imported>Wfstb: /* Definition */

2025-12-07T09:59:38Z

Definition

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[[Datei:Mplwp E1.svg|mini|Darstellung der Funktion <math>\operatorname{E_1}(x)</math>]]
[[Datei:Mplwp Ei.svg|mini|Darstellung der Funktion <math>\operatorname{Ei}(x)</math>]]
[[Datei:Mplwp li.svg|mini|Darstellung der Funktion <math>\operatorname{li}(x)</math>]]
[[Datei:Mplwp Ein.svg|mini|Darstellung der Funktion <math>\operatorname{Ein}(x)</math>]]

In der [[Mathematik]] ist die '''Integralexponentialfunktion''' beziehungsweise das '''Exponentialintegral''' eine nicht-elementare infinitesimalanalytische Funktion. Die Ableitung der Integralexponentialfunktion ist die kardinalische Exponentialkehrwertfunktion und somit elementar darstellbar. Das Exponentialintegral beschreibt die Stammfunktionen von Produkten aus Exponentialfunktionen und gebrochen rationalen Funktionen sowie die Stammfunktionen aus den Kehrwerten einiger Logarithmusfunktionen.

== Definition ==
Das Exponentialintegral <math>\operatorname{Ei}(x)</math> ist über folgende Formel definiert:<ref>{{Internetquelle |autor=W. P. Reinhardt, P. L. Walker |url=https://dlmf.nist.gov/6.2 |titel=Exponential, Logarithmic, Sine and Cosine Integrals. Properties. Definitions and Interrelations |werk=dlmf.nist.gov |hrsg=Digital Library of Mathematical Functions, [[National Institute of Standards and Technology]] |abruf=2025-12-07 |kommentar=Formel 6.2.5}}</ref>

: <math>\operatorname{Ei}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}t\,\mathrm dt = -\int^\infty_{-x} \frac{e^{-t}}t\,\mathrm dt</math>

Da <math>\tfrac 1t</math> bei <math>t=0</math> divergiert, ist das obige [[Integralrechnung|Integral]] für <math>x>0</math> als [[cauchyscher Hauptwert]] zu verstehen.

Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung<ref>{{Internetquelle |autor=W. P. Reinhardt, P. L. Walker |url=https://dlmf.nist.gov/6.6 |titel=Exponential, Logarithmic, Sine and Cosine Integrals. Properties. Power Series |werk=dlmf.nist.gov |hrsg=Digital Library of Mathematical Functions, [[National Institute of Standards and Technology]] |abruf=2025-12-07 |kommentar=Formel 6.6.1}}</ref>

: <math>\operatorname{Ei}(x) = \gamma + \ln \left|x\right| + \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k! \cdot k}\ ,</math>

wobei <math>\ln</math> der [[Natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]] und <math>\gamma</math> die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] ist.

Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem [[Integrallogarithmus]] <math>\operatorname{li}(x)</math> verwandt,
es gilt

: <math>\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\quad 0 < x \neq 1.</math>

== Abgewandelte Integralexponentialfunktionen ==
Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert:

: <math>\operatorname{E}_{1}(x) = \exp(-x)\int_{0}^{\infty} \frac{\exp(-tx)}{t+1} \,\mathrm{d}t = \int_1^\infty \frac{e^{-tx}}t\,\mathrm dt = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}t\,\mathrm dt</math>

Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da

: <math>\operatorname{Ei}(-x) = -\operatorname E_1(x).</math>

Die Funktion <math>\operatorname{Ein}(x)</math> ist eine [[ganze Funktion]] und ist mit dem standardisierten Exponentialintegral sehr eng verwandt:

: <math>\operatorname{Ein}(x) = \int_{0}^{1} \frac{1}{t}\bigl[1 - \exp(-tx)\bigr] \,\mathrm{d}t = \int_0^x\frac{1-e^{-t}}t\,\mathrm dt</math>
: <math>\operatorname{Ein}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!(2n - 1)} - \frac{x^{2n}}{(2n)!(2n)}\biggr] = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k!k}</math>

Zwischen der soeben genannten ganzen Funktion und den vorher genannten Exponentialintegralausdrücken gelten diese Beziehungen:

: <math>\operatorname{Ei}(x) = \gamma+\ln |x| - \operatorname{Ein}(-x)</math>
: <math>\operatorname E_1(x) = -\gamma-\ln |x| + \operatorname{Ein}(x)</math>

Die Integralexponentialfunktion ist ein Spezialfall der unvollständigen [[Gammafunktion#Unvollständige Gammafunktion|Gammafunktion]]:

: <math>E_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).</math>

Sie kann auch mit der nun folgenden Ausdrucksform verallgemeinert werden:

: <math>E_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\,\mathrm dt \quad \Re (x)>0</math>

== Integralhyperbelfunktionen ==
Durch arithmetische Mittelungen aus den Exponentialintegralausdrücken werden die '''Integralhyperbelfunktionen''' <math>\operatorname{Shi}(x)</math> und <math>\operatorname{Chi}(x)</math> gebildet:
: <math>\operatorname{Shi}(x) = \frac{1}{2}\operatorname{Ein}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{Ein}(-x) </math>
: <math>\operatorname{Chi}(x) = \frac{1}{2}\operatorname{Ei}(x) + \frac{1}{2}\operatorname{Ei}(-x) </math>
: <math>\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln|x| - \frac{1}{2}\operatorname{Ein}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{Ein}(-x) </math>
So lauten ihre Integraldefinitionen:
: <math>\operatorname{Shi}(x) = \int_{0}^{1} \frac {\sinh(tx)}{t} \,\mathrm{d}t = \int_{0}^{x} \frac {\sinh(t)}{t} \,\mathrm{d}t</math>
: <math>\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_0^1\frac{\cosh(tx)-1}{t} \,\mathrm{d}t =</math>
: <math>= \gamma + \ln|x| + \int_0^x\frac{\cosh(t)-1}{t} \,\mathrm{d}t</math>

== Literatur ==
* William H. Press et al.: ''Numerical Recipes (FORTRAN)''. Cambridge University Press, New York 1989.
* [[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun|Irene A. Stegun]] (Hrsg.): ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]].'' Dover, New York 1972. [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_227.htm ''(Siehe Kapitel 5)''.]
* R. D. Misra: ''Proc. Cambridge Phil. Soc.'' Band 36, 1940, S. 173 (Bitte überprüfen! Nach JFM zweifelhaft, befremdlicher Titel: ''On the stability of crystal lattices. II'', S. 173–182)

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=ExponentialIntegral |title=Exponential Integral}}
* {{MathWorld |id=En-Function |title=En-Function}}
* [[Maxim Lwowitsch Konzewitsch]]: [https://av.tib.eu/series/45 Exponential Integral]. Vorlesungsreihe (englisch), 2015.

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Integralexponentialfunktion - Versionsgeschichte

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