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'''Injektives Objekt''' ist ein Begriff aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Kategorientheorie]].

== Definition ==
[[Datei:Injektivesobjekt.png|rechts|rahmenlos]]
In einer [[Kategorientheorie|Kategorie]] <math> \mathcal{C} </math> heißt ein Objekt <math> Q </math> '''injektiv''', wenn es zu jedem [[Monomorphismus]] <math> \alpha\colon A \rightarrow B </math> und jedem <math> f\colon A\rightarrow Q </math> ein <math> f^*\colon B \rightarrow Q </math> gibt, so dass <math> f^*\circ \alpha = f </math> ist.

Demnach ist <math> Q</math> genau dann injektiv, wenn für alle Monomorphismen <math> \alpha\colon A \rightarrow B </math> die induzierte Abbildung <math> \mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(B,Q) \ni g \mapsto g \circ \alpha \in \mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(A,Q) </math> surjektiv ist.

== Beispiele ==
* In der Kategorie der Mengen '''Me''' ist jede Menge injektiv.
* Injektive Objekte in der Kategorie der [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]] sind die [[Teilbare Gruppe|teilbaren Gruppen]], d. h. diejenigen Gruppen, für die die Multiplikation mit einer [[Ganze Zahl|ganzen Zahl]] ungleich Null surjektiv ist; Beispiele sind <math>\mathbb Q</math> und <math>\mathbb Q/\mathbb Z</math>.
* In der Kategorie der [[Vektorraum|Vektorräume]] über einem Körper ist jedes Objekt injektiv.
* Jedes [[Terminales Objekt|terminale Objekt]] in einer Kategorie ist injektiv.
* Ist <math> (Q_i|i\in I) </math> eine Familie von injektiven Objekten, so ist das Produkt dieser Familie injektiv, falls es existiert.
* Hat die Kategorie ein Nullobjekt, so ist ein Produkt von injektiven Objekten genau dann injektiv, wenn jedes <math> Q_i </math> injektiv ist.
* Ist <math> Q </math> injektiv, so ist jeder Monomorphismus <math> \alpha\colon Q \rightarrow P </math> ein Schnitt (Das heißt, es gibt ein <math> \beta\colon P \rightarrow Q</math> mit <math> \beta \circ \alpha=\mathbf{1}_Q </math>).
* In der Kategorie der [[Topologischer Raum|topologischen Räume]] ist die Menge <math> \{-1,1\} </math> nicht injektiv, denn die Inklusionsabbildung <math> \{-1,1\}\rightarrow \R </math> ist kein Schnitt. Es gibt keine stetige surjektive Funktion <math> \beta\colon \R \rightarrow \{-1,1\} </math>. Dies ist eine Folgerung aus dem [[Zwischenwertsatz]].

== Injektive Moduln ==
Für einen Rechtsmodul <math> Q </math> über einem Ring <math> R </math> sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# <math> Q </math> ist in der Kategorie der Rechtsmoduln injektiv.
# Für jeden Monomorphismus <math> \alpha\colon Q \rightarrow M </math> gibt es ein <math> \beta\colon M\rightarrow Q </math> mit <math> \beta \circ \alpha = \mathbf{1}_Q </math>. Dabei ist <math> \mathbf{1}_Q </math> die Identität auf <math> Q </math>.
# '''Baersches Kriterium''':<ref>Friedrich Kasch, "Moduln und Ringe", Teubner, Stuttgart 1977, Seite 113, ISBN 3-519-02211-7</ref> Für jedes Rechtsideal <math> \mathfrak{a} \hookrightarrow R </math> und jedem Homomorphismus <math> f\colon \mathfrak{a} \rightarrow Q </math> gibt es ein <math> f^* \colon R \rightarrow Q </math>, so dass <math> f^*\circ \iota = f </math> ist.

Injektive Moduln wurden 1940 von [[Reinhold Baer]] eingeführt, der allerdings das Adjektiv ''complete'' (d. h. vollständig) statt ''injektiv'' verwendete.<ref>{{Literatur |Autor=[[Reinhold Baer]] |Titel=Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group |Sammelwerk=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |Band=46 |Nummer=10 |Datum=1940-10 |Seiten=800–806 |DOI=10.1090/S0002-9904-1940-07306-9}}</ref>
Die deutsche Bezeichnung ''injektiver Modul'' lässt sich 1953 belegen.<ref>{{Literatur |Autor=[[Beno Eckmann|B. Eckmann]], A. Schopf |Titel=Über injektive Moduln |Sammelwerk=[[Archiv der Mathematik]] |Band=4 |Nummer=2 |Datum=1953-04 |Seiten=75–78 |DOI=10.1007/BF01899665}}</ref>

=== Beispiele ===
# Ein Ring ist [[halbeinfach]] genau dann, wenn jeder Modul über dem Ring injektiv ist. Daher ist jeder Vektorraum über einem [[Schiefkörper]] injektiv. Aus dem Baerschen Kriterium ergibt sich, dass über Hauptidealringen genau die teilbaren Moduln injektiv sind. Dabei ist ein Modul teilbar genau dann, wenn <math> Q\cdot r= Q </math> ist für alle Ringelemente <math> r</math>.
# Ist <math> (Q_i| i \in I) </math> eine Familie von Moduln, so ist das [[Produkt von Moduln|direkte Produkt]] der Familie genau dann injektiv, wenn jedes <math> Q_i </math> injektiv ist.
# Ein Ring ist [[Noetherscher Ring|noethersch]] genau dann, wenn die direkte Summe von injektiven Moduln injektiv ist. Dies ist eine Verallgemeinerung der entsprechenden Aussage über [[Teilbare Gruppe|teilbare]] abelsche Gruppen.
# Über einem [[Erblicher Ring|erblichen]] (hereditären) Ring ist jedes epimorphe Bild eines injektiven Moduls injektiv. Dies ist eine Verallgemeinerung des entsprechenden Satzes über teilbare Gruppen.
# Über einem [[Integritätsring]] ist ein torsionsfreier Modul genau dann injektiv, wenn er teilbar ist.
# Ist <math> \rho\colon S \rightarrow R </math> ein unitärer Ringhomomorphismus, so ist <math> R </math> auf beiden Seiten ein S-Modul. Ist <math> Q </math> ein weiterer S-Modul, so trägt die Menge der S-Homomorphismen <math> \operatorname{Hom}_S(R,Q) </math> auf der rechten Seite eine R-Modulstruktur durch <math> (\alpha\cdot r)(x) \colon =\alpha(r\cdot x) </math>. Es gilt: Ist <math> Q </math> als S-Modul injektiv, so ist <math> \operatorname{Hom}_S(R,Q) </math> ein injektiver R-Modul. Besonders wichtig ist dies im Fall <math> S=\Z </math>. Ist <math> D </math> eine [[teilbare Gruppe]], also als <math> \Z </math>-Modul injektiv, so ist <math> \operatorname{Hom}_{\Z}(R,D) </math> ein injektiver R-Modul.

=== Es gibt genügend viele injektive Moduln ===

Jeder Modul <math> M </math> kann monomorph in einen injektiven Modul abgebildet werden.<ref>Friedrich Kasch, "Moduln und Ringe", Teubner, Stuttgart 1977, Seite 114, ISBN 3-519-02211-7</ref>

=== Injektive Hülle ===

Ein Untermodul <math> U \hookrightarrow Q </math> heißt '' groß'', wenn <math> \{0\} </math> der einzige Untermodul von <math> Q </math> ist, der mit <math> U </math> den Durchschnitt <math> \{0\} </math> hat. Ein Monomorphismus <math> \alpha:M \rightarrow Q </math> heißt ''wesentlich'', wenn <math> \alpha(M) </math> groß in <math> Q </math> ist. Es gilt:

Jeder Modul kann wesentlich in einen injektiven Modul <math> Q </math> abgebildet werden. Der Modul <math> Q </math> ist durch diese Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Er heißt '' injektive Hülle '' von M und wird oft mit <math> I(M) </math> bezeichnet<ref>Friedrich Kasch, "Moduln und Ringe", Teubner, Stuttgart 1977, Seite 118, ISBN 3-519-02211-7</ref>.

== Unzerlegbare injektive Moduln ==
Ein Modul <math> M </math> heißt ''[[Unzerlegbarer Modul|direkt unzerlegbar]]'', wenn er nicht direkte Summe zweier [[Untermodul]]n ungleich Null ist.
Für einen Modul <math> M </math> sind folgende Aussagen äquivalent.
# Jeder Untermodul ungleich dem [[Nullmodul]] ist groß in <math> M </math>.
# Die injektive Hülle <math> I(M) </math> ist direkt unzerlegbar.
# <math> I(M) </math> ist die injektive Hülle eines jeden Untermoduls ungleich Null.
# Der Endomorphismenring von <math> I(M) </math> ist [[Lokaler Ring|lokal]].

Ein Modul, der die äquivalenten Eigenschaften des Satzes erfüllt, heißt '''uniform'''. <math> M </math> wird dann oft auch ''irreduzibel'' (durchschnittsirreduzibel) genannt.
=== Beispiele ===
* Jeder einfache Modul ist uniform, besitzt also eine direkt unzerlegbare injektive Hülle.
* Ist <math> \mathfrak{p} \hookrightarrow R </math> ein [[Primideal]] in dem kommutativen Ring <math> R </math>, so ist <math> R/\mathfrak{p} </math> uniform. Insbesondere ist jeder Integritätsring uniform als Modul.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Siehe auch ==
* [[Teilbare Gruppe]]
* [[Projektives Objekt]]

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Homologische Algebra]]
[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Injektives Objekt - Versionsgeschichte

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