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2025-10-17T20:49:26Z

Substitution eines unbestimmten Integrals: Beispiele hinzugefügt

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Die '''Integration durch Substitution''' oder die '''Substitutionsregel''' ist eine wichtige Methode in der [[Integralrechnung]], um [[Stammfunktion]]en zu finden und [[Bestimmtes Integral|bestimmte Integrale]] auszuwerten. Die Substitutionsmethode erlaubt es, einen „komplizierten“ [[Integralrechnung#Bezeichnungen|Integranden]] durch einen „einfachen“ Integranden zu ersetzen und damit das gegebene Integral auf ein einfacher handhabbares Integral zurückzuführen. Der im Hintergrund der Substitutionsmethode stehende [[Transformationssatz]] gehört zu den wichtigsten Sätzen der [[Analysis]].

Die Substitutionsregel der [[Integralrechnung]] ist die Umkehrung der [[Kettenregel]] der [[Differentialrechnung]]. Bei Integralen über Funktionen mehrerer Variablen kommt der [[Transformationssatz]] zur Anwendung, der allerdings eine [[Bijektivität|bijektive]] Substitutionsfunktion verlangt.

== Aussage der Substitutionsregel ==
Ist <math>f \colon I \to \mathbb{R}</math> eine [[Stetige Funktion|stetige]] Funktion auf einem reellen [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>I</math> und <math>\varphi \colon [a,b] \to I</math> eine [[Stetig differenzierbare Funktion|stetig differenzierbare]] Funktion, so gilt
:<math>\int\limits_{a}^{b} f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)\,\mathrm{d}x = \int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)\,\mathrm{d}t.</math><ref>{{Literatur |Autor=[[Otto Forster]], Florian Lindemann |Titel=Analysis 1 |Auflage=13. |Verlag=Springer Spektrum |Datum=2023 |ISBN=978-3-658-40129-0 |Seiten=307}}</ref>

== Heuristische Herleitung ==
Die Substitutionsregel lässt sich mithilfe des Differentialkalküls herleiten: Dazu substituiert man <math>t=\varphi(x)</math> und schreibt die Ableitung als <math>\tfrac{\mathrm d t}{\mathrm d x} = \varphi'(x)</math>. Die linke Seite dieser Gleichung fasst man als Quotient von zwei [[Differential (Mathematik)|Differentialen]] auf, wodurch man nach Multiplikation mit <math>\mathrm d x</math> die Gleichung <math>\varphi'(x)\, \mathrm d x =\mathrm dt</math> erhält. Durch Einsetzen in das Integral erhält man

:<math>\int f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)\,\mathrm{d}x = \int f(t)\, \mathrm d t.</math>
Im linken Integral ist <math>x</math> die Integrationsvariable, im rechten Integral nun <math>t</math>.

Bei bestimmten Integralen erfordert dieser Wechsel der Integrationsvariablen noch eine Anpassung der Integrationsgrenzen: Für <math>x=a</math> ist <math>t=\varphi(a)</math> und für <math>x=b</math> ist <math>t=\varphi(b)</math>. Damit erhält man schließlich

:<math>\int\limits_{a}^{b} f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)\, \mathrm d x = \int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)\, \mathrm d t.</math>

== Beweis ==
Ist <math>F</math> eine [[Stammfunktion]] von <math>f</math>, so gilt für die Ableitung der [[Komposition (Mathematik)|zusammengesetzten Funktion]] <math>F \circ \varphi</math> nach der [[Kettenregel]]

:<math>(F \circ \varphi)'(x) = F'(\varphi(x))\cdot\varphi'(x) = f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x).</math>

Also ist <math>F \circ \varphi</math> eine Stammfunktion von <math>(f\circ\varphi)\cdot\varphi'</math>.
Durch zweimaliges Anwenden des [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung]] erhält man die Substitutionsregel:
:<math>
\int\limits_a^b f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)\,\mathrm dx = (F \circ \varphi)(x)\bigg\vert_a^b
= F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)) = \int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)\,\mathrm d t.
</math>

== Transformationssatz ==
Die Substitutionsmethode lässt sich unter etwas engeren Voraussetzungen auch „rückwärts“ durchführen. Das ist die Substitution 2. Art. Ausgangspunkt ist für eine stetige Funktion <math>f\colon I \to \mathbb{R}</math> mit <math>\alpha, \beta \in I</math> das Integral
:<math>\begin{align}
\int\limits_{\alpha}^{\beta} f(x)\,\mathrm dx.
\end{align}</math>
Man benutzt eine Funktion <math>\varphi \colon [a,b] \to I</math>, die [[Injektive Funktion|injektiv]] und stetig differenzierbar ist. Dann existiert die Umkehrfunktion <math>\varphi^{-1}</math>. Man kann die Substitutionsregel nun von rechts nach links lesen:

:<math>\int\limits_{\alpha}^{\beta} f(x)\,\mathrm dx = \int\limits_{\varphi^{-1}(\alpha)}^{\varphi^{-1}(\beta)} f(\varphi(t))\varphi'(t)\, \mathrm d t.</math>

Sie lässt sich wie folgt interpretieren: Transformiert man die Variable <math>x</math> mittel <math>x = \varphi (t)</math>, so ändert sich der Wert des Integrals nicht, wenn man die neue Funktion <math>f \circ \varphi</math> mit der Ableitung von <math>\varphi</math> multipliziert und die Integralgrenzen wie oben anpasst.<ref>{{Literatur |Autor=[[Richard Courant]] |Titel=Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1 |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort= |Datum=1971 |ISBN=3-540-05466-9 |Seiten=184}}</ref> In dieser Fassung nennt man die Substitutionsregel deshalb auch ''Transformationsformel''.<ref>{{Literatur |Autor=[[Theodor Bröcker]] |Titel=Analysis. 1 |Auflage=2. |Verlag=Spektrum, Akad. Verl |Ort=Heidelberg Berlin |Datum=1999 |ISBN=3-86025-417-0 |Seiten=102}}</ref>

Bei geschickter Wahl der Funktion <math>\varphi</math> kann entgegen dem ersten Anschein der Integrand vereinfacht werden.

== Substitution eines bestimmten Integrals ==
=== Beispiel 1 ===
Berechnung des Integrals
:<math>\int_{0}^a \sin(2x) \,\mathrm{d}x</math>
für eine beliebige reelle Zahl <math>a > 0</math>:
Durch die Substitution <math>t = \varphi(x) = 2x</math> erhält man <math>\mathrm{d}t = \varphi'(x)\,\mathrm{d}x = 2\,\mathrm{d}x</math>, also <math>\mathrm{d}x = \tfrac12 {\mathrm{d}t}</math>, und damit:
:<math>
\int_{0}^a \sin(2x) \,\mathrm{d}x = \int_{\varphi(0)}^{\varphi(a)} \sin(t)\,\frac12 {\mathrm{d}t} = \int_{0}^{2a} \sin(t) \,\frac12 {\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} \int_{0}^{2a} \sin(t) \,\mathrm{d}t</math>
:<math>= \frac{1}{2} [ -\cos(t) ]_0^{2a} = \frac{1}{2} ((-\cos(2a))-(-\cos(0))) = \frac{1}{2}(-\cos(2a)+1) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2a))</math>.

=== Beispiel 2 ===
Berechnung des Integrals
:<math>\int_{0}^2 x \cos\left(x^2+1\right) \,\mathrm{d}x</math>:
Durch die Substitution <math>t = \varphi(x) = x^2 + 1</math> erhält man <math>\mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x</math>, also <math>x\,\mathrm{d}x = \tfrac 12 \mathrm dt</math>, und damit
:<math>\int_{0}^2 x \cos\left(x^2+1\right) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{1}^{5}\cos(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\left(\sin(5)-\sin(1)\right)</math>.
Es wird also <math>x^2 + 1</math> durch <math>t</math> ersetzt und <math>x\, \mathrm dx</math> durch <math>\tfrac 12\, \mathrm dt</math>.
Die untere Grenze des Integrals <math>x = 0</math> wird dabei in <math>t(0) = 0^2 + 1 = 1</math> umgewandelt und die obere Grenze <math>x = 2</math> in <math>t(2) = 2^2 + 1 = 5</math>.

=== Beispiel 3 ===
Das ist ein Beispiel für die Substitution rückwärts (Substitution 2. Art).

Für die Berechnung des Integrals
:<math>\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\, \mathrm{d}t</math>
kann man <math>t = \sin(x)</math> substituieren (eine [[Weierstraß-Substitution]]). Daraus ergibt sich <math>\mathrm{d}t = \cos(x)\, \mathrm{d}x</math>. Um die Integrationsgrenzen umzurechnen, benutzt man die umgekehrte Beziehung <math>x = \arcsin(t)</math>. Die obere Grenze <math>1</math> wird zu <math>\frac\pi2</math>, weil <math>\arcsin(1)=\frac\pi2</math>. Aus <math>\arcsin(0)=0</math> ergibt sich die neue untere Grenze <math>0</math>.
Mit <math>\sqrt{1-\sin^2(t)} = \cos(t)</math> für <math>0\le t\le\frac\pi2</math> rechnet man
:<math>\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\, \mathrm{d}t = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2(x)} \cos(x)\, \mathrm{d}x
= \int_0^\frac{\pi}{2} \cos(x)\cdot\cos(x)\, \mathrm{d}x
= \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(x)\, \mathrm{d}x</math>.
Das Integral in der letzten Zeile kann mit [[Partielle Integration|partieller Integration]] oder mit der [[Formelsammlung Trigonometrie#Kosinus|trigonometrischen Formel]]
:<math>\cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2}</math>
und einer weiteren Substitution berechnet werden. Es ergibt sich
:<math>\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\, \mathrm{d}t = \left[\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)\right]_{x=0}^{x=\frac{\pi}{2}}= \frac{\pi}{4}</math>.
(Damit haben wir die Fläche eines Viertelkreises berechnet.)

== Substitution eines unbestimmten Integrals ==
Hingewiesen sei auf die Problematik des Begriffs „[[Stammfunktion|unbestimmtes Integral]]“, insbesondere in der Notation.

=== Voraussetzungen und Vorgehen ===
Ist <math>f \colon I \to \mathbb{R}</math> eine [[Stetige Funktion|stetige]] Funktion auf einem reellen [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>I</math> und <math>\varphi \colon [a,b] \to I</math> eine [[Stetig differenzierbare Funktion|stetig differenzierbare]] Funktion, so gilt

:<math>F(\varphi(x)) = \int f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)\,\mathrm{d}x .</math>

wobei <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist.

Das Entscheidende bei der Substitution in einem unbestimmten Integral ist, dass am Ende der Rechnung die substituierte Variable <math>t</math> wieder durch den Term <math>\varphi(x)</math> ersetzt werden muss ''(Rücksubstitution)''.

=== Beispiel 1 ===
Durch [[quadratische Ergänzung]] und anschließende Substitution <math>t=x+1</math>, <math>\mathrm{d}x=\mathrm{d}t</math> erhält man
:<math>\int \frac{1}{x^2+2x+2}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{(x+1)^2 + 1}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{t^2+1}\,\mathrm{d}t = \arctan(t) + C = \arctan(x+1) + C</math>

=== Beispiel 2 ===
Mit der Substitution <math>t = x^2</math>, <math>\mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x</math> erhält man
:<math>\int x\, \cos\left(x^2\right)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int 2x \cos\left(x^2\right) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \cos(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2} \left(\sin(t) + C'\right) = \frac{1}{2}\sin\left(x^2\right) + C</math>

=== Beispiel 3 ===
Mit der Substitution <math>t = \cos(x)</math>, <math>\mathrm{d}t = -\sin(x)\,\mathrm{d}x</math> erhält man eine Stammfunktion für den [[Tangens und Kotangens|Tangens]]:
:<math>\int \tan(x)\,\mathrm{d}x = \int -\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\,\mathrm{d}x = \int -\frac{1}{t} \, \mathrm{d}t = -\ln(|t|) + C = -\ln(|\cos(x)|) + C</math>

=== Beispiel 4 ===
Mit der Substitution <math>t = \sin(x)</math>, <math>\mathrm{d}t = \cos(x)\,\mathrm{d}x</math> erhält man eine Stammfunktion für den [[Tangens und Kotangens|Kotangens]]:
:<math>\int \cot(x)\,\mathrm{d}x = \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{t} \, \mathrm{d}t = \ln(|t|) + C = \ln(|\sin(x)|) + C</math>

== Spezialfälle der Substitution ==
Nachfolgend wird davon ausgegangen, dass die Integrationsvariable mit <math>x</math> benannt ist.

=== Lineare Substitution ===
Erscheint in einem Integranden die Integrationsvariable <math>x</math> stets nur innerhalb eines Terms <math>ax+b</math> mit <math>a\neq0</math>, so kann wie folgt vorgegangen werden: Ist <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>, dann gilt

:<math>\int f(ax + b) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{a}F(ax + b) + C</math>.

Zum Beispiel gilt

:<math>\int e^{3x+1}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3} e^{(3x+1)} + C</math>,

da <math>f(x) = e^x = F(x)</math> und <math>a=3</math>.

=== Logarithmische Integration ===
Ist der Integrand ein Bruch, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, kann das betreffende Integral schnell gelöst werden:

:<math> \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x = \ln|f(x)| + C.</math>

Es liegt hier eine Substitution 1. Art mit <math>t = f(x)</math> vor.

Zum Beispiel gilt
: <math>\int \frac{x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C</math>,

da <math>f(x) = x^2 + 1</math> die Ableitung <math>f'(x) = 2x</math> hat.

=== Eulersche Substitution ===

Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs
:<math>\int\sqrt{ax^2+bx+c}\;\mathrm{d}x</math>
und
:<math>\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}</math>
elementar integrieren.

Euler hat hierzu mehrere Substitutionen 2. Art vorgeschlagen, die sich darin unterscheiden, welche Eigenschaften das konkrete Polynom <math>ax^2+bx+c</math> hat.

Beispiel:
:<math>\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+1}}</math>

Die Substitution <math>t = x+\sqrt{x^2+1} </math> führt zu
<math>x=\tfrac{t}2 - \tfrac1{2t}</math> und
<math>\mathrm{d}x=\left(\tfrac12 + \tfrac1{2t^2}\right)\mathrm{d}t</math>.
Damit ergibt sich
:<math>\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+1}} = \int\frac{\frac12 + \frac1{2t^2}}{\frac{t}2 + \frac1{2t}}\mathrm{d}t
= \int\frac{\mathrm{d}t}{t} = \ln |t| +C= \ln\left|x+\sqrt{x^2+1}\right|+C</math>.

== Siehe auch ==
* [[Partielle Integration]] für eine weitere wichtige Methode zur Berechnung von Integralen,
* [[Weierstraß-Substitution]] für bestimmte Funktionen, die [[trigonometrische Funktionen]] enthalten.

== Literatur ==
* Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1'', 5. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 464
* Konrad Königsberger: ''Analysis 1'', Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 200–201
* Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 4. Auflage, Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1971, ISBN 3-540-05466-9, S. 182–191

== Weblinks ==
* [http://brinkmann-du.de/mathe/gost/diff_int_01_04.htm Einfache Erklärung/Beispiele für die Substitutionsregel]
* {{TIBAV |9911 |Linktext=Substitutionsregel |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2011 |DOI=10.5446/9911}}
* {{TIBAV |10142 |Linktext=Integration durch Substitution, Fingerübung |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2013 |DOI=10.5446/10142}}
* {{TIBAV |10144 |Linktext=drei Wege für Integration durch Substitution |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2013 |DOI=10.5446/10144}}
* {{TIBAV |9987 |Linktext=Partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2012 |DOI=10.5446/9987}}
* {{TIBAV |9988 |Linktext=Beispiele partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2012 |DOI=10.5446/9988}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Integralrechnung]]

Integration durch Substitution - Versionsgeschichte

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