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2026-02-17T06:03:18Z

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[[Datei:Mathematic_inclusion_example_00001.svg|200px|thumb|right|Zwei Beispiele für eine Inklusion. Bsp ''<nowiki>b)</nowiki>'' zeigt eine ''echte Inklusion''.]]
Eine '''Inklusionsabbildung''' (kurz auch '''Inklusion'''), '''natürliche Einbettung''' oder '''kanonische Einbettung''' ist eine [[Mathematik|mathematische]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die eine [[Teilmenge|Teil-]] in ihre [[Grundmenge]] [[Einbettung (Mathematik)|einbettet]].

== Definition ==

Für Mengen <math>A</math> und <math>B</math> mit <math>A \subseteq B</math> ist die Inklusionsabbildung <math>i\colon A\rightarrow B</math> durch die Abbildungsvorschrift

:<math>i(x)=x</math>

gegeben. Manchmal wird das spezielle Pfeilsymbol <math>\hookrightarrow </math> zur Kennzeichnung benutzt und man schreibt dann <math>i \colon A \hookrightarrow B</math>.

Man spricht von einer ''echten Inklusion'', falls <math>A</math> eine [[echte Teilmenge]] von <math>B</math> ist, das heißt, wenn es Elemente in <math>B \setminus A</math> gibt.

Im Fall [[Mathematische Struktur|mathematischer Strukturen]] ist die so definierte Abbildung einer [[Algebraische Struktur#Unterstrukturen (Unteralgebren)|Unterstruktur]] strukturtreu, d. h. ein [[Monomorphismus]].

== Eigenschaften ==
*Jede Inklusionsabbildung ist [[Injektivität|injektiv]]. Eine echte Inklusion ist nicht [[Surjektivität|surjektiv]].
*Ist <math>A = B</math>, so ist die Inklusion die [[Identitätsabbildung]].
*Eine beliebige Funktion <math>f \colon A \to B</math> lässt sich bezüglich der [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] von Funktionen zerlegen als <math>f = h \circ g</math>, wobei <math>g</math> [[surjektiv]] und <math>h</math> injektiv ist: Sei <math>C = \operatorname{im} f \subseteq B</math> die [[Bildmenge]] von <math>f</math> und <math>g \colon A \to C</math> die Funktion, die auf <math>A</math> mit <math>f</math> übereinstimmt, also <math>g(x) = f(x)</math>. Für <math>h \colon C \to B</math> nimmt man die Inklusionsabbildung.
*Ist <math>f \colon A \to B</math> eine beliebige Funktion und <math>X</math> eine Teilmenge der [[Definitionsmenge]] <math>A</math>, dann versteht man unter der [[Einschränkung (Mathematik)|Einschränkung]] <math>f |_X</math> von <math>f</math> auf <math>X</math> diejenige Funktion <math>g \colon X \to B</math>, die auf <math>X</math> mit <math>f</math> übereinstimmt. Mit Hilfe der Inklusion <math>i \colon X \to A</math> lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als
::<math>f|_{X} = f \circ i</math>.
*Umgekehrt lässt sich jede Inklusionsabbildung <math>i \colon A \hookrightarrow B</math> als Einschränkung einer geeigneten [[identische Abbildung|identischen Abbildung]] auffassen: <math>i=\left(\operatorname{id}_B\right)|_A</math>

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Inklusion}}
* {{MathWorld|title=Inclusion Map|id=InclusionMap}}
* {{PlanetMath|author=Koro|title=Inclusion mapping|id=inclusionmapping}}

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Mengenlehre]]

Inklusionsabbildung - Versionsgeschichte

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