2001:9E8:CE94:6600:6DA3:9E06:89B3:2A3E: /* Standard-Integralkern */

2025-06-01T15:19:45Z

Standard-Integralkern

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Ein '''linearer Integraloperator''' ist ein mathematisches Objekt aus der [[Funktionalanalysis]]. Dieses Objekt ist ein [[linearer Operator]], der mit einer bestimmten Integralschreibweise mit einem '''Integralkern''' dargestellt werden kann.

== Definition ==
Seien <math>\Omega \subset \R^n</math> und <math>D \subset \R^n</math> [[Offene Menge|offene Teilmengen]] und sei <math>K \colon \Omega \times D \to \Complex</math> eine [[messbare Funktion]]. Ein linearer Operator <math>T \colon A \to B</math> zwischen den [[Funktionenraum|Funktionenräumen]] <math>A,\, B</math> heißt Integraloperator, wenn er durch
:<math>(Tf)(x) = \int_\Omega K(t,x) f(t) \mathrm{d} t</math>
dargestellt werden kann. Die Funktion <math>K : \Omega \times D \to \Complex</math> heißt Integralkern oder kurz Kern von <math>T</math>. An <math>K</math> müssen natürlich gewisse [[Regularitätsklasse|Regularitätsanforderungen]] gestellt werden, damit das Integral überhaupt existiert. Diese Anforderungen sind abhängig vom Definitionsbereich <math>A</math> des Integraloperators. Oftmals sind die Integralkerne aus dem Raum der [[Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] oder aus dem Raum der [[quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]]. Gilt für einen Integralkern <math>D = \Omega</math> und <math>K(u,v) = \overline{K(v,u)}</math> für alle <math>u,v \in D</math> (wobei <math>\bar{.}</math> die [[komplexe Konjugation]] ist), dann nennt man den Integralkern symmetrisch.

== Beispiele ==
=== Tensorprodukt-Integralkern ===
Seien <math>g, h \in L^2(\R,\Complex)</math> zwei [[quadratintegrierbare Funktion]]en. Das Tensorprodukt dieser Funktionen ist definiert als
:<math>(g \otimes h)(x,y) := g(x)\overline{h(y)},</math>
wobei <math>\bar{.}</math> die [[komplexe Konjugation]] ist. Das Tensorprodukt <math>g \otimes h</math> kann als Integralkern des Operators <math>T \colon L^2(\R,\Complex) \to L^2(\R,\Complex)</math> mit
:<math>(Tf)(x) = \int_\R (g \otimes h)(x,y) f(y) \mathrm{d} y := \int_\R g(x)\overline{h(y)} f(y) \mathrm{d} y</math>
verwendet werden. Dieser Integraloperator ist auf <math>L^2(\R,\Complex)</math> wohldefiniert.

=== Volterraoperator ===
Der Integraloperator, der durch
:<math>T f(x) = \int_0^x f(t) \mathrm{d} t</math>
dargestellt werden kann, ist zum Beispiel für alle Funktionen <math>f \in L^2([0,1])</math> definiert. Er heißt Volterraoperator und kann zur Bestimmung einer [[Stammfunktion]] von <math>f</math> verwendet werden. Sein Integralkern <math>K</math> ist gegeben durch
:<math>
K(x,t) = \begin{cases}
1, & t \leq x\\
0, & t > x
\end{cases}.</math>
Da <math>K \in L^2([0,1] \times [0,1])</math> gilt, ist <math>T</math> ein [[Hilbert-Schmidt-Operator]].

=== Fredholmscher Integraloperator ===
Sei <math>K \colon [0,1] \times [0,1] \to \Complex</math> eine stetige Funktion. Dann ist ein Integraloperator durch
:<math>Tf(x) \colon= \int_0^1 K(t,x) f(t) \mathrm{d} t</math>
für alle und <math>f \in C([0,1])</math> definiert. Dieser Operator ist stetig und bildet zwischen den Funktionenräumen <math>C([0,1]) \to C([0,1])</math> ab. Dieser Integraloperator ist ein Beispiel eines fredholmschen Integraloperators und <math>K</math> ist sein Kern, der auch Fredholm-Kern genannt wird. Ein allgemeiner fredholmscher Integraloperator zeichnet sich dadurch aus, dass die Integralgrenzen im Gegensatz zum Volterra-Operator fix sind und der Integraloperator ein [[Kompakter Operator|linearer kompakter Operator]] ist.

=== Cauchysche Integralformel ===
{{Hauptartikel|Cauchysche Integralformel}}

Die cauchysche Integralformel ist definiert als
:<math>Tf(x) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\Gamma} \frac{f(t)}{t - x} \mathrm{d} t,</math>
wobei <math>\Gamma</math> eine geschlossene Kurve in <math>\Complex</math> um den Punkt <math>t \colon= x</math> ist. Ist <math>f</math> dann eine [[holomorphe Funktion]], so ist <math>Tf</math> die Erweiterung der Funktion <math>f|_\Gamma</math> auf einen größeren Bereich. Aber dieser Integraloperator wird in der Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] auch zur Untersuchung nicht holomorpher Funktionen verwendet. Der Integralkern der cauchyschen Integralformel ist <math>\tfrac{1}{2\pi\mathrm{i}(t-x)}</math>.

== Integraltransformationen ==
Einige Integraloperatoren nennt man traditionell eher Integraltransformationen. Sie spielen zum Beispiel in der [[Signalverarbeitung]] eine wesentliche Rolle und dienen der besseren Handhabe und Analyse des [[Informationsgehalt]]es eines Signals <math>x</math>. Wesentlich für Integraltransformationen ist der Integralkern <math>K</math>, welcher eine Funktion von der Zielvariablen <math>u</math> und der Zeitvariablen <math>t</math> ist. Durch Multiplikation des Signals <math>x</math> mit dem Integralkern <math>K</math> und anschließender Integration über den Grundraum <math>\Omega</math> im Zeitbereich wird die sogenannte Bildfunktion <math>X</math> im [[Bildbereich]] <math>\Omega'</math> gebildet:

:<math>X(u) = \int_{\Omega} x(t) K(u,t) \mathrm dt, \qquad u \in \Omega'\;.</math>

Erfüllt der Integralkern die Reziprozitätsbedingung, das heißt, es existiert ein „inverser Kern“ <math>K^{-1}</math>, kann aus der Bildfunktion <math>X</math> das Signal <math>x</math> rekonstruiert werden. In der praktischen Anwendung im Bereich der Signalverarbeitung spielt die Gruppe der selbstreziproken Kerne eine wesentliche Rolle. Ein Kern ist dann selbstreziprok wenn gilt:

:<math>K^{-1}(t,u) = K^{*}(u,t)</math>

mit der komplexen Konjugation <math>K^{*}</math> des Integrationskerns <math>K</math>. Ein Beispiel für eine Integraltransformation mit selbstreziprokem Kern ist die [[Kontinuierliche Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]].

Eine weitere in der Signalverarbeitung bedeutende Form stellen die Faltungskerne dar, welche nur von der Differenz <math>t - u</math> bzw. von <math>u - t</math> abhängen. Die Transformation bzw. Rücktransformation lässt sich dann mit der [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] ausdrücken als:

:<math>X(u) = \int_{\Omega} x(t) K(u - t) \mathrm dt = x(t) * K(t), \qquad u \in \Omega'</math>

:<math>x(t) = \int_{\Omega'} X(u) K^{-1}(t - u) \mathrm du = X(u) * K^{-1}(u), \qquad t \in \Omega\;.</math>

Ein Beispiel für eine Integraltransformation mit Faltungskern ist die [[Hilbert-Transformation]].

In der folgenden Tabelle werden einige bekannte, invertierbare Integraltransformationen mit entsprechendem Integralkern <math>K</math>, Integrationsbereich <math>\Omega</math> und „inversen Integralkern“ <math>K^{-1}</math> gelistet.

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" | Transformation
! scope="col" | Symbol
! scope="col" | <math>K</math>
! scope="col" | <math>\Omega</math>
! scope="col" | <math>K^{-1}</math>
! scope="col" | <math>\Omega'</math>
|-
| [[Kontinuierliche Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]]
| <math>\mathcal{F}</math>
| <math>\frac{e^{-\mathrm iu\cdot t}}{(2 \pi)^{n/2}}</math>
| <math>\mathbb{R}^n\,</math>
| <math>\frac{e^{+\mathrm iu\cdot t}}{(2 \pi)^{n/2}}</math>
| <math>\mathbb{R}^n\,</math>
|-
| [[Hartley-Transformation]]
| <math>\mathcal{H}</math>
| <math>\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}</math>
| <math>\mathbb{R}\,</math>
| <math>\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}</math>
| <math>\mathbb{R}\,</math>
|-
| [[Mellin-Transformation]]
| <math>\mathcal{M}</math>
| <math>t^{u-1}\,</math>
| <math>]0, \infty[</math> <math style="margin-left:2em">\ </math>
| <math>\frac{t^{-u}}{2\pi \mathrm i}\,</math>
| <math>c + \mathrm i\mathbb{R}</math> <math style="margin-left:2em">\ </math>
|-
| [[Laplace-Transformation|Zweiseitige Laplace-Transformation]]
| <math>\mathcal{B}</math>
| <math>e^{-ut}\,</math>
| <math>\mathbb{R}\,</math>
| <math>\frac{e^{+ut}}{2\pi \mathrm i}</math>
| <math>c + \mathrm i\mathbb{R}</math>
|-
| [[Laplace-Transformation]]
| <math>\mathcal{L}</math>
| <math>e^{-ut}\,</math>
| <math>]0, \infty[</math> <math style="margin-left:2em">\ </math>
| <math>\frac{e^{+ut}}{2\pi \mathrm i}</math>
| <math>c + \mathrm i\mathbb{R}</math>
|-
| [[Weierstraß-Transformation]]
| <math>\mathcal{W}</math>
| <math>\frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}}\,</math>
| <math>\mathbb{R}\,</math>
| <math>\frac{e^{+(u-t)^2/4}}{\mathrm i\sqrt{4\pi}}</math>
| <math>c + \mathrm i\mathbb{R}</math>
|-
| [[Abel-Transformation]]
|
| <math>\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}} \chi_{(u,\infty)}(t)</math>
| <math>\mathbb{R}\,</math>
| <math>\frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\chi_{(t,\infty)}(u)\frac{\rm d}{{\rm d}u}</math>
| <math>\mathbb{R}\,</math>
|-
| [[Hilbert-Transformation]]
| <math>\mathcal{H}il</math>, <math>\mathcal{H}</math>
| <math>\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}</math>
| <math>\mathbb{R}\,</math>
| <math>\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}</math>
| <math>\mathbb{R}\,</math>
|-
| [[Hankel-Transformation]]<br/>mit <math>\operatorname{J}_\nu(ut)</math> [[Bessel-Funktion]]<br/> erster Gattung und ''ν''-ter Ordnung
| <math>\mathcal{H}_\nu</math>
| <math>t \operatorname{J}_\nu(ut)</math>
| <math>]0, \infty[</math> <math style="margin-left:2em">\ </math>
| <math>u \operatorname{J}_\nu(ut)</math>
| <math>]0, \infty[</math> <math style="margin-left:2em">\ </math>
|-
| [[Stieltjes-Transformation]]
| <math>\mathcal{S}</math>
| <math>\frac{1}{u + t}</math>
| <math>]0, \infty[</math> <math style="margin-left:2em">\ </math>
|  
|  
|}

Integraltransformationen lassen sich auf höhere [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] erweitern, beispielsweise spielen in der [[Bildverarbeitung]] zweidimensionale Integraltransformationen eine wesentliche Rolle. Bei Erweiterung auf zwei Dimensionen werden die Funktionen einer Variablen auf Funktionen von zwei Variablen festgelegt, die Integralkerne sind dann Funktionen mit vier Variablen. Im Falle von unabhängigen Variablen können die Kerne faktorisiert werden und setzten sich dann als ein Produkt zweier einfacher Kerne zusammen.

== Singuläres Integral ==
Singuläre Integrale sind Integraloperatoren, die einen Integralkern mit Singularität haben. Das heißt, der Integralkern ist auf der Diagonalen nicht Lebesgue-integrierbar. Daher muss der Integralbegriff für die im Folgenden definierten Integralkerne angepasst werden.

=== Standard-Integralkern ===
Sei <math>D := \{(x,y) \in \R^n \times \R^n \mid x = y\}</math> die Diagonale in <math>\R^n \times \R^n</math>. Dann bezeichnet man als Standard-Kern eine stetige Funktion
:<math> K : \R^n \times \mathbb R^n \setminus D \to \Complex</math>
mit den folgenden zwei Eigenschaften:
#<math>K(x,y) \leq \frac{C}{|x-y|^n}</math>
#<math>|\nabla_x K(x,y)| + |\nabla_yK(x,y)| \leq \frac{C}{|x-y|^{n+1}}.</math>
Die Gradienten sind im [[Distribution (Mathematik)|distributionellen Sinne]] zu verstehen.

=== Singulärer Integraloperator ===
Sei <math>K</math> ein Standard-Integralkern. Dann heißt der Operator
:<math>T(f)(x) = \int_{\R^n} K(x,y)f(y) \mathrm{d}y</math>
singulärer Integraloperator. Der Name kommt daher, dass der [[Operator (Mathematik)|Operator]] für <math>x = y</math> eine Singularität besitzt. Auf Grund dieser Singularität konvergiert das Integral im Allgemeinen nicht absolut. Daher muss der Ausdruck <math>T(f)</math> als
:<math>T(f)(x) := \lim_{\epsilon \searrow 0} \int_{|x-y|>\epsilon} K(x,y)f(y) \mathrm{d}y</math>
verstanden werden. Dieser Ausdruck existiert für alle <math>f \in L^p(\mathbb{R}^n)</math> mit <math>1 \leq p < \infty</math>.

== Distributionen als Integralkerne ==
Auch [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] können als Integralkerne verwendet werden. Ein zentraler Satz aus diesem Bereich ist der [[Kernsatz von Schwartz]]. Dieser besagt, dass es zu jeder Distribution <math>K \in \mathcal{D}'(\Omega_1 \times \Omega_2)</math> einen [[Linearer Operator|linearen Operator]]
:<math>\mathcal{K} : \mathcal{D}(\Omega_2) \to \mathcal{D}'(\Omega_1)</math>

gibt, der für alle <math>\psi \in \mathcal{D}(\Omega_1)</math> und <math>\phi \in \mathcal{D}(\Omega_2)</math> durch
:<math>(\mathcal{K} \phi)(\psi) = K(\phi \otimes \psi)</math>

gegeben ist. Außerdem gilt auch die Rückrichtung. So gibt es zu jedem Operator <math>\mathcal{K}</math> eine eindeutige Distribution <math>K,</math> so dass <math>(\mathcal{K} \phi)(\psi) = K(\phi, \psi)</math> gilt. Diese Distribution <math>K</math> nennt man Schwartz-Kern, benannt nach dem Mathematiker [[Laurent Schwartz]], der den Kernsatz als erster formulierte. Diese Operatoren <math>\mathcal{K}</math> können jedoch nicht als Integraloperatoren mit dem [[Lebesgue-Integral]] dargestellt werden. Da die Darstellung als Integraloperator jedoch wünschenswert erschien, führte [[Lars Hörmander]] den Begriff des [[Oszillierendes Integral|oszillierenden Integrals]] ein. Mit diesem neuen Integralbegriff kann der Integralkern durch
:<math>K(x,y) = \frac{1}{2 \pi} \int_{\R^n} p(x,\xi) e^{\mathrm i(x-y)\xi} \mathrm{d} \xi</math>

angegeben werden und dann ist der Operator <math>\mathcal{K}</math> als Integraloperator der Gestalt
:<math>\mathcal{K} \phi = \int_{\R^n} K(x,.) \phi(x) \mathrm{d} x = \int_{\Omega_2 \times \R^n} p(x,\xi) e^{\mathrm i(x-.)\xi} \phi(x) \mathrm{d} (x,\xi)</math>

gegeben, wobei die Integrale wieder oszillierende Integrale sind. Die Gleichheitszeichen sind im Sinne von Distributionen zu verstehen, was
:<math>(\mathcal{K} \phi)(\psi) = K(\phi \otimes \psi) = \int_{\Omega_1 \times \Omega_2} K(x,.) \phi(x) \psi(y) \mathrm{d} (x, y) = \int_{\Omega_1 \times \Omega_2 \times \R^n} p(x,\xi) e^{\mathrm i(x-.)\xi} \mathrm{d} \xi \phi(x) \psi(y) \mathrm{d} (x, y, \xi)</math>

bedeutet.

== Nichtlineare Integraloperatoren ==
Ein nichtlinearer (Urysohn-)Integraloperator hat die Gestalt
:<math>Tf(x) = \int_\Omega K(t,x,f(t)) \mathrm{d} t</math>
mit einem geeigneten Definitionsbereich der Kernfunktion K und Integrationsbereich Ω.

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor = M.A. Krasnoselski
|Titel = Topological Methods in the Theory of nonlinear Integral Equations
|Ort = Oxford | Jahr = 1964 }}
*{{Literatur
|Autor = [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]
|Titel = Funktionalanalysis
|Verlag = Springer-Verlag | Ort = Berlin | Jahr = 2007 | ISBN = 978-3-540-72533-6 }}
*{{Literatur
|Autor = Elias M. Stein
|Titel = Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals
|Verlag = Princeton University Press | Jahr = 1993 | ISBN = 0-691-03216-5 }}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4131247-8}}

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]

Integraloperator - Versionsgeschichte

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