~2025-35786-87: /* Beispiel */ Imperativ

2025-12-27T14:25:01Z

Beispiel: Imperativ

Neue Seite

[[Datei:Interior illustration.svg|miniatur|x ist innerer Punkt von S, y ist Randpunkt.]]
'''Innerer Punkt''' sowie '''Inneres''' bzw. '''offener Kern''' sind Begriffe aus der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]].

Jedes [[Element (Mathematik)|Element]] einer Teilmenge <math>M</math> eines [[Topologischer Raum|topologischen Raums]] <math>X</math>, zu dem sich eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] in <math>X</math> finden lässt, die vollständig in <math>M</math> liegt, ist ein innerer Punkt von <math>M</math>. Die Menge aller inneren Punkte von <math>M</math> heißt Inneres oder offener Kern von <math>M</math>.

Beispiel: Betrachtet man eine [[Kreisscheibe]] als Teil der Ebene, dann sind die Punkte auf dem Rand des Kreises keine inneren Punkte (sondern [[Randpunkt]]e). Dagegen sind alle Punkte zwischen dem Kreisrand und dem Kreismittelpunkt und der Kreismittelpunkt selbst innere Punkte der Kreisfläche.

== Definition ==
Sei <math>M</math> eine beliebige [[Teilmenge]] eines [[Topologischer Raum|topologischen Raums]] <math>X</math>. Dann ist ein [[Element (Mathematik)|Punkt]] <math>x_0</math> aus <math>M</math> genau dann ein ''innerer Punkt'' von <math>M</math>, wenn <math>M</math> eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>x_0</math> in <math>X</math> ist, d. h. wenn es eine Teilmenge <math>U\subseteq M</math> gibt, die <math>x_0</math> enthält und in <math>X</math> [[offene Menge|offen]] ist.

Die Menge aller inneren Punkte von <math>M</math> heißt ''Inneres'' oder ''offener Kern'' von <math>M</math>; sie ist die größte offene Teilmenge von <math>M</math>. Sie wird üblicherweise mit <math>M^\circ</math> oder insbesondere in englischsprachiger Literatur mit <math>\operatorname{Int}(M)</math> oder <math>\operatorname{int}(M)</math> bezeichnet.

== Eigenschaften ==

* Eine Teilmenge eines topologischen Raumes ist genau dann offen, wenn sie gleich ihrem Inneren ist.
* Das Innere des [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]]s ist das Komplement des [[Abschluss (Topologie)|Abschlusses]] und umgekehrt:
:: <math>(X\setminus M)^\circ=X\setminus\overline{M}</math> und <math>\overline{X\setminus M}=X\setminus M^\circ</math>
Das Innere des Komplements heißt auch das ''Äußere'' von ''M''. Der Raum ''X'' zerfällt also in Inneres, Rand und Äußeres von ''M''.

== Beispiel ==
Nimm die folgende Menge <math>M</math> und die Zahl <math>a</math>:

[[Datei:Set of real numbers with an element.svg|zentriert|500px|Menge M mit inneren Punkt a auf der Zahlengeraden]]

<math>a</math> ist ein innerer Punkt von <math>M</math>, weil es ein <math>\epsilon > 0</math> gibt, sodass <math>(a-\epsilon,a+\epsilon)</math> eine Teilmenge von <math>M</math> ist:

[[Datei:Set of real numbers with epsilon-neighbourhood.svg|zentriert|500px|Menge M mit inneren Punkt a und ε-Umgebung um a]]

== Innere Punkte von Intervallen ==
*Die inneren Punkte des [[Kompaktes Intervall|kompakten Intervalls]] <Math>\left[a,b\right]</Math> sind genau die zum [[Offenes Intervall|offenen Intervall]] <Math>\left(a,b\right)</Math> gehörenden Punkte.
*Ebenso sind die inneren Punkte des [[Halboffenes Intervall|halboffenen Intervalls]] <Math>\left[a,b\right)</Math> oder des halboffenen Intervalls <Math>\left(a,b\right]</Math> genau die zum offenen Intervall <Math>\left(a,b\right)</Math> gehörenden Punkte.
*Alle Punkte des offenen Intervalls <Math>\left(a,b\right)</Math> sind innere Punkte.

== Siehe auch ==
* [[Kernoperator]]
* Insbesondere im Kontext von [[konvexe Menge|konvexen Teilmengen]] reeller [[Vektorraum|Vektorräume]] betrachtet man das Innere bezüglich der [[affine Hülle|affinen Hülle]]; man spricht dann von [[relativ innerer Punkt|relativ inneren Punkten]].

== Literatur ==
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie.'' 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (''Springer-Lehrbuch'').

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]

Innerer Punkt - Versionsgeschichte

~2025-35786-87: /* Beispiel */ Imperativ