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2025-05-08T08:29:48Z

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In der [[Mathematik]] ist eine '''Infinitesimalzahl''' eine unendlich kleine Größe, die größer als [[null]], aber kleiner als jede positive [[reelle Zahl]] ist. Solche Größen spielen eine zentrale Rolle in der [[Differentialrechnung]], insbesondere bei der Definition des [[Differential (Mathematik)|Differentials]] <math>\mathrm{d} x</math>, das als eine infinitesimal kleine Änderung der Variablen <math>x</math> betrachtet werden kann. In der [[Nichtstandardanalysis]] werden Infinitesimalzahlen formal als [[hyperreelle Zahlen]] eingeführt, während sie in der klassischen [[Analysis]] über [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertprozesse]] interpretiert werden.

== Eigenschaften ==
Offensichtlich gibt es unter den reellen Zahlen keine Infinitesimale, die dieser Forderung genügen, denn ein solches <math>x\in\mathbb{R}</math> müsste die Bedingung
<math>0<x<\tfrac{x}{2}</math> erfüllen, da auch <math>\tfrac{x}{2}</math> eine positive reelle Zahl ist. Um trotzdem solche '''Infinitesimale''' definieren zu können, muss entweder die obige Forderung abgeschwächt werden, oder die reellen Zahlen müssen in einen größeren [[Geordneter Körper|geordneten Körper]] eingebettet werden, in welchem dann Platz für solche zusätzlichen Elemente ist. Letzteres ist der Weg, auf welchem algebraische Infinitesimale definiert werden (Coste, Roy, Pollack), und auch der Weg der [[Nichtstandardanalysis|Nichtstandard-Analysis]] (NSA) (Robinson, Nelson).

Ein Infinitesimal <math>x\neq 0</math> hat die Eigenschaft, dass jede beliebige Summe von endlich vielen (in der NSA: standard-endlich vielen) Gliedern des Betrages dieser Zahl kleiner als 1 ist:
:<math>|x| + \dotsb + |x| < 1</math> für jede endliche Anzahl von Summanden.
In diesem Fall ist <math>|1/x|</math> größer als jede beliebige positive reelle (in der NSA: standard-reelle) Zahl. Dies heißt für die algebraischen Infinitesimale, dass die zugehörige [[Körpererweiterung]] nicht-[[Archimedisches Axiom|archimedisch]] ist.<ref>{{Literatur |Autor=Peter Baumann, Dr. Thomas Kirski |Titel=Infinitesimalrechnung |Auflage=2. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2022-06-22 |ISBN=978-3-662-64570-3 |Seiten=295}}</ref>

== Infinitesimalrechnung ==
{{Hauptartikel|Infinitesimalrechnung}}
Der erste Mathematiker, der solche Zahlen nutzte, war wohl [[Archimedes]], obwohl er nicht an ihre [[Existenz#Mathematik/Logik|Existenz]] glaubte.

[[Isaac Newton|Newton]] und [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] nutzen die Infinitesimalzahlen, um ihr [[Kalkül]] der [[Infinitesimalrechnung]] (Differential- und [[Integralrechnung]]) zu entwickeln.

Typischerweise argumentierten sie (eigentlich nur Newton, Leibniz benutzt [[Monadologie|Monaden]], heute in etwa: abgebrochene bzw. formale [[Potenzreihe]]n) so:

Um die Ableitung <math>f'(x)</math> der Funktion <math>f\colon \mathbb{R}\ni x\mapsto x^2\in\mathbb{R}</math> zu bestimmen, nehmen wir an, <math>\mathrm{d}x</math> sei infinitesimal. Dann ist
:<math>f'(x) = \frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{x^2+2x\cdot \mathrm{d}x+\left(\mathrm{d}x\right)^2-x^2}{\mathrm{d}x} = 2x+\mathrm{d}x = 2x,</math>
weil <math>\mathrm{d}x</math> infinitesimal klein ist.

Obwohl dieses Argument intuitiv einleuchtet und richtige Ergebnisse liefert, ist es mathematisch nicht exakt:
Das grundlegende Problem ist, dass <math>\mathrm{d}x</math> zunächst als ungleich null betrachtet wird (man teilt durch <math>\mathrm{d}x</math>), im letzten Schritt hingegen als gleich null. Die Nutzung von Infinitesimalzahlen wurde von [[George Berkeley]] in seinem Werk: ''The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician'' (1734) kritisiert.<ref>{{Literatur |Autor=George Berkeley |Titel=The Analyst |Ort=School of Mathematics / Trinity College / Dublin |Datum=2002 |Seiten=40 |Online=https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Berkeley/Analyst/Analyst.pdf |Originaltitel=The Analyst |Originaljahr=1734 |Originalort=London / Dublin}}</ref>

== Historische Weiterentwicklung ==
Die Frage nach den Infinitesimalen war seitdem eng verknüpft mit der Frage nach der Natur der reellen Zahlen. Erst im neunzehnten Jahrhundert verliehen [[Augustin Louis Cauchy]], [[Karl Weierstraß]], [[Richard Dedekind]] und andere der reellen Analysis eine mathematisch strenge formale Form. Sie führten [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]]<nowiki/>betrachtungen ein, die die Nutzung infinitesimaler Größen überflüssig machten.<ref>{{Literatur |Autor=Thomas Sonar |Titel=3000 Jahre Analysis: Geschichte, Kulturen, Menschen |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2011 |Reihe=Vom Zählstein zum Computer |ISBN=978-3-642-17203-8 |Seiten=508ff |Abruf=}}</ref>

Trotzdem wurde die Nutzung der Infinitesimalzahlen weiterhin als nützlich für die Vereinfachung von Darstellungen und Berechnungen betrachtet. So kann, wenn <math>x\approx 0</math> die Eigenschaft bezeichnet, infinitesimal zu sein, und entsprechend <math>N\approx \infty</math> die Eigenschaft,
infinit zu sein, definiert werden:
* Eine (Standard-)Folge <math>(a_n)</math> ist eine [[Nullfolge]], wenn für alle <math>N\approx \infty</math> gilt: <math>a_N\approx 0</math>.
* Eine (Standard-)Funktion <math>f</math> auf einem beschränkten Intervall <math>I</math> ist [[gleichmäßig stetig]] genau dann, wenn für alle <math>x,y\in I</math> gilt, dass aus <math>x-y\approx 0</math> folgt: <math>f(x)-f(y)\approx 0</math>.

Im 20. Jh. wurden [[Zahlbereichserweiterung]]en der reellen Zahlen gefunden, die infinitesimale Zahlen in formal korrekter Form enthalten. Die bekanntesten sind die [[Hyperreelle Zahl|hyperreellen Zahlen]] und die [[Surreale Zahl|surrealen Zahlen]].<ref name=":0" />

In der [[Nichtstandardanalysis]] von [[Abraham Robinson]] (1961), welche die hyperreellen Zahlen als Spezialfall enthält, sind Infinitesimalzahlen legitime Größen. In dieser Analysis kann die oben erwähnte Ableitung von <math>f\colon \mathbb{R}\ni x\mapsto x^2\in\mathbb{R}</math> durch eine geringfügige Modifikation gerechtfertigt werden: Wir sprechen über den ''Standardteil'' des Differentialquotienten und der Standardteil von <math>2x + \mathrm{d}x</math> ist <math>2x</math> sofern <math>x</math> eine Standardzahl ist.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Thomas Sonar |Titel=3000 Jahre Analysis: Geschichte, Kulturen, Menschen |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2011 |Reihe=Vom Zählstein zum Computer |ISBN=978-3-642-17203-8 |Seiten=626f |Abruf=}}</ref>

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Zahl]]

Infinitesimalzahl - Versionsgeschichte

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