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2023-07-24T01:06:19Z

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Bei der kleinen und großen '''induktiven Dimension''' handelt es sich um zwei im [[Teilgebiet der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] betrachtete [[Dimension (Mathematik)|Dimensionsbegriffe]]. Diese Begriffe verwenden keinerlei algebraische Konstruktionen zur Festlegung einer Dimension, wie es etwa aus der Theorie der [[Vektorraum|Vektorräume]] bekannt ist, sondern lediglich den betrachteten [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] selbst. Es handelt sich um eine Alternative zur [[Lebesgue’sche Überdeckungsdimension|Lebesgue’schen Überdeckungsdimension]], die mit <math>\mathrm{dim}</math> bezeichnet und hier zu Vergleichszwecken herangezogen wird.

== Motivation ==
Der Idee der induktiven Dimension liegt die Beobachtung zugrunde, dass der [[Rand (Topologie)|Rand]] einer {{nowrap|<math>n</math>-dimensionalen}} [[Kugel#Verallgemeinerung|Kugel]] <math>(n-1)</math>‑dimensional ist, wobei {{nowrap|''<math>n</math>-dimensional''}} hier im Sinne der [[Differentialgeometrie]] (siehe [[Mannigfaltigkeit]]) oder einfach rein anschaulich zu verstehen ist. Dies legt den Gedanken nahe, den Begriff ''Dimension <math>n</math>'' einer Menge auf den Begriff ''Dimension <math>n-1</math>'' des Randes dieser Menge zurückzuführen und so eine induktive Definition anzustreben.

Da ein einpunktiger Raum, der sicher die Dimension 0 erhalten soll, einen leeren Rand hat, muss man die Dimension der leeren Menge als −1 festlegen. Eine Umsetzung der Idee der induktiven Definition führt dann auf folgende zwei Varianten:

== Definition ==
=== Die kleine induktive Dimension ===
Die '''kleine induktive Dimension''' <math>\mathrm{ind}(X)\,</math> eines topologischen Raums <math>X</math> ist wie folgt definiert:
* <math>\mathrm{ind}(X)=-1</math> genau dann, wenn <math>X=\emptyset</math>.
* <math>\mathrm{ind}(X) \le n</math>, falls es zu jedem Punkt <math>x\in X</math> und jeder offenen [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U</math> von <math>x</math> eine offene Umgebung <math>V</math> von <math>x</math> gibt mit <math>\overline{V}\subset U</math> und <math>\mathrm{ind}(\partial V)\le n-1</math>.
Damit ist erklärt, was <math>\mathrm{ind}(X) \le n</math> bedeutet. Man definiert weiter:
* <math>\mathrm{ind}(X) \,=\, n</math>, falls <math>\mathrm{ind}(X) \le n</math> und nicht <math>\mathrm{ind}(X) \le n-1</math>
* <math>\mathrm{ind}(X) \,=\, \infty</math>, falls für kein <math>n\in \N</math> die Ungleichung <math>\mathrm{ind}(X) \le n</math> gilt.
=== Die große induktive Dimension ===
Ersetzt man den Punkt <math>x\in X</math> aus der Definition der kleinen induktiven Dimension durch eine beliebige [[abgeschlossene Menge]], so erhält man den Begriff der großen induktiven Dimension. Genauer: Die '''große induktive Dimension''' <math>\mathrm{Ind}(X)\,</math> eines topologischen Raums <math>X</math> ist wie folgt definiert:
* <math>\mathrm{Ind}(X)=-1</math> genau dann, wenn <math>X=\emptyset</math>.
* <math>\mathrm{Ind}(X) \le n</math>, falls es zu jeder abgeschlossenen Menge <math>A\subset X</math> und jeder offenen [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U</math> von <math>A</math> eine offene Umgebung <math>V</math> von <math>A</math> gibt mit <math>\overline{V}\subset U</math> und <math>\mathrm{Ind}(\partial V)\le n-1</math>.
Damit ist erklärt, was <math>\mathrm{Ind}(X) \le n</math> bedeutet. Man definiert weiter:
* <math>\mathrm{Ind}(X) \,=\, n</math>, falls <math>\mathrm{Ind}(X) \le n</math> und nicht <math>\mathrm{Ind}(X) \le n-1</math>
* <math>\mathrm{Ind}(X) \,=\, \infty</math>, falls für kein <math>n\in \N</math> die Ungleichung <math>\mathrm{Ind}(X) \le n</math> gilt.
== Bemerkungen ==
* Da in <math>T_1</math>-Räumen die einpunktigen Teilmengen abgeschlossen sind, folgt für solche Räume sofort <math>\mathrm{ind}(X) \le \mathrm{Ind}(X)</math>.
* Ist <math>X</math> ein [[Diskrete Topologie|diskreter Raum]], so ist <math>\mathrm{dim}(X)=\mathrm{ind}(X)=\mathrm{Ind}(X)\,=\,0</math>.
* Die Aussage <math>\mathrm{ind}(X) \le n</math> lässt sich wie folgt umformulieren: Jeder Punkt <math>x\in X</math> hat eine [[Umgebungsbasis]] aus abgeschlossenen Mengen mit Rändern der kleinen induktiven Dimension <math>\le n-1</math>. Insbesondere hat in diesem Fall jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen, so dass dieser Begriff erst in [[Regulärer Raum|regulären Räumen]] sinnvoll ist.
* Die Aussage <math>\mathrm{Ind}(X) \le n</math> lässt sich wie folgt umformulieren: Zu je zwei [[disjunkt]]en, abgeschlossenen Teilmengen <math>A,B\subset X</math> gibt es offene Umgebungen <math>U\supset A</math> und <math>V\supset B</math> mit <math>U\cap V=\emptyset</math>, <math>\mathrm{Ind}(\partial U) \le n-1</math> und <math>\mathrm{Ind}(\partial V) \le n-1</math>. Insbesondere lassen sich in diesem Fall je zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen durch offene Mengen [[Trennungsaxiom|trennen]], so dass dieser Begriff erst in [[normaler Raum|normalen Räumen]] sinnvoll ist.
* Während bei der kleinen induktiven Dimension jedem Punkt des Raumes in naheliegender Weise eine Dimension zugeordnet werden kann, ist dies bei der großen induktiven Dimension nicht möglich, diese bezieht sich auf den Gesamtraum.

== Sätze über die induktive Dimension ==
=== Vergleiche ===
Ist <math>X</math> ein [[metrischer Raum]], so gilt nach einem Satz von [[Miroslav Katětov|M. Katětov]]

<math> \mathrm{ind}(X) \le \mathrm{Ind}(X) \le \mathrm{dim}(X)</math>.

Ein Satz von [[Pawel Sergejewitsch Alexandrow|P. S. Alexandrow]] besagt für [[kompakter Raum|kompakte]] [[Hausdorffraum|Hausdorffräume]]:

<math> \mathrm{dim}(X) \le \mathrm{ind}(X) \le \mathrm{Ind}(X)</math>.

Gleichheit hat man für [[Separabler Raum|separable]] metrisierbare Räume:

<math> \mathrm{ind}(X) \,=\, \mathrm{Ind}(X) \,=\, \mathrm{dim}(X)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Witold Hurewicz, Henry Wallman |Titel=Dimension theory (PMS-4) |Sammelwerk=Princeton Mathematical Series |Band=4 |Ort=Princeton |Datum=1948 |ISBN=978-1-4008-7566-5 |Seiten=153}}</ref>

[[Keiō Nagami|K. Nagami]] hat einen normalen Raum <math>X</math> konstruiert, für den <math>\mathrm{ind}(X)=0</math>, <math>\mathrm{dim}(X)=1</math> und <math>\mathrm{Ind}(X)=2</math> gilt.<ref>Keiō Nagami: ''[https://projecteuclid.org/euclid.jmsj/1260541197 A normal space Z with ind Z=0, dim Z=1, Ind Z=2].'' (PDF, englisch)</ref>

=== Kompaktifizierung ===
Es bezeichne <math>\beta X</math> die [[Stone-Čech-Kompaktifizierung]] von <math>X</math>. Dann gilt
* N. Wendenisow: Ist <math>X</math> normal, so gilt <math>\mathrm{Ind}(X)=\mathrm{Ind}(\beta X)</math>.
* [[J. R. Isbell]]: Ist <math>X</math> normal, so gilt <math>\mathrm{dim}(X)=\mathrm{dim}(\beta X)</math>.
* Eine analoge Aussage für die kleine induktive Dimension ist falsch.

=== Teilmengensatz ===
<math>\mathrm{Ind}</math> und <math>\mathrm{dim}</math> genügen dem Teilmengensatz für [[total normaler Raum|total normale Räume]], das heißt
* Ist <math>X</math> total normal und <math>Y\subset X</math>, so gilt <math>\mathrm{Ind}(Y)\le \mathrm{Ind}(X)</math> (bzw. <math>\mathrm{dim}(Y)\le \mathrm{dim}(X)</math>).

=== Summensatz ===
Die große induktive Dimension genügt dem Summensatz für [[vollständig normaler Raum|vollständig normale Räume]], das heißt
* [[Clifford Hugh Dowker|C. H. Dowker]]: Ist <math>X</math> vollständig normal und <math>(F_n)_{n\in \N}</math> eine Folge abgeschlossener Mengen mit <math>X=\bigcup_{n\in \N} F_n</math>, so gilt <math>\mathrm{Ind}(X)\le \sup_{n\in \N}\mathrm{Ind}(F_n)</math>.

* Für allgemeine normale Räume gilt der Summensatz weder für <math>\mathrm{ind}</math> noch für <math>\mathrm{Ind}</math>, nicht einmal dann, wenn man sich auf kompakte Hausdorffräume einschränkt.

=== Produktsatz ===
Man sagt, dass ein Dimensionsbegriff einen Produktsatz erfüllt, wenn die Dimension des Produktraumes zweier Räume gegen die Summe der Dimensionen dieser beiden Räume abgeschätzt werden kann. Beachte <math>\R^n\times \R^m \cong \R^{n+m}</math>.
* Sind <math>X</math> und <math>Y</math> nicht-leere reguläre Hausdorffräume, so gilt <math>\mathrm{ind}(X\times Y) \le \mathrm{ind}(X) + \mathrm{ind}(Y)</math>.
* Sind <math>X</math> [[perfekt normaler Raum|perfekt normal]] und <math>Y</math> metrisierbar und beide nicht-leer, so gilt <math>\mathrm{Ind}(X\times Y) \le \mathrm{Ind}(X)+ \mathrm{Ind}(Y)</math>.
* Für die Überdeckungsdimension <math>\mathrm{dim}</math> gilt eine analoge Aussage, wenn <math>X</math> und <math>Y</math> beide metrisierbar sind oder wenn <math>X</math> [[parakompakter Raum|parakompakt]] und <math>Y</math> kompakt sind.

== Literatur ==
* Keiô Nagami: ''Dimension Theory'' (= ''Pure and Applied Mathematics.'' Bd. 37). Academic Press, New York NY u. a. 1970, ISBN 0-12-513650-1.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]

Induktive Dimension - Versionsgeschichte

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