imported>KlausTh-Mathe: Zweiter Satz der Einleitung neu formuliert; vgl. Diskussion.

2025-10-21T14:44:54Z

Zweiter Satz der Einleitung neu formuliert; vgl. Diskussion.

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Die '''Indikatorfunktion einer Menge''' (auch '''charakteristische Funktion einer Menge''' genannt) ist eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die die Zugehörigkeit eines Elements zur Menge charakterisiert. Sie ermöglicht es, fallweise definierte Funktionen mit Hilfe einer Formel darzustellen und mit ihnen zu rechnen.
Beispiele sind [[einfache Funktion|einfache Funktionen]] und die [[Dirichlet-Funktion]].

== Definition ==
[[Datei:Indicator function illustration.png|mini|Zweidimensionale Indikatorfunktion einer Untermenge eines Quadrates]]
In der Literatur finden sich mehrere Schreibweisen für die charakteristische Funktion. Neben der hier verwendeten mittels <math> \chi_T </math> sind ebenfalls die Schreibweisen <math>\xi_T</math> und <math>\mathbf{1}_T</math> gebräuchlich.<ref> Die Bezeichnung <math>\mathrm{1}_T</math> wird aber auch für die [[Relation (Mathematik)#Homogene Relationen|Identitätsrelation]] bzw. [[Identische Abbildung|-abbildung]] verwendet und kann daher leicht zu Verwechselungen führen.</ref>

=== Reellwertige charakteristische Funktion ===
Gegeben sei eine [[Grundmenge]] <math>X</math> und eine [[Teilmenge]] <math>T\subseteq X</math>. Die Funktion <math>\chi_T \colon X \to \{0,1\}</math>, definiert durch
:<math>\chi_T (x)=
\begin{cases}
1, & \text{falls } x \in T\\
0, & \text{falls } x \notin T
\end{cases}</math>
heißt dann die ''charakteristische Funktion'' oder ''Indikatorfunktion'' der Menge <math>T</math>.

Die Zuordnung <math>\mathcal P(X) \to \{0, 1\}^X,\, T\mapsto \mathrm \chi_T,</math> liefert eine [[Bijektion]] zwischen der [[Potenzmenge]] <math>\mathcal P(X)</math> und der Menge aller Funktionen von <math>X</math> in die Menge <math>\{0, 1\}.</math>

=== Erweiterte charakteristische Funktion ===
In der Optimierung wird die charakteristische Funktion teils als [[erweiterte Funktion]] definiert. Hier heißt dann die Funktion <math>\chi_T \colon X \to \{1, + \infty\}</math>, definiert durch
:<math>\chi_T (x)=
\begin{cases}
1, & \text{falls } x \in T\\
+ \infty, & \text{falls } x \notin T
\end{cases}</math>
die (erweiterte) charakteristische Funktion oder Indikatorfunktion der Menge <math> T </math>. Sie ist eine [[echte Funktion]], wenn <math> T </math> nicht leer ist.

=== Partielle charakteristische Funktion ===
Bei der Bildung der [[Partielle charakteristische Funktion|partiellen charakteristischen Funktion]] wird die [[Definitionsmenge]] auf <math>T</math> eingeschränkt; im Sinne von [[Partielle Funktion|partiellen Funktionen]] kann man sie also wie folgt beschreiben:

:<math>\chi_T'\colon X \rightsquigarrow \{0,1\},\; x\mapsto
\begin{cases}
1, & \text{falls } x \in T\\
\text{undefiniert} & \text{sonst}
\end{cases}.</math>

== Verwendung der unterschiedlichen Definitionen ==
Die reellwertige charakteristische Funktion wird häufig in der [[Integralrechnung|Integrationstheorie]] und in der [[Stochastik]] verwendet, da sie es ermöglicht, Integrale der Funktion <math> f </math> über die Menge <math> T </math> durch Integrale von <math> f \cdot \chi_T </math> über die Grundmenge zu ersetzen:
:<math>\int_T f\left(x\right) \mathrm{d}x = \int_X f\left(x\right) \cdot \chi_T\left(x\right) \mathrm{d}x</math>.
Dadurch lassen sich zum Beispiel oft Fallunterscheidungen vermeiden.

Die erweiterte charakteristische Funktion wird in der [[Optimierung (Mathematik)|Optimierung]] verwendet, um Funktionen auf Teilbereiche einzuschränken, auf denen sie gewisse gewünschte Eigenschaften wie z. B. [[Konvexe Funktion|Konvexität]] besitzen, oder um [[Nebenbedingung|Restriktionsmengen]] zu modellieren.

Die partielle charakteristische Funktion findet Verwendung in der [[Berechenbarkeitstheorie]].

== Eigenschaften und Rechenregeln der reellwertigen charakteristischen Funktion ==

* Die Menge <math>T \subset X</math> ist durch ihre charakteristische Funktion eindeutig bestimmt. Es gilt
:: <math>T = \chi_T^{-1}(\{1\}) = \{x \in X \,|\, \chi_T(x) = 1\}</math>.
: Für <math>S, T \subset X</math> ist also die Gleichheit <math>\chi_S = \chi_T</math> mit der Gleichheit <math>S = T</math> der Mengen äquivalent.
* Die charakteristische Funktion <math>\chi_{\varnothing}</math> der [[Leere Menge|leeren Menge]] ist die [[Nullfunktion]]. Die charakteristische Funktion <math>\chi_X</math> der Grundmenge ist die [[konstante Funktion]] mit dem Wert 1.
* Es seien Mengen <math>S,T \subset X</math> gegeben. Dann gilt für die [[Schnittmenge]]
:: <math>\chi_{S \cap T} = \min(\chi_S, \chi_T) = \chi_S \chi_T</math>
: und für die [[Vereinigungsmenge]]
:: <math>\chi_{S \cup T} = \max(\chi_S, \chi_T) = \chi_S + \chi_T - \chi_S \chi_T</math>.
: Für die [[Differenzmenge]] ist
:: <math>\chi_{S \setminus T} = \chi_S - \chi_S \chi_T</math>.
: Insbesondere gilt für das [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] <math>T^{\mathsf C} = X \setminus T</math>
:: <math>\chi_{T^{\mathsf C}} = 1 - \chi_T</math>.
:Unter anderem gilt für das [[kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] <math>S\times T\subset X^2</math>
::: <math>\chi_{S \times T}(s,t) = \chi_S(s) \chi_T(t)</math>
* Sei <math>(X,\Sigma,\mu)</math> ein [[Maßraum]] und <math>N</math> eine <math>\mu</math>-[[Nullmenge]], dann ist
:: <math>\chi_{N} = 0</math> <math>\mu</math>-[[fast überall]].

== Verwendung zur Berechnung von Erwartungswert, Varianz und Kovarianz ==

Für einen gegebenen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega, \mathcal F, \mathrm P)</math> und ein [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignis]] <math>A \in \mathcal F</math> ist die Indikatorfunktion <math>\chi_A\colon \Omega \rightarrow \R</math> eine [[Bernoulli-Verteilung|bernoulliverteilte]] [[Zufallsvariable]]. Insbesondere gilt für den [[Erwartungswert]]

:<math>\operatorname{E}(\chi_A) = \operatorname{P}(A)</math>

und für die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]

:<math>\operatorname{Var}(\chi_A) = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A))</math>.

Die Varianz von <math>\chi_A</math> nimmt also ihren maximalen Wert <math>\tfrac{1}{4}</math> im Fall <math>\operatorname{P}(A) = \tfrac{1}{2}</math> an.

Ist zusätzlich <math>B \in \mathcal F</math>, dann gilt für die [[Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]]

:<math>\operatorname{Cov}(\chi_A, \chi_B) = \operatorname{P}(A \cap B) - \operatorname{P}(A)\operatorname{P}(B)</math>.

Zwei Indikatorvariablen sind also genau dann [[Unkorreliertheit|unkorreliert]], wenn die zugehörigen Ereignisse [[Stochastisch unabhängige Ereignisse|stochastisch unabhängig]] sind.

Sind <math>A_1, A_2, \dotsc, A_n \in \mathcal F</math> beliebige Ereignisse, dann gibt die Zufallsvariable
:<math>N = \sum_{i=1}^n \chi_{A_i}</math>
die Anzahl derjenigen Ereignisse an, die eingetreten sind. Wegen der Linearität des Erwartungswerts gilt dann
:<math>\operatorname{E}(N) = \sum_{i=1}^n \operatorname{P}(A_i)</math>.
Diese Formel gilt auch dann, wenn die Ereignisse abhängig sind. Sind sie zusätzlich paarweise unabhängig, dann gilt nach der [[Gleichung von Bienaymé]] für die Varianz
:<math>\operatorname{Var}(N) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(\chi_{A_i}) = \sum_{i=1}^n \operatorname{P}(A_i)(1 - \operatorname{P}(A_i))</math>.
Im allgemeinen Fall kann die Varianz über die Formel
:<math>\operatorname{Var}(N) = \sum_{i,j=1}^n \operatorname{Cov}(\chi_{A_i}, \chi_{A_j}) = \sum_{i,j=1}^n \operatorname{P}(A_i \cap A_j) - \sum_{i,j=1}^n \operatorname{P}(A_i)\operatorname{P}(A_j)</math>
bestimmt werden.

== Siehe auch ==
* [[Diracmaß]]
* [[Kronecker-Delta]]
* [[Prädikatabbildung]]

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Characteristic function of a set
| Autor = A. A. Konyushkov
| Url = https://encyclopediaofmath.org/wiki/Characteristic_function_of_a_set
}}
* {{Literatur |Autor = Carl Geiger, Christian Kanzow |Titel = Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben |Verlag = Springer-Verlag |Ort = Berlin Heidelberg New York |Jahr = 2002 |ISBN = 3-540-42790-2}}

== Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Berechenbarkeitstheorie]]

Indikatorfunktion - Versionsgeschichte

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