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2024-05-03T10:04:27Z

Eigenschaften einer Inferenzoperation

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Die '''Inferenzoperation''' ist eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] in der [[Logik]], die einer (gegebenenfalls leeren) Formelmenge <math>\Gamma</math> (den [[Hypothese|Annahme]]n oder [[Prämisse]]n) die [[Menge (Mathematik)|Menge]] aller Formeln zuordnet, die logisch aus <math>\Gamma</math> folgen.

==Inferenzoperation und Ableitbarkeitsrelation==

Ist eine [[Ableitung (Logik)|Ableitbarkeitsrelation]] <math>\vdash</math> gegeben, so ist die zugehörige Inferenzoperation wie folgt zu definieren: <math>Cn(\Gamma)</math> = <math>\{\mathrm{A} \mid \Gamma \vdash \mathrm{A}\}</math>. Umgekehrt kann man bei gegebener Inferenzoperation die Ableitbarkeitsrelation so festlegen: <math>\Gamma \vdash \mathrm{A}</math> gdw. <math>\mathrm{A} \in Cn(\Gamma)</math>.

==Eigenschaften einer Inferenzoperation==

Ebenso wie es unterschiedliche Ableitbarkeitsrelationen für unterschiedliche [[Logik]]en ([[Aussagenlogik]], [[Prädikatenlogik]], [[Intuitionismus|intuitionistische Logik]], [[Modallogik]] usw.) gibt, gibt es also auch unterschiedliche Inferenzoperationen.

Obwohl es also unterschiedliche Inferenzoperationen gibt, gibt es doch eine Reihe von Eigenschaften, die allen (oder doch den meisten) Inferenzoperationen zukommen. Diese sind zuerst von dem Logiker [[Alfred Tarski]] untersucht worden. Tarski nennt die folgenden Eigenschaften

* [[Extensive Abbildung |Extensivität]]: <math>\Gamma \subseteq Cn(\Gamma)</math>; besagt, dass Annahmen immer auch Folgerungen sind, alternativ: Jede Aussage, die man annimmt, darf man auch folgern.
* [[Idempotenz]]: <math>Cn(Cn(\Gamma)) \subseteq Cn(\Gamma)</math>; besagt, dass Folgerungen aus Folgerungen immer schon Folgerungen sind, alternativ: Wenn man eine Aussage, die aus den Annahmen folgt, annimmt, so bekommt man dadurch keine zusätzlichen Folgerungen.
* [[Monotonie (Logik)|Monotonie]]: Wenn <math>\Gamma \subseteq \Delta</math>, dann <math>Cn(\Gamma) \subseteq Cn(\Delta)</math>; besagt, wenn zwei Annahmenmengen ineinander enthalten sind, sind auch die entsprechenden [[Konsequenz]]enmengen ineinander enthalten, alternativ: Folgt aus einer Menge von Annahmen eine Aussage, so folgt dieselbe Aussage immer noch, wenn weitere Annahmen hinzugenommen werden. (Wird die Monotonieeigenschaft aufgegeben, spricht man von [[Logik#Nichtmonotone Logiken|nichtmonotoner Logik]].)
* [[Kompaktheit (Logik)|Kompaktheit]]: <math>Cn(\Gamma) = \bigcup \{ Cn(\Delta) \mid \Delta \subseteq \Gamma \text{ und } \Delta \text{ ist endlich} \}</math>; besagt, dass Folgerungen aus beliebigen Annahmenmengen sich immer schon aus einer endlichen Untermenge der Annahmenmenge folgern lassen.

Die ersten drei Eigenschaften machen die Inferenzoperation zu einem [[Hüllenoperator]].
[[Kategorie:Logik]]

Inferenzoperation - Versionsgeschichte

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