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2024-01-05T08:39:31Z

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Das '''injektive Tensorprodukt''' ist eine Erweiterung der in der [[Mathematik]] betrachteten [[Tensorprodukt]]e von [[Vektorraum|Vektorräumen]] auf den Fall, dass zusätzlich [[Topologischer Raum|Topologien]] auf den Vektorräumen vorhanden sind. In dieser Situation liegt es nahe, auch auf dem Tensorprodukt der Räume eine Topologie erklären zu wollen. Unter den vielen Möglichkeiten, dies zu tun, sind das [[projektives Tensorprodukt|projektive Tensorprodukt]] und das hier zu behandelnde injektive Tensorprodukt natürliche Wahlen.

Zunächst wird der leichter zugängliche Fall der [[normierter Raum|normierten Räume]] und [[Banachraum|Banachräume]] besprochen, anschließend wird auf die Verallgemeinerungen in der Theorie der [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Räume]] eingegangen.

Die Konstruktion für normierte Räume und Banachräume geht auf [[Robert Schatten]]<ref>R. Schatten: ''A theory of cross spaces.'' Annals of Mathematical Studies 26, Princeton, N.J. (1950)</ref> zurück, die Verallgemeinerungen auf lokalkonvexe Räume wurden von [[Alexander Grothendieck]]<ref>A. Grothendieck: ''Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires.'' Mem. Amer. Math. Soc. 16 (1955)</ref> erzielt.

== Normierte Räume ==

Das Tensorprodukt zweier normierter Räume lässt sich wie folgt ebenfalls zu einem normierten Raum machen.

=== Konstruktion ===

Seien <math>(E,\|\cdot\|_1)</math> und <math>(F,\|\cdot\|_2)</math> normierte Räume.
Je zwei stetige, [[lineares Funktional|lineare Funktionale]] <math>f\in E\,'</math> und <math>g\in F\,'</math>
definieren eine bilineare Abbildung <math>E\times F\rightarrow {\mathbb K},\,(x,y)\mapsto f(x)g(y)</math>.
Nach der [[Tensorprodukt#Universaldefinition|Universaldefinition]] des Tensorproduktes induziert diese eine lineare Abbildung <math>E\otimes F\rightarrow {\mathbb K},\,\sum_{i=1}^n x_i\otimes y_i\mapsto \sum_{i=1}^n f(x_i)g(y_i)</math>, die üblicherweise mit <math>f\otimes g</math> bezeichnet wird.
Man setzt nun für <math>z\in E\otimes F</math>

:<math>\|z\|_{\epsilon} := \sup\{|(f\otimes g)(z)|;\, f\in E\,',g\in F\,',\|f\|_1\le 1, \|g\|_2 \le 1\} </math>,

wobei die [[Norm (Mathematik)|Normen]] auf den [[Dualraum|Dualräumen]] wie in den Ausgangsräumen bezeichnet seien.
Durch diese Definition erhält man eine Norm auf dem Tensorprodukt, das sogenannte ''injektive Tensorprodukt'' der Normen <math>\|\cdot\|_1</math> und <math>\|\cdot\|_2</math>.
Versieht man <math>E\otimes F</math> mit dieser Norm, so nennt man <math>E\otimes F</math> das ''injektive Tensorprodukt'' oder auch das <math>\epsilon</math>-''Tensorprodukt'' der normierten Räume <math>E</math> und <math>F</math> und schreibt dafür <math>E\otimes_{\epsilon} F</math>.<ref>Raymond A. Ryan: ''Introduction to Tensor Products of Banach Spaces'', Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Kapitel 3: ''The Injective Tensor Product''</ref> Das injektive Tensorprodukt wird auch ''schwaches Tensorprodukt'' genannt.<ref>A. Y. Helemskii: ''The Homology of Banach and Topological Algebras.'' Kluwer Academic Publishers (1989), ISBN 0-7923-0217-6, Kapitel II, Definition 2.55</ref>

=== Eigenschaften ===
Sind in der Situation obiger Definition <math>x\in E, y\in F</math>, so gilt <math>\|x\otimes y\|_{\epsilon} = \|x\|_1\cdot \|y\|_2</math>.

Es gilt stets <math>\|z\|_{\epsilon} \le \|z\|_{\pi}</math>, wobei <math>\|\cdot \|_{\pi}</math> das [[projektives Tensorprodukt|projektive Tensorprodukt]] bezeichne.

Jedes <math>z=\sum_{i=1}^n x_i\otimes y_i</math> definiert einen stetigen [[linearer Operator|linearen Operator]]
<math>T_z:E\,'\rightarrow F</math>, indem man <math>T_z(f):=\sum_{i=1}^n f(x_i)y_i</math> setzt.
Es ist leicht zu zeigen, dass die <math>\epsilon</math>-Norm von <math>z</math> mit der [[Operatornorm]] von <math>T_z</math> übereinstimmt.
Dies hätte man als eine alternative Definition für die <math>\epsilon</math>-Norm verwenden können, wobei aber die Symmetrie, mit der <math>E</math> und <math>F</math> in die Definition eingehen, dann nicht so offensichtlich gewesen wäre wie bei der oben gegebenen Definition.

== Banachräume ==

Das injektive Tensorprodukt zweier Banachräume <math>(E,\|\cdot\|_1)</math> und <math>(F,\|\cdot\|_2)</math> ist in der Regel nicht vollständig, so dass die Bildung des Tensorproduktes aus der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der Banachräume herausführt.
Um in der Kategorie der Banachräume zu bleiben, muss man vervollständigen.

Man definiert daher <math> E\hat{\otimes}_{\epsilon} F</math> als die [[Vollständiger Raum|Vervollständigung]] des normierten Raums <math>E\otimes_{\epsilon} F</math> und nennt <math>E\hat{\otimes}_{\epsilon} F</math> das ''injektive Tensorprodukt'' in der Kategorie der Banachräume.

=== Hilberträume ===
Ist <math>H</math> ein [[Hilbertraum]], so ist nach obigem <math>H\,'\otimes H\subset L(H)</math> eine isometrische Einbettung in den Raum der stetigen linearen Operatoren auf <math>H</math>. Man kann zeigen, dass bei dieser Identifikation das Tensorprodukt genau mit den [[kompakter Operator|kompakten Operatoren]] zusammenfällt, das heißt, es gilt <math>H\,'\hat{\otimes}_{\epsilon} H \cong K(H)</math>. Insbesondere zeigt dieses Beispiel, dass das injektive Tensorprodukt von Hilberträumen im Allgemeinen kein Hilbertraum ist.

=== Das Tensorprodukt mit Räumen stetiger Funktionen ===

Ist <math>X</math> ein [[kompakter Raum]], so bezeichne <math>C(X)</math> den Banachraum der stetigen Funktionen <math>X\rightarrow {\mathbb K}</math> mit der [[Supremumsnorm]].
<math>E</math> sei ein weiterer Banachraum und <math>C(X,E)</math> sei der Banachraum der <math>E</math>-wertigen stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm.
Dann ist durch <math>C(X)\otimes_{\epsilon} E\rightarrow C(X,E), \sum_{i=1}^n f_i\otimes y_i \mapsto \sum_{i=1}^n f(\cdot)\otimes y_i </math> eine [[Isometrie|isometrische]] Einbettung mit dichtem Bild gegeben, das heißt, diese
Einbettung setzt sich zu einem isometrischen Isomorphismus zwischen <math>C(X)\hat{\otimes}_{\epsilon} E</math> und <math>C(X,E)</math> fort. Das schreibt sich kurz und prägnant als

:<math>C(X)\hat{\otimes}_{\epsilon} E \cong C(X,E)</math>.

Insbesondere erhält man für zwei kompakte Räume <math>X_1</math> und <math>X_2</math> die erwarteten Isometrien

:<math>C(X_1)\hat{\otimes}_{\epsilon} C(X_2) \,\cong\, C(X_1,C(X_2)) \,\cong\, C(X_1\times X_2)</math>.<ref>Raymond A. Ryan: ''Introduction to Tensor Products of Banach Spaces'', Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Kapitel 3.2</ref>

=== Tensorprodukt mit ℓ<sup>1</sup> ===
Es seien <math>\ell^1</math> der [[Folgenraum]] der absolut konvergenten, reellen Reihen und <math>E</math> ein Banachraum. Das projektive Tensorprodukt <math>\ell^1\hat{\otimes}_\pi E</math> kann bekanntlich mit dem Raum <math>\ell^1(E)</math> der absolut konvergenten Reihen in <math>E</math> identifiziert werden. Für das injektive Tensorprodukt <math>\ell^1\hat{\otimes}_\epsilon E</math> gelingt eine ähnliche Charakterisierung, wenn man die absolute Konvergenz durch [[unbedingte Konvergenz]] ersetzt.

Es sei <math>\ell^1[E]</math> der Raum der unbedingt konvergenten Reihen in <math>E</math>. Ist <math>(x_n)_n</math> eine solche Reihe, so ist <math>\sum_{n=1}^\infty f(x_n)</math> für jedes <math>f\in E'</math> absolut konvergent. Es gilt sogar, dass
:<math> \|(x_n)_n\| := \sup \left\{ \sum_{n=1}^\infty |f(x_n)|;\, f\in E', \|f\| \le 1\right\}</math>
endlich ist und eine Norm auf <math>\ell^1[E]</math> definiert, die <math>\ell^1[E]</math> zu einem Banachraum macht.
Dann kann man zeigen, dass die bilineare Abbildung
:<math>\ell^1 \times E \rightarrow \ell^1[E], ((a_n)_n, x) \mapsto (a_nx)_n</math>
eine isometrische Abbildung
:<math>\ell^1 \otimes_\epsilon E \rightarrow \ell^1[E]</math>
induziert, die sich zu einem isometrischen Isomorphismus
:<math>\ell^1 \hat{\otimes}_\epsilon E \rightarrow \ell^1[E]</math>
fortsetzt.<ref>Raymond A. Ryan: ''Introduction to Tensor Products of Banach Spaces'', Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 3.4</ref>

== Lokalkonvexe Räume ==

Die Konstruktion des injektiven Tensorproduktes kann wie folgt auf den Fall der lokalkonvexen Räume verallgemeinert werden.<ref>H. Jarchow: ''Locally Convex Spaces.'' Teubner, Stuttgart (1981), ISBN 3-519-02224-9</ref>

=== Definition ===

Es seien <math>E</math> und <math>F</math> zwei lokalkonvexe Räume, und es seien
<math>U\subset E</math> und <math>V\subset F</math> [[absolutkonvexe Menge|absolutkonvexe]] Nullumgebungen.
Weiter bezeichne <math>U^{\circ} := \{\varphi \in E^{\,\prime}\,;\,\operatorname{Re}(\varphi(x)) \leq 1\ \forall\,x \in U\}</math> die ''Polare'' von <math>U</math> und analog <math>V^{\circ}</math> die Polare von <math>V</math>. Man erhält eine [[Halbnorm]] <math>\epsilon_{U,V}</math> auf <math>E\otimes F</math> durch die Definition
:<math>\epsilon_{U,V}\left(\sum_{j=1}^n x_j\otimes y_j\right) := \sup \left\{\left|\sum_{j=1}^n f(x_j)g(y_j)\right|;\, f\in U^{\circ}, g\in V^{\circ}\right\}</math>.

Das ''injektive Tensorprodukt'' oder ''<math>\epsilon</math>-Tensorprodukt'' <math>E\otimes_\epsilon F</math> ist der mit dem System der Halbnormen <math>\epsilon_{U,V}</math> ausgestattete Tensorproduktraum, wobei <math>U</math> und <math>V</math> die absolutkonvexen Nullumgebungen von <math>E</math> bzw. <math>F</math> durchlaufen. Das verallgemeinert die Definition des injektiven Tensorproduktes normierter Räume.

Die Vervollständigung von <math>E\otimes_\epsilon F</math> wird wie im Falle normierter Räume mit <math>E\hat{\otimes}_{\epsilon} F</math> bezeichnet.

=== Stabilitätseigenschaften ===

Einige Klassen lokalkonvexer Räume sind stabil gegenüber der Bildung des injektiven Tensorproduktes.
Gehören <math>E</math> und <math>F</math> beide zu einer der Klassen
* [[normierter Raum|normierte Räume]]
* [[metrisierbarer lokalkonvexer Raum|metrisierbare lokalkonvexe Räume]]
* [[nuklearer Raum|nukleare Räume]]
* [[Schwartz-Raum (allgemein)|Schwartz-Räume]],
so gehört auch <math>E\otimes_\epsilon F</math> dieser Klasse an.
* Sind <math>E</math> und <math>F</math> [[Fréchet-Raum|Fréchet]]-[[Montel-Raum|Montel]]-Räume, so auch <math>E\hat{\otimes}_\epsilon F</math>.

=== Das Tensorprodukt mit Räumen stetiger Funktionen ===

Es sei <math>X</math> ein [[vollständig regulärer Raum]], und <math>C(X)_c</math> bezeichne den Raum der stetigen Funktionen <math>X\rightarrow {\mathbb K}</math> mit der Topologie der [[gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] auf kompakten Mengen. Ist <math>E</math> ein weiterer lokalkonvexer Raum, so sei <math>C(X,E)_c</math> der Raum der <math>E</math>-wertigen stetigen Funktionen mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen. Dann besteht die natürliche Isomorphie

{{center|1=<math>C(X)_c\hat{\otimes}_{\epsilon} E \cong C(X,E)_c</math>,}}

wenn <math>E</math> [[Vollständiger Raum|vollständig]] und <math>X</math> ein [[Kelley-Raum]] ist. Dabei heißt <math>X</math> ein Kelley-Raum, wenn eine Funktion <math>X\rightarrow {\mathbb K}</math> bereits dann stetig ist, wenn ihre Einschränkungen auf kompakten Teilmengen stetig sind. Das ist beispielsweise bei [[lokalkompakter Raum|lokalkompakten Räumen]] der Fall.

== Siehe auch ==
* [[Hilbertraum-Tensorprodukt]]
* [[Pettis-Integral]]
* [[Vektorielles Maß]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Injektives Tensorprodukt - Versionsgeschichte

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