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2026-02-16T18:02:51Z

Typografie, Kleinigkeiten.

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Der '''individuelle Ergodensatz''' ist ein wichtiger Satz der [[Ergodentheorie]], einem Teilgebiet der Mathematik im Grenzbereich zwischen [[Stochastik]] und [[Dynamisches System|Theorie dynamischer Systeme]]. Alternativ wird der individuelle Ergodensatz auch '''Ergodensatz von Birkhoff''' oder '''punktweiser Ergodensatz''' genannt. Er liefert eine Form des [[Starkes Gesetz der großen Zahlen|starken Gesetzes der großen Zahlen]] für [[abhängige Variable|abhängige]] [[Zufallsvariable]]n und liefert die mathematische Grundlage der [[Ergodenhypothese]] der [[statistische Physik|statistischen Physik]]. Der Satz wurde im Jahr 1931 durch [[George David Birkhoff]] bewiesen, nach dem er auch benannt ist.<ref> [[George David Birkhoff|G. D. Birkhoff]]: ''Proof of the ergodic theorem'', (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, '''17''' S. 656–660. [http://www.pnas.org/content/17/12/656.full.pdf pdf.] Bei: PNAS.org</ref> Ein kompakter Beweis ist mittels des [[Hopf’ches Maximal-Ergodenlemma|Hopf’schen Maximal-Ergodenlemmas]] möglich. Außerdem kann der [[Lp-Ergodensatz|<math> \mathcal L^p </math>-Ergodensatz]] ohne großen Aufwand aus dem individuellen Ergodensatz hergeleitet werden.

== Aussage ==

Es sei <math>X</math> eine integrierbare Zufallsvariable (d. h., sie besitzt einen endlichen [[Erwartungswert]]) und <math>T</math> eine [[Maßerhaltende Abbildung|maßerhaltende Transformation]] auf dem zu Grunde liegenden [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega, \mathcal A, P)</math> (d. h. <math>P(T^{-1}(A)) = P(A)</math> für alle <math> A </math> in <math> \mathcal A</math>).
Dann konvergieren die Mittel
: <math> \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X \circ T^{i} (\omega) </math>
für <math>n\to\infty</math> [[Fast sichere Konvergenz|fast sicher]] gegen eine Zufallsvariable <math>Y</math>.

<math>Y</math> kann dabei [[messbare Funktion|messbar]] bezüglich der von den <math>T</math>-invarianten Mengen <math>A</math> (d. h. <math>T^{-1}(A) = A</math>) erzeugten [[σ-Algebra]] <math>\mathcal T</math> gewählt werden und lässt sich als [[bedingter Erwartungswert]] <math>E[X|\mathcal T]</math> darstellen.

Wenn <math>T</math> [[Ergodentheorie|ergodisch]] ist, so ist <math>Y</math> [[fast sicher]] konstant gleich dem Erwartungswert von <math>X</math>.

== Das Beispiel eines stationären Prozesses ==

Die Zufallsvariablen <math>Y_i = X \circ T^{i}</math> (<math>i = 1, 2, \dots</math>) bilden einen [[Stationärer stochastischer Prozess|stationären]] [[stochastischer Prozess|stochastischen Prozess]], d. h. <math>(Y_2, Y_3, \dots)</math> ist so verteilt wie <math>(Y_1, Y_2, \dots)</math>. Umgekehrt lässt sich jeder stationäre stochastische Prozess <math>(Y_i)_{i\ge1}</math> in dieser Weise darstellen, wenn man annimmt, dass <math>\Omega = \R^{\{1, 2, \dots\}}</math> und <math>Y_i</math> von der Form <math>Y_i(\omega_1, \omega_2, \dots) = \omega_i</math> ist. (Wenn dies nicht der Fall ist, kann man den Bildraum <math>\R^{\{1, 2, \dots\}}</math> mit dem [[Bildmaß]] von <math>(Y_1, Y_2, \dots)</math> anstelle von <math>\Omega</math> und <math>P</math> betrachten.) Dabei ist <math>X(\omega_1, \omega_2, \dots) = \omega_1</math>, und der [[Shiftoperator|Linksshift]], der <math>(\omega_1, \omega_2, \dots)</math> auf <math>(\omega_2, \omega_3, \dots)</math> abgebildet, ist die maßerhaltende Transformation.

Wenn die <math>Y_i</math> einen endlichen Erwartungswert haben, konvergiert nach dem Ergodensatz also
: <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i(\omega) </math>
für <math>n\to\infty</math> [[Fast sichere Konvergenz|fast sicher]] gegen eine Zufallsvariable <math>Y</math>. Diese ist der bedingte Erwartungswert <math>E[Y_i|\mathcal T]</math> eines jeden <math>Y_i</math>.
Wenn [[Ergodizität]] vorliegt, ist <math>Y</math> fast sicher konstant, d. h.
: <math>\frac{1}{n} (Y_1 + \dots + Y_n) \,\to\, E[Y_i]</math>    fast sicher   (<math>i\ge1</math> beliebig).

== Literatur ==

*{{Literatur|Autor=[[Manfred Einsiedler]], [[Klaus Schmidt (Mathematiker)|Klaus Schmidt]]|Titel=Dynamische Systeme|TitelErg=Ergodentheorie und topologische Dynamik|Verlag=Springer|Ort=Basel|Jahr=2014|ISBN=978-3-0348-0633-6|DOI=10.1007/978-3-0348-0634-3}}
*{{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}

== Weblinks ==
*{{EoM
| Autor = D.V. Anosov
| Titel = Birkhoff ergodic theorem
| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Birkhoff_ergodic_theorem
| id =
}}
*{{MathWorld
| id = BirkhoffsErgodicTheorem| title = Birkhoff's Ergodic Theorem
| author =
}}
* Vitaly Bergelson: [http://math.harvard.edu/~ctm/home/text/others/bergelson/ergodic_theorem_history/ergodic_theorem_history.pdf History of the Ergodic Theorem]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]
[[Kategorie:Ergodentheorie]]

[[en:Ergodic theory#Ergodic theorems]]

Individueller Ergodensatz - Versionsgeschichte

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