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2025-11-24T10:43:31Z

Eigenschaften: TeX

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[[Datei:Sine integral.svg|mini|Verlauf des Integralsinus im Bereich 0 ≤ x ≤ 8π]]
Der '''Integralsinus''' ist ein Begriff aus der [[Mathematik]] und bezeichnet eine durch ein [[Integralrechnung|Integral]] gegebene [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]. [[Joseph Liouville]] (1809–1882) bewies, dass der [[Sinc|Kardinalsinus]] nicht [[Elementare Funktion|elementar integrierbar]] ist.<ref>J. Liouville: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k163818/f64 „Mémoire. Sur la classification des Transcendantes et sur l’impossibilité d’exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 1“]. ''[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]],'' '''2,''' 56–105, 1837.</ref><ref>J. Liouville: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16382m/f531 „Suite du Mémoire. Sur la classification des Transcendantes et sur l’impossibilité d’exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 2“]. ''Journal de Mathématiques Pures et Appliquées,'' '''3,''' 523–547, 1838.</ref><ref>J. Liouville: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16383z/f431 „Mémoire. Sur l’integration d’une classe d’Équations différentielles du second ordre en quantités finies explicites“]. ''Journal de Mathématiques Pures et Appliquées,'' '''4,''' 423–456, 1839.</ref><ref>[[Joseph Ritt|Joseph (Fels) Ritt]]: ''Integration in Finite Terms: Liouville’s Theory of Elementary Methods.'' Columbia University Press, New York 1948.</ref>

Der Integralsinus ist definiert als das Integral der [[Sinc]]-Funktion:
: <math>\operatorname{Si}(x):=\int_0^x \operatorname{si}(t)\, \mathrm{d}t =\int_0^x \frac{\sin t}{t}\, \mathrm{d}t</math>.<ref>[[Siegfried Gottwald|Siegfried (Johannes) Gottwald]]: ''Handbuch der Mathematik. Ein Ratgeber für Schule und Praxis, zum Selbststudium besonders geeignet.'' Buch und Zeit Verlagsgesellschaft, Köln 1986. ISBN 3-8166-0015-8. S. 517 (704 S.).</ref>

== Eigenschaften ==
* Im Grenzübergang <math>\lim_{x\to\infty} \mathrm{Si}\left(x\right)</math> kann das Integral ausgewertet werden. Es gilt:<ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=771}}</ref>
: <math>\lim_{x\to \infty} \mathrm{Si}\left(x\right)=\frac{\pi}{2}</math>
: Dies wird im Folgenden bewiesen:
: <math>\lim_{x\to \infty} \mathrm{Si}\left(x\right)= \int_0^\infty \frac{\operatorname{sin}(x)}{x}\, \mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_0^\infty\operatorname{sin}(x)\operatorname{exp}(-xy)\, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_0^\infty\operatorname{sin}(x)\operatorname{exp}(-xy)\, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_0^\infty \frac{1}{y^2+1} \mathrm{d}y = \frac{\pi}{2}</math>

* Sinus:
:<math>\sin x = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i} x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \right)</math>
:gilt mit der [[Integralexponentialfunktion]] <math>\mathrm{Ei}</math>
:<math>\mathrm{Si}(x) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left( \mathrm{Ei}(\mathrm{i}\ x) - \mathrm{Ei}(-\mathrm{i}\ x) \right) + \frac{\pi}{2} </math>

* Die Entwicklung in eine [[Taylorreihe]] an der Stelle 0 liefert die [[Kompakte Konvergenz|kompakt konvergente]] Reihe:<ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=526}}</ref>
: <math>\mathrm{Si}\left(x\right)=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}+\cdots \quad =\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!\cdot(2k+1)}x^{2k+1}</math>

Eng verwandt ist der [[Integralkosinus]] <math>\operatorname{Ci}(x)</math>, der zusammen mit dem Integralsinus <math>\operatorname{Si}(x)</math> in parametrischer Darstellung eine [[Klothoide]] bildet.

== Spezielle Werte ==
: <math>\mathrm{Si}(\pi) = 1{,}851937...</math> [[Gibbssches Phänomen|Wilbraham-Gibbs-Konstante]]<ref>{{MathWorld|Wilbraham-GibbsConstant|Wilbraham-Gibbs Constant}}</ref>

== Verwandte Grenzwerte ==
: <math>\lim_{x\to \infty} \int_0^x \frac{\sin^2t}{t^2} \, dt = \frac{1}{2}\pi</math>
 
: <math>\lim_{x\to \infty} \int_0^x \frac{\sin^3t}{t^3} \, dt = \frac{3}{8}\pi</math>
 
: <math>\lim_{x\to \infty} \int_0^x \frac{\sin^4t}{t^4} \, dt = \frac{1}{3}\pi</math>
 
: <math>\lim_{x\to \infty} \int_0^x \frac{\sin^6t}{t^6} \, dt = \frac{11}{40}\pi</math>

== Weitere Integralidentitäten ==

Im [[Abramowitz-Stegun|Handbuch der mathematischen Funktionen]] von [[Milton Abramowitz]] und [[Irene Stegun]] werden weitere Integraldarstellungen für den ''Integralsinus'' und den ''Integralkosinus'' angegeben, die auf der Exponentialfunktion basieren und sich auf folgende Form bringen lassen:<ref>{{Literatur |Autor=Milton Abramowitz, Irene Stegun |Titel=Handbook of Mathematical Functions |Auflage=9 |Datum=1972 |Sprache=en |Seiten=231 bis 233 |Kommentar=Formeln 5.2.5 bis 5.2.13}}</ref>

: <math>\int_{0}^{\infty} \frac{\exp(-xy)}{y^2+1} \,\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\pi\cos(x) - \operatorname{Si}(x)\cos(x) + \operatorname{Ci}(x)\sin(x)</math>
: <math>\int_{0}^{\infty} \frac{y\exp(-xy)}{y^2+1} \,\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\pi\sin(x) - \operatorname{Si}(x)\sin(x) - \operatorname{Ci}(x)\cos(x)</math>

Durch Linearkombination und unter Zuhilfenahme des [[Trigonometrischer Pythagoras|„trigonometrischen Pythagoras“]] folgt daraus:
: <math>\operatorname{Si}(x) = \frac{\pi}{2} - \cos(x)\int_{0}^{\infty} \frac{\exp(-xy)}{y^2+1} \,\mathrm{d}y - \sin(x)\int_{0}^{\infty} \frac{y\exp(-xy)}{y^2+1} \,\mathrm{d}y</math>
: <math>\operatorname{Ci}(x) = \sin(x)\int_{0}^{\infty} \frac{\exp(-xy)}{y^2+1} \,\mathrm{d}y - \cos(x)\int_{0}^{\infty} \frac{y\exp(-xy)}{y^2+1} \,\mathrm{d}y</math>

== Siehe auch ==
* [[Integralexponentialfunktion]]
* [[Integralkosinus]]

== Literatur ==
* Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York 1972; S. 231 bis 233
* Horst Nasert: ''Über den allgemeinen Integralsinus und Integralkosinus.''
* [[Erwin Kreyszig|Erwin O. Kreyszig]] (Referent: [[Alwin Walther|Alwin [Oswald] Walther]]; Korreferent: [[Curt Schmieden|Curt [Otto Walther] Schmieden]]): ''Über den allgemeinen Integralsinus <math>\mathrm{Si}(z,a)</math>.'' Auszug aus Inauguraldissertation, Institut für Praktische Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|SineIntegral|Sine Integral}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

[[en:Trigonometric integral]]
[[it:Funzioni integrali trigonometrici]]

Integralsinus - Versionsgeschichte

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