imported>Petrus3743: /* Radius */

2025-03-14T06:33:48Z

Radius

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[[Datei:Pentagon-inscribed-circle.svg|mini|[[Tangentenfünfeck]] mit Inkreis]]

Der '''Inkreis''' eines [[Polygon]]s (Vielecks) in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] ist der [[Kreis (Geometrie)|Kreis]], der alle Seiten des Polygons in seinem Inneren berührt. Er [[Berührung (Mathematik)|berührt]] die Strecken ''zwischen'' den [[Eckpunkt]]en und nicht ihre Verlängerungen. Gleichzeitig ist er der größte Kreis, der vollständig in dem gegebenen Polygon liegt.

Nur solche Polygone, bei denen sich alle [[Winkelhalbierende]]n der [[Innenwinkel]] des Polygons in einem Punkt schneiden, besitzen einen Inkreis. Der Schnittpunkt ist in diesem Fall der Mittelpunkt des Inkreises.

Existiert der Inkreis eines Polygons mit [[Flächeninhalt]] <math>A</math> und [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] <math>u</math>, so hat der Inkreisradius den Wert
: <math>r = \frac{2A}{u}</math>.

== Inkreis eines Dreiecks ==
[[Datei:Triangle-inscribed-circle.svg|mini|Dreieck mit Inkreis]]
Eine besonders große Bedeutung hat der Inkreis in der [[Dreiecksgeometrie]]. Jedes [[Dreieck]] besitzt einen Inkreis, sein [[Mittelpunkt]] ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der eine Seite des Dreiecks berührt (die Seite wird somit eine [[Kreistangente]] des Inkreises), so berührt dieser Kreis auch die beiden anderen Seiten.

Alle Punkte der Winkelhalbierenden des Innenwinkels <math>\alpha = \angle BAC</math> haben den gleichen Abstand von den Seiten <math>[AB]</math> und <math>[CA]</math>. Entsprechend haben die Punkte der Winkelhalbierenden von <math>\beta = \angle CBA</math> den gleichen Abstand von <math>[BC]</math> und <math>[AB]</math>. Der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden hat also von allen drei Seiten des Dreiecks (<math>[AB]</math>, <math>[BC]</math> und <math>[CA]</math>) gleichen Abstand. Er muss also auch auf der dritten Winkelhalbierenden liegen.

Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen – im Gegensatz zu den drei [[Ankreis]]en, die jeweils eine Seite von außen und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berühren.

Der Inkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, zählt zu den [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneten Punkten]] des Dreiecks. Er trägt die [[Kimberling-Nummer]] <math>X_1</math>.

=== Radius ===
Ist <math>A</math> der [[Flächeninhalt]] des Dreiecks mit den Seiten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>, so berechnet sich der [[Radius]] <math>r</math> des Inkreises durch

: <math>r = \frac {A}{s} = \frac{2 A}{a+b+c} = \sqrt{\frac{(s-a) (s-b) (s-c)}{s}}</math>

mit

: <math>s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{u}{2}</math>.

Dabei wurde für die Berechnung des Flächeninhalts <math>A</math> des Dreiecks die Formel aus dem [[Satz des Heron]] verwendet.

Je nach den gegebenen Parametern des Dreiecks ist folgender Zusammenhang interessant:

:<math>r = \frac{a}{\cot\left(\frac{\beta }{2}\right) + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right)}
= \frac{b}{\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right)}
= \frac{c}{\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot\left(\frac{\beta }{2}\right)}</math>

=== Koordinaten ===
Die [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] des Inkreis-Mittelpunktes berechnen sich als das mit den Seitenlängen der gegenüberliegenden Seiten gewichtete Mittel der Eckpunkt-Koordinaten. Wenn sich die drei Eckpunkte bei <math>(x_A/y_A)</math>, <math>(x_B/y_B)</math> und <math>(x_C/y_C)</math> befinden, und die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten die Längen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> haben, dann befindet sich der Inkreis-Mittelpunkt <math>I(x_I/y_I)</math> bei <math>\left(\frac{a x_A+b x_B+c x_C}{a + b + c}/\frac{a y_A+b y_B+c y_C}{a + b + c}\right)</math>.

[[Baryzentrische Koordinaten]]: <math>(a : b : c)</math><ref name="ETC">{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#Incenter |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers |sprache=en |abruf=2025-01-14}}</ref>

[[Trilineare Koordinaten]]: <math>(1 : 1 : 1)</math><ref name="ETC" />

=== Weitere Eigenschaften ===
[[Datei:Produkt Umfang Inkreisradius.svg|mini|hochkant=1.5|''Figur 1'']]
[[Datei:Inkreismittelpunkt Schwerpunkt Eigenschaft.svg|mini|hochkant|''Figur 2'']]
* Die Entfernung zwischen der Ecke ''A'' und einem der benachbarten Berührpunkte des Inkreises ist gleich <math>s-a</math>; dabei bedeutet <math>s</math> wie oben den halben Umfang. Entsprechendes gilt für die Ecken ''B'' und ''C.''
* Die [[Verbindungsgerade]]n der Ecken des Dreiecks mit den gegenüberliegenden Berührpunkten des Inkreises schneiden sich in einem Punkt, dem [[Gergonne-Punkt]].
* Der [[Satz vom Dreizack]] stellt einen Zusammenhang zwischen [[Umkreis]] und Inkreis her.
* In jedem Dreieck ist das Produkt aus seinem [[Kreis#Umfang|Umfang]] und seinem Inkreisradius doppelt so groß wie seine Fläche (siehe ''Figur 1''),<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte.'' Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 29.</ref><ref>Grace Lin: ''Proof without Words: The Product of the Perimeter of a Triangle and Its Inradius Is Twice the Area of the Triangle.'' [[Mathematics Magazine]], Band 72, Nr. 4 (Oktober 1999), S. 317 {{DOI|10.2307/2691229}}.</ref> was – wie in der Einleitung bereits festgestellt – für jedes [[Tangentenvieleck]] gilt.
* Ist in einem nicht-gleichseitigen Dreieck die [[Grundseite]]nlänge das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] der beiden übrigen Seitenlängen, so ist die Verbindungsgerade zwischen dem [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] und dem Inkreismittelpunkt [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zur Grundseite (''Figur 2'').
:''Beweis:''
:Aus <math>\overline{AW_c}+\overline{W_cB}=\frac{a+b}{2}</math> (arithmetisches Mittel) und <math>\overline{AW_c} : \overline{W_cB}=b:a</math> ([[Winkelhalbierendensatz (Dreieck)|Winkelhalbierendensatz]]) folgt <math>\overline{AW_c}=\frac{b}{2}</math> und <math>\overline{W_cB}=\frac{a}{2}</math>.
:Weil <math>AI</math> eine Winkelhalbierende im Teildreieck <math>AW_cC</math> ist, gilt hier nach dem Winkelhalbierendensatz <math>\overline{CI} : \overline{IW_c}=b:a=2:1</math>.
:Da ferner <math>S</math> die Seitenhalbierende im Dreieck <math>ABC</math> ebenfalls im Verhältnis <math>2:1</math> teilt, gilt nach der Umkehrung des ersten [[Strahlensatz]]es <math>IS||AB</math>.<ref>Eckard Specht, Erhard Quaisser, Patrick Bauermann (Hrsg.): ''50 Jahre Bundeswettbewerb Mathematik - Die schönsten Aufgaben'' Zweite, erweiterte Auflage, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2020, ISBN 978-3-662-61165-4, S. 35–36</ref>

=== Inkreis eines rechtwinkligen Dreiecks ===
Liegt speziell ein [[rechtwinkliges Dreieck]] in der euklidischen Ebene vor, so lassen sich weitergehende Angaben zum Inkreis eines solchen Dreiecks machen.<ref name="CA-RBN-I">Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Bezaubernde Beweise. Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik.'' 2013, S. 89–90.</ref>

==== Radius des Inkreises ====
[[Datei:Inkreisradius rechtwinkliges Dreieck 1.svg|mini|hochkant=1.5|''Figur 3'']]
[[Datei:Inkreisradius rechtwinkliges Dreieck 2.svg|mini|hochkant|''Figur 4'']]
Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks mit Seitenlängen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>, wobei <math>c</math> die [[Länge (Mathematik)|Länge]] der Hypotenuse sein soll, kann man für den Inkreisradius <math>r</math> folgende Gleichungen angeben:
: <math>r = \frac{a \cdot b}{a+b+c} = \frac{ab}{2s}</math>
: <math>r = \frac{a+b-c}{2} = s-c</math>

Der Beweis basiert auf den Eigenschaften des Inkreises im rechtwinkligen Dreieck. Mit Hilfe von ''Figur 3'' ergibt sich
:<math>ab=r(a+b+c)</math>,
woraus unmittelbar die erste Behauptung folgt.

In ''Figur 4'' lässt sich
:<math>c=(a-r)+(b-r)</math>
ablesen. Durch einfache Umformung erhält man sofort die zweite Behauptung.<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte.'' Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 28.</ref>

==== Flächenformel ====
Der [[Tangentialpunkt]], in dem die Hypotenuse den Inkreis [[Berührung (Mathematik)|berührt]], zerlegt diese in die Teil[[Strecke (Geometrie)#Eigenschaften|strecken]] mit den Längen
: <math>x = s-a = b-r</math>

und
: <math>y = s-b = a-r</math>.

Damit gilt dann für auf den Flächeninhalt <math>A</math> des rechtwinkligen Dreiecks
: <math>A = \frac{a \cdot b}{2} = (s-a) \cdot (s-b) = (a-r) \cdot (b-r) = x \cdot y</math>.

== Inkreise anderer Vielecke ==
Während bei Dreiecken stets ein Inkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in Sonderfällen zu.

[[Viereck]]e, die einen Inkreis besitzen, heißen [[Tangentenviereck]]e. Zu ihnen gehören alle [[Konvexe Menge|konvexen]] [[Drachenviereck]]e, insbesondere alle [[Raute]]n, also auch alle [[Quadrat (Geometrie)|Quadrate]].

[[Regelmäßiges Polygon|Regelmäßige Polygone]] haben – unabhängig von der Zahl der Ecken – stets einen Inkreis. Für den Inkreisradius eines regelmäßigen <math>n</math>-Ecks mit der Seitenlänge <math>a</math> gilt:
: <math>r = \frac{a}{2} \cot\tfrac{180^\circ}{n} = \frac{a}{2 \tan\frac{180^\circ}{n}}</math>

== Siehe auch ==
* [[Umkreis]]
* [[Ankreis]]
* [[Kreise am Dreieck]]
* [[Inkugel]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Claudi Alsina, Roger B. Nelsen
|Titel=Bezaubernde Beweise. Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik
|Verlag=Springer Spektrum
|Ort=Berlin (u. a.)
|Datum=2013
|ISBN=978-3-642-34792-4}}
* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]], S. L. Greitzer: ''Zeitlose Geometrie.'' Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
* [[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]: ''Ebene Geometrie.'' 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld |id=Incircle |title=Incircle}}
* [https://www.walter-fendt.de/html5/mde/incircle_de.htm Walter Fendt: Inkreis eines Dreiecks wird Schritt für Schritt gezeichnet]
* {{Internetquelle |url=https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/mdl004vs.htm |titel=Der Inkreis beim Dreieck |werk=dwu-Unterrichtsmaterialien.de |abruf=2023-01-13}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreis]]
[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]
[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]

Inkreis - Versionsgeschichte

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