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2026-04-29T15:40:08Z

Geometrische Beschreibung

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Unter einer '''Indikatrix''' versteht man in der [[Differentialgeometrie]] gekrümmter Flächen im Raum einen ebenen [[Kegelschnitt]], der das lokale [[Krümmung]]sverhalten der Fläche in einem bestimmten Punkt beschreibt. Der Begriff wurde von [[Charles Dupin]] zu Beginn des 19. Jahrhunderts eingeführt und trägt daher auch den Namen '''Dupinsche Indikatrix'''.

== Geometrische Beschreibung ==
[[Datei:Minimal surface curvature planes-de.svg|mini|Hyperbolischer Punkt einer Fläche (braun) mit Tangentialebene aus der engl. Wikipedia]]
In einer hinreichend kleinen Umgebung eines Punktes <math>a</math> einer Fläche (gegeben etwa durch <math>z=f(x,y)</math> mit <math>f</math> zweimal stetig-differenzierbar) lässt sich die Fläche durch eine [[Quadrik]], also durch eine Fläche 2. Ordnung der Form <math>z=g(x,y)</math>, beliebig genau annähern. Diese Schmiegequadrik wird die infinitesimal in Richtung der Flächennormalen bzw. der ihr entgegengesetzten Richtung verschobene Tangentialebene schneiden. Dabei können vier Fälle auftreten:
* Die Schnittmengen sind stets leer; die Schmiegequadrik ist zur Tangentialebene entartet. Man nennt a dennoch einen ''parabolischen Punkt'' (weil die Determinante der [[Zweite Fundamentalform|zweiten Fundamentalform]] verschwindet).
* Die Schnittmenge besteht aus zwei parallelen Geraden auf der einen Seite der Fläche und der leeren Menge auf der anderen (etwa im Fall eines Zylinders); man spricht von einem ''parabolischen Punkt'' der Fläche. Die Schmiegequadrik ist ein parabolischer Zylinder (vgl. Weblink unten).
* Die Schnittmenge ist bei Verschiebung in eine Normalenrichtung eine Ellipse und bei Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung leer (etwa im Fall einer Kugeloberfläche); man nennt a einen ''elliptischen Punkt'' der Fläche. Die Schmiegequadrik ist ein [[elliptisches Paraboloid]].
* Die Schnittmenge ergibt je nach Richtung der Verschiebung die eine oder andere Hyperbel eines konjugierten Hyperbelpaars (etwa im Fall einer Sattelfläche; vgl. Grafik rechts); man nennt a dann einen ''hyperbolischen Punkt'' der Fläche. Die Schmiegequadrik ist ein [[hyperbolisches Paraboloid]].

=== Die beiden Hauptkrümmungen ===
Diese vier Fälle werden heute üblicherweise über die beiden [[Hauptkrümmung]]en der Fläche unterschieden. Für diese gelten:
* Beide Hauptkrümmungen sind null, wenn die Schmiegequadrik zur Tangentialebene entartet.
* Genau eine der beiden ist null im Fall eines parabolischen Punkts mit nicht ebener Schmiegequadrik.
* Beide haben dasselbe [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] im Fall eines elliptischen Punkts.
* Beide haben unterschiedliche Vorzeichen im Fall eines hyperbolischen Punkts.

Das Produkt der beiden Hauptkrümmungen, die sogenannte [[Gaußsche Krümmung]], ist also im Fall eines elliptischen Punktes positiv, im Fall eines hyperbolischen Punktes negativ; andernfalls ist sie null.

== Formale Beschreibung ==
Jede durch den Punkt a verlaufende Gerade der Tangentialebene entspricht einem Kurvenstück auf der Fläche; dieses weist in <math>a</math> eine bestimmte Normalkrümmung κ auf. Falls <math>\kappa</math> nicht null ist, ist der Radius des [[Krümmungskreis]]es in <math>a</math> gegeben durch den Kehrwert von <math>|\kappa|</math>. Dann gehören die beiden im Abstand <math>\sqrt{1/|\kappa|}</math> zu <math>a</math> gelegenen Punkte der Ausgangsgerade zur Indikatrix von <math>a</math>.

== Anwendungen ==
* Das [[Indexellipsoid]] ist eine Indikatrix, die zur Berechnung der [[Doppelbrechung]] dient.
* Mit der [[Tissotsche Indikatrix|Tissotschen Indikatrix]] werden Verzerrungseigenschaften von [[Kartennetzentwurf|Kartennetzentwürfen]] überprüft.

== Literatur ==
* Volkmar Wünsch: ''Differentialgeometrie. Kurven und Flächen.'' Teubner, Stuttgart u. a. 1997, ISBN 3-8154-2095-4, [http://books.google.de/books?id=AQ6AFeKyILMC&pg=PA128&lpg=PA128&dq=dupin+indikatrix&source=bl&ots=73BRdm1ylg&sig=s29fdTbMoLFTDej7zbVQReSsMig&hl=de&ei=pliDSqmVAc6g_gaIy9GuCw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9 ''Google Books'']

== Weblinks ==
* [https://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-Material/bsp-quadriken Bilder von Quadriken] Als Schmiegequadrik treten nur die dort als ''parabolische Quadriken'' bezeichneten Flächen auf. Abgerufen am 13. August 2009

[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]

Indikatrix - Versionsgeschichte

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