines Elementes <math>a</math> ein [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] in <math>R</math> bildet; dieses wird auch als <math>(a)</math> notiert.

== Einheiten ==
{{Hauptartikel|Einheit (Mathematik)|titel1=Einheiten}}
Ringelemente, die Teiler der 1 sind, heißen ''Einheiten'' von <math>R</math>. Die Einheiten sind identisch mit den [[Ringtheorie#Invertierbarkeit, Einheit|invertierbaren]] Elementen und teilen alle anderen Elemente. Die Menge der Einheiten von <math>R</math> wird mit <math>R^*</math> bezeichnet und bildet zusammen mit der Ringmultiplikation als Verknüpfung eine [[abelsche Gruppe]] – die sogenannte ''[[Einheitengruppe]]'' von <math>R</math>. Ein Ringelement, das keine Einheit ist, heißt ''Nichteinheit''.

Eine endliche Untergruppe der Einheitengruppe eines Integritätsringes ist immer [[zyklische Gruppe|zyklisch]].<ref>[[André Weil]] ''Basic number theory'', [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] 1995</ref> Diese Aussage wird falsch, wenn man auf die Nullteilerfreiheit verzichtet. So ist die Einheitengruppe von <math>\mathbb Z/8\mathbb Z</math> selbst endlich und nicht zyklisch. Die Aussage wird ebenso falsch, wenn man die Nullteilerfreiheit aufrechterhält, aber auf die Kommutativität verzichtet: Die [[Quaternionengruppe]] <math>Q_8</math> ist eine endliche Untergruppe der Einheitengruppe des nullteilerfreien, aber nicht kommutativen [[Quaternion|Rings der Quaternionen]] <math>\mathbb H</math> und nicht zyklisch.

== Assoziierte Elemente ==
{{Hauptartikel|Assoziierte Elemente}}
Gelten <math>a \mid b</math> und <math>b \mid a</math>, dann heißen <math>a</math> und <math>b</math> zueinander ''assoziiert''. Zwei Ringelemente <math>a</math> und <math>b</math> sind genau dann assoziiert, wenn es eine Einheit <math>u</math> gibt, sodass <math>au=b</math>.

== Irreduzibilität ==
Ein Element heißt ''reduzibel'', wenn es eine Einheit oder ein Produkt zweier (nicht notwendig verschiedener) Nichteinheiten ist, andernfalls heißt es ''irreduzibel''.

== Primelemente ==
{{Hauptartikel|Primelement}}
Ein Element <math>p</math> heißt ''Primelement'' (oder kurz ''prim''), falls <math>p</math> weder 0 noch eine Einheit ist und außerdem gilt: Aus <math> p \mid ab</math> folgt <math>p \mid a</math> oder <math>p \mid b</math>. Das [[Hauptideal]] <math>(p)</math> ist dann ein [[Primideal]]. Ist andersherum das Hauptideal <math>(p)</math> einer von Null verschiedenen Nichteinheit <math>p</math> ein Primideal, so ist <math>p</math> prim. (Das [[Nullideal]] ist in Integritätsringen ein Primideal, die Hauptideale von Einheiten sind schon der gesamte Ring.)

== Zusammenhang zwischen primen und irreduziblen Elementen ==
Jedes [[Primelement]] ist irreduzibel (für diese Aussage wird die Nullteilerfreiheit des Rings benötigt), aber nicht immer ist jedes irreduzible Element prim. Im Ring <math>\mathbb Z[\sqrt{-5}]</math> sind <math>2</math>, <math>3</math>, <math>1+\sqrt{-5}</math> und <math>1-\sqrt{-5}</math> irreduzibel, aber nicht prim: Zum Beispiel teilt <math>3</math> weder <math>1+\sqrt{-5}</math> noch <math>1-\sqrt{-5}</math>, aber deren Produkt.

In [[Hauptidealring|Hauptidealringen]] und allgemeiner in [[Faktorieller Ring|faktoriellen Ringen]] stimmen jedoch beide Begriffe überein. So werden in <math>\mathbb Z</math> die [[Primzahl]]en üblicherweise ''nur'' als positive, irreduzible Elemente von <math>\mathbb Z</math> definiert. Diese Elemente sind jedoch auch Primelemente, da <math>\mathbb Z</math> faktoriell und somit jedes irreduzible Element prim ist. Es sind jedoch auch noch die negativen Pendants der Prim''zahlen'' Prim''elemente'', woran man sieht, dass der Begriff des Primelements allgemeiner gefasst ist als der Begriff der Primzahl.

== Quotientenkörper ==
{{Hauptartikel|Quotientenkörper}}
Ist <math>R</math> ein Integritätsring, dann existiert ein kleinster [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\operatorname{Quot}(R),</math> der <math>R</math> als Teilring enthält. Der Körper <math>\operatorname{Quot}(R)</math> ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und heißt ''Quotientenkörper'' von <math>R</math>.
Seine Elemente haben die Form <math>\tfrac ab</math> mit <math>a,b \in R, b \neq 0.</math> Der [[Quotientenkörper]] ist ein Beispiel einer Konstruktion mit einem Integritätsring, in dem keine Eins (in der Definition des Integritätsringes) benötigt wird, sondern lediglich irgendein von Null verschiedenes Element.

Der Quotientenkörper des Rings der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] ist der Körper der [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]. Der Quotientenkörper eines Körpers ist der Körper selbst.

Alternativ kann man Quotientenkörper über [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierungen]] von <math>R</math> nach dem [[Nullideal]] <math>\lbrace 0 \rbrace</math> konstruieren.

Abstrakt definiert man Quotientenkörper durch folgende [[universelle Eigenschaft]]:
: Ein Quotientenkörper eines Ringes <math>R</math> ist ein Paar <math>(K,\phi)</math> aus einem Körper K und einem Ringhomomorphismus <math>\phi</math> von <math>R</math> nach <math>K</math> mit der Eigenschaft, dass es für jeden Körper <math>L</math> mit Ringhomomorphismus <math>\psi\colon R\to L</math> genau einen Körperhomomorphismus <math>\alpha\colon K\to L</math> mit <math>\psi = \alpha\circ\phi</math> gibt.

== Charakteristik ==
Die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] eines Integritätsrings ist entweder 0 oder eine Primzahl, denn besitzt ein Ring eine Charakteristik <math>c=k \cdot l</math>, dann folgt
:<math>\sum_{i=1}^c 1 = \sum_{i=1}^{k \cdot l} 1 = \left(\sum_{i=1}^k 1\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^l 1\right) = 0</math>,
woraus (aufgrund der Nullteilerfreiheit) entweder <math>\textstyle \sum_{i=1}^k 1=0</math> oder <math>\textstyle \sum_{i=1}^l 1=0</math> folgt. Dies ist aber bereits die Definition der Charakteristik (kleinstes <math>n</math> mit <math>\textstyle \sum_{i=1}^n 1=0</math>), weshalb entweder <math>k=c</math> oder <math>l=c</math> ist und <math>c</math> somit prim ist. Man beachte, dass für diesen Beweis nicht unbedingt ein Integritätsring (genauer: die Kommutativität eines Ringes) notwendig ist, ein nullteilerfreier Ring mit 1 reicht bereits.

Ist <math>R</math> ein Integritätsring mit der Primzahl-Charakteristik <math>p</math>, dann ist die Abbildung <math>f\colon R\to R,\;x\mapsto x^p</math> ein injektiver [[Ringhomomorphismus]] und heißt [[Frobeniushomomorphismus]]. Ist der betrachtete Ring endlich, so ist <math>f</math> sogar bijektiv, also ein Automorphismus.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Siegfried Bosch]]
|Titel=Algebra
|Reihe=Springer-Lehrbuch
|Auflage=5. überarbeitete
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2004
|ISBN=3-540-40388-4
|DOI=10.1007/978-3-540-92812-6}}
* {{Literatur
|Autor=Jens Carsten Jantzen, [[Joachim Schwermer]]
|Titel=Algebra
|Reihe=Springer-Lehrbuch
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2006
|ISBN=3-540-21380-5
|DOI=10.1007/3-540-29287-X}}
* {{Literatur
|Autor=Kurt Meyberg
|Titel=Algebra.
|Reihe=Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure.
|BandReihe=Teil 1
|Verlag=Carl Hanser Verlag
|Ort=München u. a.
|Datum=1975
|ISBN=3-446-11965-5}}
* {{Literatur
|Autor=Kurt Meyberg
|Titel=Algebra.
|Reihe=Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure.
|BandReihe=Teil 2
|Verlag=Carl Hanser Verlag
|Ort=München u. a.
|Datum=1976
|ISBN=3-446-12172-2}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Integritatsring}}
[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Integritätsring - Versionsgeschichte

imported>-haznK: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|1|0 */