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2023-05-26T09:51:29Z

Eigenschaften: +Nichtsättigungsaxiom.

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Eine '''indirekte Nutzenfunktion''' ist eine in der [[Mikroökonomik]] verwendete [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die das maximale Nutzenniveau angibt, das ein Konsument bei gegebenen Güterpreisen und mit gegebenem Budget erreichen kann. Damit unterscheidet sie sich von der (direkten) [[Nutzenfunktion (Mikroökonomie)|Nutzenfunktion]] eines Konsumenten, die allgemein für bestimmte Gütermengen definiert ist.

== Definition und Bedeutung ==
Der Ausgangspunkt für die Herleitung der indirekten Nutzenfunktion ist derselbe wie der zur Herleitung der [[Marshallsche Nachfragefunktion|marshallschen Nachfrage]]. Er besteht im '''Nutzenmaximierungsproblem'''
:<math>\max_{(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{R}_{+}^{n}}u(x_{1},\ldots,x_{n}) </math> unter der Nebenbedingung <math>\sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq y </math>
(Details hierzu finden sich im Artikel ''[[Marshallsche Nachfragefunktion#Definition und Bedeutung|Marshallsche Nachfragefunktion]].'') Eine Lösung dieses mittels der [[Kuhn-Tucker-Bedingungen|Kuhn-Tucker-Methode]] lösbaren Optimierungsproblems bezeichnet man als marshallsche Nachfrage <math>\mathbf{x}(\mathbf{p},y)</math>, wobei <math>\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)</math> der Vektor der nachgefragten Gütermengen (<math>x_i\geq0</math>), <math>\mathbf{p}=(p_{1},\ldots,p_{n})</math> der dazugehörige Preisvektor und <math>y</math> das verfügbare Konsumbudget ist. In Worten handelt es sich bei dieser Nachfrage also um diejenige Gütermenge – abhängig von den Güterpreisen –, die erforderlich ist, um mit einem gegebenen Budget <math>y</math> ein möglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen. Setzt man die marshallsche Nachfrage <math>\mathbf{x}(\mathbf{p},y)</math> nun wieder in die maximierte Funktion ein, so bezeichnet man die resultierende Funktion als ''indirekte Nutzenfunktion'' <math>v</math>. Es ist also
:<math>v(\mathbf{p},y)\equiv u\left[x_{1}(\mathbf{p},y),\ldots,x_{n}(\mathbf{p},y)\right]\overset{\mathrm{(vektoriell)}}{=}u\left[\mathbf{x}(\mathbf{p},y)\right]</math>.
Während die marshallsche Nachfragefunktion die Gütermengen liefert, die im Nutzenmaximum nachgefragt werden, liefert die indirekte Nutzenfunktion das Nutzenniveau, das im Maximum erreicht wird; mit anderen Worten ist <math>\mathbf{x}(\mathbf{p},y)</math> das Argument des Maximums, während <math>v</math> das tatsächliche Maximum liefert.

== Eigenschaften ==
Es lässt sich zeigen, dass <math>v(\mathbf{p},y)</math> unter den üblichen Voraussetzungen – <math>u(\cdot)</math> stetig und streng monoton steigend – unter anderem folgende Eigenschaften aufweist<ref>Vgl. hierfür weitgehend Jehle/Reny 2011, S. 29 ff. Einige der Eigenschaften folgen auch schon unter der schwächeren Annahme der lokalen Nichtsättigung der zugrunde liegenden Präferenz-Indifferenz-Relation <math>R</math>. Hierzu Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 59. (Man bezeichnet eine Präferenzordnung als lokal nicht gesättigt, wenn für beliebiges <math>x_{a}\in X</math> und für jede <math>\epsilon</math>-Umgebung <math>U_{\epsilon}</math> um <math>x_{a}</math> ein <math>z\in U_{\epsilon}</math> existiert, mit dem <math>zPx_{a}</math>. Vgl. der Artikel ''[[Präferenzordnung]].'')</ref>:

* ''[[Stetige Funktion|stetig]] in <math>\mathbf{p}</math> und <math>y</math>;''
* ''[[Homogene Funktion|homogen vom Grade null]] in <math>(\mathbf{p},y)</math>,'' d. h. <math>v(\alpha\mathbf{p},\alpha y)=v(\mathbf{p},y)</math> für alle <math>\mathbf{p},y</math> und <math>\alpha>0</math>;
* ''[[Streng monoton fallende Funktion|streng monoton steigend]] in <math>y</math>'' und ''monoton fallend in <math>\mathbf{p}</math>'' (für positives <math>y</math>);
* ''[[Quasikonvexe Funktion|quasi-konvex]] in <math>(\mathbf{p},y)</math>.''

Zudem gilt unter der genannten Voraussetzung bezüglich ''u'' (und auch bereits, wenn ''u'' nur der schwächeren Annahme der lokalen [[Nichtsättigungsaxiom|Nichtsättigung]] genügt)<ref>Vgl. Kreps 2012, S. 274.</ref>:

:''(Jackson 1986<ref>Matthew O. Jackson: ''Continuous utility functions in consumer theory. A set of duality theorems.'' In: ''Journal of Mathematical Economics.'' 15, Nr. 1, 1986, S. 63–77, {{DOI|10.1016/0304-4068(86)90024-8}}.</ref>):'' Für alle Güterbündel <math>\tilde{\mathbf{x}}</math> gilt: Betrachte ein Nutzenniveau <math>\overline{u}\geq0</math> und ein <math>\epsilon>0</math>, die so beschaffen sind, dass <math>v(\mathbf{p},\mathbf{p}\cdot\tilde{\mathbf{x}})\geq\overline{u}+\epsilon</math> für alle möglichen Preisvektoren <math>\mathbf{p}</math> mit strikt positiven Komponenten. Dann existiert ein <math>\delta\in(0,1)</math>, mit dem <math>v(\mathbf{p},\delta\cdot\mathbf{p}\cdot\tilde{\mathbf{x}})>\overline{u}</math> für alle <math>\mathbf{p}</math>.

Für die Differenzierbarkeit lässt sich (unter den genannten Voraussetzungen bezüglich ''u'') auf folgende Bedingung verweisen<ref>Vgl. Kreps 2012, S. 262.</ref>:

:Sei <math>u(\mathbf{x})</math> darüber hinaus stetig differenzierbar. Wenn das Nutzenmaximierungsproblem (siehe oben) in einer offenen Umgebung um <math>(\mathbf{p}_{0},y_{0})</math> (<math>y_{0}>0</math>) eine eindeutige Lösung hat, dann ist die indirekte Nutzenfunktion <math>v(\mathbf{p},y)</math> in dieser Umgebung differenzierbar in <math>(\mathbf{p},y)</math>.

== Einordnung ==
=== Zusammenhang zur Ausgabenfunktion ===
Analog zur Beziehung zwischen marshallscher und Hicks’scher Nachfragen besteht auch zwischen der – konzeptionell mit ersterer verbundenen – indirekten Nutzenfunktion sowie der – mit letzterer zusammenhängenden – [[Ausgabenfunktion]] eine enge Beziehung. Es gilt nämlich:
{{Kasten|''Beziehung zwischen Ausgaben- und indirekter Nutzenfunktion<ref>Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 27 ff.</ref>:'' Sei die Präferenzordnung der Konsumenten durch eine reellwertige und auf <math>\mathbb{R}_{+}^{n}</math> stetige und streng monoton steigende Nutzenfunktion <math>u</math> repräsentierbar und repräsentiert. Dann gilt:
# <math>e\left[\mathbf{p},v(\mathbf{p},y)\right]=y </math>
# <math>v\left[\mathbf{p},e(\mathbf{p},\overline{u})\right]=\overline{u}</math>}}

=== Roys Identität ===
{{Hauptartikel|Roys Identität}}
Trotz der in vielerlei Hinsicht bestehenden Analogie zwischen dem Konzept der indirekten Nutzenfunktion und demjeniger der Ausgabenfunktion gibt es auf den ersten Blick keine unmittelbare Analogie zu [[Shephards Lemma]], nach dem die Ableitung der Ausgabenfunktion nach dem Preis der korrespondierenden Hicks’schen Nachfragefunktion entspricht. Eine geringfügige Modifikation liefert allerdings dennoch eine gewisse Vergleichbarkeit. Die Beziehung wird als ''Roys Identität'' bezeichnet.
{{Kasten|''Roys Identität<ref>Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 29; mit leicht schwächeren Annahmen Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 73 f.</ref>:'' Sei <math>u(\cdot)</math> stetig und streng monoton steigend. Sei weiter <math>v(\mathbf{p},y)</math> in einer Stelle <math>(\mathbf{p}_{0},y_{0})</math> [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] und <math>\partial v({p}_{0},y_{0})/\partial y\neq0</math>. Dann gilt für alle <math>i</math> (<math>1\leq i\leq n</math>):
:<math>x_{i}(\mathbf{p}_{0},y_{0})=-\frac{\partial v(\mathbf{p}_{0},y_{0})/\partial p_{i}}{\partial v(\mathbf{p}_{0},y_{0})/\partial y}</math>}}
Zum Beweis wird auf den Artikel ''[[Roys Identität]]'' verwiesen.

== Beispiel ==
Für ein Beispiel zur Konstruktion einer indirekten Nutzenfunktion wird auf den Artikel ''[[Marshallsche Nachfragefunktion#Beispiel im Zwei-Güter-Fall|Marshallsche Nachfragefunktion]]'' verwiesen.

== Literatur ==
* Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: ''Advanced Microeconomic Theory.'' 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
* David M. Kreps: ''Microeconomic Foundations I. Choice and Competitive Markets'' Princeton University Press, Princeton 2012, ISBN 978-0-691-15583-8.
* Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: ''Microeconomic Theory.'' Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.

== Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Haushaltstheorie]]

Indirekte Nutzenfunktion - Versionsgeschichte

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