imported>Invisigoth67: typo, form

2024-05-12T15:08:47Z

typo, form

Neue Seite

[[Datei:Sine cosine integral.svg|mini|hochkant=1.2|Graph des Integralcosinus (grün, untere Kurve) und des Integralsinus (blau, obere Kurve) für Argumente 0 ≤ x ≤ 8π]]
Der '''Integralkosinus''' ist eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], in deren Funktionsvorschrift ein [[Integralrechnung|Integral]] und die [[Kosinus]]funktion auftreten. Diese Integralfunktion kann mit elementaren Methoden nicht ohne Integral dargestellt werden.

Der Integralkosinus ist definiert als:

:<math>{\rm Ci}(x) := \gamma + \ln x + \int_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt \quad = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt</math>

Dabei ist <math>\gamma=0{,}577215...</math> die [[Euler-Mascheroni-Konstante]].

== Eigenschaften ==
* Das in der Definition auftretende Integral wird auch mit <math>\operatorname{Cin}</math> bezeichnet:
:<math>\operatorname{Cin}(x) := \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt</math>
:mit der Beziehung:
:<math>\operatorname{Cin}(x)=\gamma+\ln x-\operatorname{Ci}(x)\,</math>

* Analog zur Ableitung des [[Integralsinus]] Si(x):
:<math>\operatorname{Si}'(x) = \frac{\sin x}{x}</math>
:gilt:
:<math>\operatorname{Ci}'(x) = \frac{\cos (x)}{x}</math>

* Analog der komplexen [[Eulersche Formel|Eulerformel]]-Definition des Cosinus
:<math>\cos x = \frac{1}{2} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i} x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \right)</math>
:gilt mit der [[Integralexponentialfunktion]] <math>\operatorname{Ei}</math>
:<math>\operatorname{Ci}(x) = \frac{1}{2} \left( \operatorname{Ei}(\mathrm{i}\ x) + \operatorname{Ei}(-\mathrm{i}\ x) \right)</math>

* Es lässt sich eine überall konvergente [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] angeben:

:<math>\operatorname{Ci}\left(x\right)=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}-\cdots \quad =\gamma+\ln x+\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!\cdot 2k}</math>

* Folgende unendliche Summe mit Integralkosinuswerten als Summanden ergibt diesen Wert:

:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \operatorname{Ci}(2\pi n) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\gamma</math>

* Denn es gelten folgende Integrale:

:<math>\int_{0}^{\infty} \frac{x\exp(-wx)}{x^2+1} dx = \frac{1}{2}\pi\sin(w) - \operatorname{Si}(w)\sin(w) - \operatorname{Ci}(w)\cos(w)</math>
:<math>\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^2+1)[\exp(2\pi x)-1]} dx = \frac{1}{2}\gamma - \frac{1}{4}</math>

''Anmerkung: In verschiedenen Formelsammlungen wird der Integralkosinus mit umgekehrten [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] definiert.''

Eng verwandt ist der [[Integralsinus]] <math>\operatorname{Si}(x)</math>, der zusammen mit dem Integralcosinus <math>\operatorname{Ci}(x)</math> in parametrischer Darstellung eine [[Klothoide]] bildet.

== Siehe auch ==
* [[Integralexponentialfunktion]]
* [[Integralsinus]]

== Weblinks ==
* {{MathWorld|CosineIntegral|Cosine Integral}}

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Integralkosinus - Versionsgeschichte

imported>Invisigoth67: typo, form