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2025-04-23T08:51:34Z

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[[Datei:li10.png|mini|[[Funktionsgraph]] von <math>\operatorname{li}(x)</math> im Bereich zwischen 0 und 10]]
Der '''Integrallogarithmus''' ist eine [[analytische Funktion]] auf den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>x \ge 0,\; x \ne 1</math> (oder <math>x > 1</math>) in die reellen Zahlen.
Sie hat praktische Relevanz in einigen Gebieten der Physik wie der [[Quantenfeldtheorie]] und bei der Lösung der [[Laplace-Gleichung]] in [[Halbleiter]]n sowie in der [[Zahlentheorie]], da sie eng mit der [[Dichte]] der [[Primzahl]]en verknüpft ist.

== Definition ==
Es sind zwei Definitionen üblich, die sich um eine Konstante unterscheiden. Für eine der wichtigsten Anwendungen – als [[Asymptote|asymptotische]] Vergleichsgröße für die Primzahlfunktion im [[Primzahlsatz]] – spielt der Unterschied zwischen den beiden Definitionen keine Rolle.

Eine Definition im Bereich <math>x \ge 0</math> lautet
: <math>\operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{\mathrm dt}{\ln t}\ ,</math>
dabei muss <math>\operatorname{li}</math> wegen der [[isolierte Singularität#Nichtisolierte Singularitäten|Singularität]] bei <math>x = 1</math> für <math>x > 1</math> über einen [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] definiert werden ([[cauchyscher Hauptwert]]):
: <math>\operatorname{li}(x) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left(\int_0^{1-\varepsilon} \frac{\mathrm dt}{\ln t} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{\mathrm dt}{\ln t}\right)\ .</math>

Eine andere Definition für <math>x > 1</math> ist
: <math>\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2) = \int_2^x \frac{\mathrm dt}{\ln t}\ .</math>

Dabei liegt bei <math>x=1</math> ein [[Verzweigungspunkt]] vor.

== Eigenschaften ==
[[Datei:li 02.png|mini|Funktionsgraph von <math>\operatorname{li}(x)</math> im Bereich zwischen 0 und 2 (umfasst 0, 1, µ und 2)]]

Einige Werte:
* <math>\operatorname{li}(0) = 0</math>
* <math>\operatorname{li}(1) = -\infty</math>
* <math>\operatorname{li}(\mu) = 0</math>
* <math>\operatorname{li}(2) = 1{,}04516\;37801\;17492\;78484\ldots</math> ({{OEIS|A069284}})
Dabei ist <math>\mu = 1{,}45136\;92348\;83381\;05028\ldots</math> ({{OEIS|A070769}}) die [[Ramanujan-Soldner-Konstante]].

Es gilt <math>\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)</math> mit der [[Integralexponentialfunktion]] <math>\operatorname{Ei}</math>, daraus erhält man die Reihendarstellung
: <math>\operatorname{li}(x) = \gamma + \ln\left|\ln x\right| + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\ln x)^k}{k\cdot k!}\ ,</math>
wobei <math>\gamma = 0{,}57721\;56649\;01532\;86060\ldots</math> ({{OEIS|A001620}}) die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] ist.

Aus der Definition von <math>\operatorname{li}</math> erhält man durch [[Integration durch Substitution#Lineare Substitution|lineare Substitution]]
: <math>\operatorname{li}(x) = x \int_0^1 \frac{\mathrm dt}{\ln(x\,t)}\ ,</math>
wobei für <math>x > 1</math> wegen der Singularität bei <math>t = 1/x</math> der cauchysche Hauptwert eingesetzt werden muss.<br />
Ferner haben wir für <math>x \geq 0, x \neq 1</math>

: <math>\int_0^x \operatorname{li}(t)\,{\mathrm dt} = x\,\operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(x^2).</math>

Außerdem gilt für <math>p > -1, p \not= 0</math>
: <math>\int_0^1 \operatorname{li}(t)\,t^{p-1}\,\mathrm dt = -\tfrac1{p} \ln(p+1),</math>
für <math>p = 1</math> erhält man <math>\textstyle\int_0^1 \operatorname{li}(t)\,\mathrm dt = -\ln 2.</math><br />
Im Grenzfall <math>p = 0</math> ist <math>\textstyle\int_0^1 \operatorname{li}(t)\,t^{-1}\,\mathrm dt = -1.</math>

Eine weitere Formel ist <math>\textstyle\int_0^1 \operatorname{li}(t^{-1})\,t\,\mathrm dt = \textstyle\int_1^\infty \operatorname{li}(t)\,t^{-3}\,\mathrm dt = 0.</math>

Die [[Golomb-Dickman-Konstante]] <math>\lambda = \textstyle\int_0^1 \mathrm{e}^{\operatorname{li}(x)}\mathrm dx = 0{,}62432\;99885\;43550\;87099\ldots</math> ({{OEIS|A084945}}) tritt in der Theorie [[Zufällige Permutation|zufälliger Permutationen]] bei der Abschätzung der Länge des längsten [[Zyklische Permutation|Zykels]] einer [[Permutation]] und in der Zahlentheorie bei der Abschätzung der Größe des größten [[Primfaktorzerlegung|Primfaktors]] einer Zahl auf.

== Asymptotisches Verhalten ==
[[Datei:Li up to 1e14.png|mini|Funktionsgraph von <math>\operatorname{li}(x)</math> im Bereich zwischen 1 und 10<sup>13</sup>]]

Für große <math>x</math> lässt sich <math>\operatorname{li}(x)</math> durch

: <math>\operatorname{li}(x) = 0!\,\frac{x}{\ln x} + 1!\,\frac{x}{\ln^2 x} + 2!\,\frac{x}{\ln^3 x} + 3!\,\frac{x}{\ln^4 x} + \dotsb</math>

[[Approximation|approximieren]]. Die [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] ist eine [[asymptotische Entwicklung]]; sie [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]] nicht, sondern nähert sich dem [[Wahrer Wert|wahren Wert]] an, um sich dann wieder zu entfernen.
Die beste Approximation wird nach etwa <math>\ln x</math> Gliedern erreicht, dann werden die Summanden größer durch die stärker werdende Wirkung der [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]].

== Siehe auch ==
* [[Integralsinus]]
* [[Integralcosinus]]

== Literatur ==
* [[Johann Georg von Soldner|Johann Georg Soldner]]: ''Théorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante''. Lindauer, München 1809 (französisch; [https://books.google.de/books?id=g4Q_AAAAcAAJ&hl=de bei Google Books])
* [[Niels Nielsen (Mathematiker)|Niels Nielsen]]: ''Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten'', B. G. Teubner, Leipzig 1906 ({{archive.org|theoriedesinteg00nielgoog}})

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=LogarithmicIntegral |title=Logarithmic Integral}}
* [https://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/LogIntegral/ ''Logarithmic integral''.] bei ''The Wolfram Functions Site'' (englisch; mit Berechnungsmöglichkeit)

{{Normdaten|TYP=s|GND=4212683-6}}

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Integrallogarithmus - Versionsgeschichte

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