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2023-03-22T20:20:59Z

Messung mittels Dirac-Impuls

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Die '''Impulsantwort''', auch '''Gewichtsfunktion''' oder '''Stoßantwort''' genannt, ist das Ausgangssignal eines Systems, dem am Eingang ein [[Dirac-Impuls]] zugeführt wird. Sie wird in der [[Systemtheorie]] zur Charakterisierung [[Lineares zeitinvariantes System|linearer zeitinvarianter Systeme]] (LTI-Systeme) benutzt. Der Dirac-Impuls wird gern für theoretische Betrachtungen verwendet, da er ein unendlich weites, kontinuierliches [[Frequenzspektrum]] besitzt und das [[Neutrales Element|invariante Element]] der [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] darstellt.

Bei der experimentellen Analyse dagegen werden LTI-Systeme häufig mit der [[Heaviside-Funktion|Sprungfunktion]] angeregt und die [[Sprungantwort]] gemessen, die das [[Übertragungsfunktion|Übertragungsverhalten]] eines solchen Systems ebenfalls vollständig beschreibt. Dadurch vermeidet man es, einen Dirac-Impuls in guter Näherung zu erzeugen, wofür das Eingangssignal kurzzeitig einen sehr hohen Wert annehmen muss.

== Eigenschaften der Impulsantwort ==
[[Datei:Impulsantwort vier verzögerungen 1.png|mini|hochkant=1.5|Impulsantworten von PTn-Gliedern]]
Im Folgenden bezeichnet <math>g(t)</math> die Impulsantwort als Reaktion des Systems auf einen Einheitsimpuls <math>\delta(t)</math>, der bei zeitkontinuierlichen Systemen durch den Dirac-Impuls repräsentiert wird.

Bei [[Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)#Kausale Systeme|kausalen Systemen]] erscheint die Wirkung nicht vor der Ursache und deshalb gilt für deren Impulsantwort <math>g(t)=0</math> für <math>t<0</math>. Für das Beispiel eines [[PT1-Glied]]es mit dem [[Verstärkungsfaktor]] <math>K</math> und der positiven [[Zeitkonstante]] <math>T</math> (im Bild mit <math>K=1</math> und <math>T=1</math> als rote Kurve dargestellt) lautet die Impulsantwort in Form einer [[Fallunterscheidung]]
: <math>g(t)=\begin{cases}0&\text{wenn }t<0\\ \frac{K}{T}\cdot e^{-\frac{t}{T}}&\text{wenn }t\ge 0\end{cases}</math>
„Geschlossener“ wirkt die alternative Schreibweise mit der Sprungfunktion <math>\sigma(t)</math> als [[Multiplikation#Namensgebung|Faktor]] in der Impulsantwort:
: <math>g(t)=\sigma(t)\cdot\frac{K}{T}\cdot e^{-\frac{t}{T}}</math>

Die Impulsantwort ist bei LTI-Systemen die Ableitung der Sprungantwort <math>h(t)</math> nach der Zeit:
: <math>g(t) = \frac{\mathrm d h(t)}{\mathrm d t}</math>
Generell ist zu beachten, dass der Dirac-Impuls und die Impulsantwort sowie die [[Differentialrechnung|Differentiation]] und [[Integralrechnung|Integration]] im erweiterten Sinne der Analysis der [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] zu betrachten sind. Besonders zu behandeln ist eine oft bei <math>t=0</math> vorhandene [[Unstetigkeitsstelle|Unstetigkeit]] der Sprungantwort. Beispielsweise liefert ein einfacher [[Hochpass|RC-Hochpass]] die Sprungantwort <math>h(t)=\sigma(t)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}</math>. Zum Differenzieren muss die [[Produktregel]] verwendet werden:
: <math>g(t)=\frac{d\sigma(t)}{dt}\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+\sigma(t)\cdot\frac{d}{dt}e^{-\frac{t}{RC}}=\delta(t)-\sigma(t)\cdot\frac{e^{-\frac{t}{RC}}}{RC}</math>
In diesem Fall wird also der Dirac-Impuls in die Impulsantwort „durchgereicht“.

Bei [[Stabilitätstheorie|stabilen]] linearen Systemen ist die Impulsantwort absolut integrierbar:
: <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}|g(t)|\,dt<K<\infty</math>

== Die Impulsantwort als Systemcharakteristik ==
Besitzt ein (zeitkontinuierliches) LTI-System die Impulsantwort <math>g(t)</math>, dann kann man seine Reaktion am Ausgang <math>y(t)</math> auf ein beliebiges Eingangssignal <math>x(t)</math> aufgrund des geltenden [[Superposition (Physik)|Überlagerungssatzes]] durch die ([[Kommutativgesetz|kommutative]]) [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] von Impulsantwort und Eingangssignal berechnen:
: <math>y(t)=g(t)\ast x(t)=x(t)\ast g(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty g(t-\tau)\cdot x(\tau) d\tau=\int\limits_{-\infty}^\infty g(\tau)\cdot x(t-\tau) d\tau</math>
Wenn (aufgrund der Kausalität) sowohl die Impulsantwort als auch das Eingangssignal für negative Zeiten verschwinden, dann braucht nur von <math>0</math> bis <math>t</math> integriert zu werden.

Unter der Bedingung, dass sich das System zur Zeit <math>t<0</math> im sogenannten 0-Zustand befand (also „energiefrei“ bzw. „entladen“ war), charakterisiert die Impulsantwort ein LTI-System im [[Zeitbereich]] vollständig.

Praktisch angewendet wird dieses Prinzip in jüngster Zeit in einigen [[DirectX]]- und [[Virtual Studio Technology|VST]]-[[Plug-in]]s (siehe [[Faltungshall]]), die akustische LTI-Systeme (Räume, [[Mikrofon]]e, …) [[virtuell]] nachbilden.

== Impulsantwort und Übertragungsfunktion ==
Besondere Bedeutung hat die Reaktion eines stabilen Systems auf die [[Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen|harmonische Exponentielle]] <math>e^{j\omega t}</math> (mit der „imaginären [[Kreisfrequenz]]“ <math>j\omega</math>), die durch die Übertragungsfunktion <math>G(j\omega)</math> (in ihrer Form als [[Frequenzgang]]) beschrieben wird. Diese ist definiert durch
: <math>g(t)\ast e^{j\omega t}=\int\limits_{-\infty}^\infty g(\tau)\cdot e^{j\omega(t-\tau)} d\tau=e^{j\omega t}\cdot\int\limits_{-\infty}^\infty g(\tau)\cdot e^{-j\omega\tau} d\tau=G(j\omega)\cdot e^{j\omega t}</math>
Die Übertragungsfunktion ist also die [[Fourier-Transformation|Fourier-Transformierte]] der Impulsantwort und charakterisiert ein LTI-System im [[Fourier-Analysis#Anwendungen|Frequenzbereich]]:
: <math>G(j\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty g(t)\cdot e^{-j\omega t} dt=\mathcal{F}\{g(t)\}</math>
Damit lässt sich beispielsweise die Übertragungsfunktion eines PT1-Gliedes aus dessen Impulsantwort berechnen:
: <math>G(j\omega)=\int\limits_{0}^\infty \frac{K}{T}\cdot e^{-\frac{t}{T}}\cdot e^{-j\omega t} dt=\frac{K}{T}\cdot\int\limits_{0}^\infty e^{-\frac{1}{T}\left(1+j\omega T\right)\cdot t}dt=\frac{K}{1+j\omega T}</math>

Geht man zur [[Komplexe Frequenz|komplexen Frequenz]] <math>s=\sigma+j\omega</math> über, dann ist die Übertragungsfunktion <math>G(s)</math> die [[Laplace-Transformation|Laplace-Transformierte]] der Impulsantwort:
: <math>G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}</math>
Für das obige PT1-Glied erhält man damit die (per Definition bekannte) Übertragungsfunktion
: <math>G(s)=\frac{K}{1+sT}</math>

== Ermittlung der Impulsantwort ==
=== Berechnung aus der Differentialgleichung ===
Ist die Struktur des Systems bekannt, kann daraus seine [[Differentialgleichung]] oder sein Differentialgleichungssystem ermittelt werden. Durch den Dirac-Impuls am Systemeingang tritt dieser jedoch als [[Störfunktion]] auf der „rechten Seite“ der Differentialgleichung auf. Deshalb versagen die klassischen Lösungsmethoden der linearen Differentialgleichung im Zeitbereich. Aus diesem Grund errechnet man üblicherweise die Sprungantwort und differenziert diese zur Impulsantwort. Wird das System in [[Zustandsraumdarstellung]] beschrieben, dann gibt es Lösungsformeln zur Ermittlung der Impulsantwort (siehe [[#Die Gewichtsmatrix|Gewichtsmatrix]]).

=== Berechnung aus der Übertragungsfunktion ===
Ist die Übertragungsfunktion <math>G(j\omega)</math> oder <math>G(s)</math> des Systems durch Messung, Berechnung (beispielsweise durch Transformation der Differentialgleichung in den Frequenzbereich) oder direktes Ablesen aus der Struktur („[[Komplexe Wechselstromrechnung#Die symbolische Methode|Symbolische Methode]]“) schon ermittelt, dann kann daraus durch [[Fourier-Transformation#Rücktransformationsformel|Fourier-]] bzw. [[Laplace-Transformation#Laplace-Rücktransformation|Laplace-Rücktransformation]] die Impulsantwort (in manchen Fällen nur auf der Basis von Distributionen) errechnet oder (wie im obigen Beispiel des PT1-Gliedes) direkt aus der [[Laplace-Transformation#Korrespondenztabelle|Korrespondenztabelle]] abgelesen werden:
: <math>g(t)=\mathcal{F}^{-1}\{G(j\omega)\}=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}</math>

=== Messung mittels Dirac-Impuls ===
Theoretisch kann die Impulsantwort eines Systems durch das Zuführen eines Dirac-Impulses bestimmt werden. Allerdings ist es praktisch unmöglich, einen solchen Impuls zu erzeugen (unendlicher [[Augenblickswert]] in verschwindend geringer Zeit), er kann nur in begrenztem Umfang angenähert werden. Dazu müsste ein möglichst kurzer, starker „Knall“ oder Stromstoß auf das System gegeben und seine Antwort über ein [[Mikrofon]] o. ä. gemessen werden. Bei auf diese Weise ermitteltem Frequenzgang kann es zu [[Verzerrung (Elektrotechnik)|Verzerrungen]] kommen, vor allem wegen [[Nichtlinearität]]en der Bauteile ([[Klirrfaktor]]), [[Rauschen (Physik)|Rauschen]], [[Messungenauigkeit]]en und begrenzter Belastbarkeit.

Die Impulsantwort liefert bei [[Lautsprecherbox]]en eine Aussage über die [[Impulstreue]], bei Räumen über das Zeit- und Frequenzverhalten des [[Nachhall]]es.

=== Ermittlung mittels Sprungantwort ===
Aus der Sprungantwort eines Systems erhält man durch [[Differentialrechnung|Differenzieren]] die Impulsantwort. Aufgrund des plötzlichen Anstiegs der Sprungfunktion gibt es bei deren Messung jedoch ähnliche Probleme wie bei der direkten Messung der Impulsantwort.

=== Ermittlung mit einem breitbandigen Signal ===
Die Impulsantwort kann auch mit einem breitbandigen Rauschsignal, wie [[Weißes Rauschen (Physik)|weißem Rauschen]], bestimmt werden. Dafür sendet man das Rauschsignal in das System (z. B. über einen [[Lautsprecher]] in einen Raum) und misst gleichzeitig die Antwort des Systems für eine Weile (zeichnet bspw. mit einem Mikrofon eine Zeitlang auf). Anschließend berechnet man die [[Kreuzkorrelation]] des gesendeten und des empfangenen Signals, sie ist in diesem Fall direkt die Impulsantwort des Systems.<ref>{{BibISBN|3-519-16194-X|Seiten=434}}</ref>

Ein großer Vorteil dieser Methode ist, dass neben dem Testsignal noch weitere Signale am System anliegen dürfen. Bspw. muss es in einem Raum zur Messung nicht ruhig sein, solange die [[Störgeräusch]]e (z. B. Gespräche) unkorreliert zum Testsignal sind, denn sie fallen im Anschluss durch die Kreuzkorrelation heraus.

== Verallgemeinerungen ==
=== Die Gewichtsmatrix ===
Bei LTI-Systemen mit mehreren Ein- und Ausgangssignalen (sogenannten ''multivariablen Systemen'') mit dem [[Matrix (Mathematik)#Typ|Eingangssignalvektor]] <math>\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\end{pmatrix}</math> und dem Ausgangssignalvektor <math>\mathbf{y}(t)=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\end{pmatrix}</math> existiert für jedes Eingangs-/Ausgangs-Paar <math>(x_i,y_j)</math> eine „eigene“ Impulsantwort <math>y_j=g_{ji}\ast x_i</math>. Diese Impulsantworten fasst man in der ''Gewichtsmatrix'' <math>\mathbf{G}(t)=\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}&\dots\\g_{21}&g_{22}&\dots\\\dots&\dots&\ddots\end{pmatrix}</math> zusammen, so dass das Ein-/Ausgangsverhalten des multivariablen Systems in der üblichen [[Matrix (Mathematik)|Matrizenschreibweise]] dargestellt werden kann:
: <math>\mathbf{y}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\mathbf{G}(t-\tau)\cdot\mathbf{x}(\tau)\,d\tau=\mathbf{G}(t)\ast\mathbf{x}(t)</math>
Wird ein zeitkontinuierliches lineares zeitinvariantes System in ''Zustandsraumdarstellung'' beschrieben
: <math>\frac{d\mathbf{z}}{dt}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{z}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{x}</math>
: <math>\mathbf{y}=\mathbf{C}\cdot\mathbf{z}+\mathbf{D}\cdot\mathbf{x}</math>
dann kann die Gewichtsmatrix wie folgt errechnet werden:
: <math>\mathbf{G}(t)=\sigma(t)\cdot\mathbf{C}\cdot e^{\mathbf{A}\cdot t}\cdot\mathbf{B}+\delta(t)\cdot\mathbf{D}</math>
Dabei besteht die wesentliche Schwierigkeit „nur noch“ darin, die sogenannte ''Übergangsmatrix'' <math>\mathbf{\Phi}(t)=e^{\mathbf{A}\cdot t}</math> aus dem [[Matrixexponential]] nach einer „etablierten Methode“ zu ermitteln.

=== Die Impulsantwort von zeitvarianten Systemen ===
Während bei einem zeitinvarianten System die Impulsantwort nicht vom Zeitpunkt des Einheitsimpulses abhängt, ist das bei ''zeitvarianten Systemen'' der Fall. Dann definiert man die ''verallgemeinerte Impulsantwort'' <math>g(t,\tau)</math> als Reaktion auf den Einheitsimpuls <math>\delta(t-\tau)</math> zum Zeitpunkt <math>\tau</math>. Auch diese Form kann bei linearen zeitvarianten Systemen als Systemcharakteristik dienen. Dabei wird das Ausgangssignal aus dem Eingangssignal durch folgendes Integral ermittelt:
: <math>y(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau)\cdot g(t,\tau)\,d\tau</math>
Die Berechnung der Impulsantwort für zeitvariable Systeme ist im Allgemeinen wesentlich schwieriger. Eine aus der Impulsantwort ermittelte Übertragungsfunktion wird in diesem Fall zeitabhängig. Für multivariable Systeme wird analog eine ''verallgemeinerte Gewichtsmatrix'' <math>\mathbf{G}(t,\tau)</math> definiert.

== Die Impulsantwort von zeitdiskreten Systemen ==
Bei [[Zeitdiskretes Signal|zeitdiskreten]] Systemen, z. B. [[Digitales Filter|digitalen Filtern]], werden die Signale durch [[Folge (Mathematik)|Folgen]] (mit den [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] als [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmenge]]) repräsentiert. Der ''diskrete Einheitsimpuls'' wird durch eine Folge dargestellt, bei der nur das 0-te Element gleich 1 und alle weiteren Elemente gleich 0 sind:
: <math>\delta(t)=(1,0,0,0,\dots)</math>
Er ist das neutrale Element der [[Diskrete Faltung|diskreten Faltung]] von Folgen.

Die ''zeitdiskrete Impulsantwort'' ist dann die Systemreaktion auf den diskreten Einheitsimpuls in Form einer Folge
: <math>g(t)=\left(g(0),g(1),g(2),g(3),\dots\right)</math>
Beispielsweise lautet die Impulsantwort für den [[Gleitender Mittelwert|einfachen gleitenden Mittelwert dritter Ordnung]]
: <math>g(t)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},0,0,0,\dots\right)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\overline 0\right)</math>
Im Gegensatz zur Impulsantwort bei zeitkontinuierlichen Systemen gibt es hierbei aufgrund der Endlichkeit des Einheitsimpulses keine Probleme bei der rechnerischen oder experimentellen Ermittlung.

Die zeitdiskrete Impulsantwort charakterisiert ein zeitdiskretes LTI-System im Zeitbereich, denn dessen Ausgangsfolge <math>y(t)</math> berechnet sich (bei kausalen Systemen und vom 0-Zustand ausgehend) durch diskrete Faltung von Impulsantwort <math>g(t)</math> und Eingangsfolge <math>x(t)</math>
: <math>y(t)=g(t)\ast x(t)=\sum\limits_{\tau=0}^t g(t-\tau)\cdot x(\tau)=\sum\limits_{\tau=0}^t g(\tau)\cdot x(t-\tau)</math>
Dabei spielt es keine Rolle, ob die Komponenten der Folgen einer endlichen (z. B. bei [[Linearer Automat|linearen Automaten]] und [[Faltungscode|Faltungscodierern]]) oder einer unendlichen ''Symbolmenge'' (z. B. bei [[Abtastung (Signalverarbeitung)|Abtastsystemen]], [[FIR-Filter|FIR]]- und [[IIR-Filter|IIR]]-Filtern) entstammen. Wesentlich ist, dass die Folgen einen [[Vektorraum|linearen Raum]] bilden. Praktisch werden derartige Folgen durch [[formale Potenzreihe]]n beschrieben, die man durch [[z-Transformation]], [[Erzeugende Funktion|Zeta-Transformation]]<ref>{{Literatur |Autor=[[Gerhard Wunsch]], Helmut Schreiber |Titel=Digitale Systeme |Auflage=4. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=1993 |ISBN=978-3-540-56298-6}}</ref> oder eine andere diskrete [[Operatorenrechnung]] erhält. Die (zeitdiskret) transformierte Impulsantwort kann als Übertragungsfunktion interpretiert werden. Für das obige Beispiel wird diese (auf Basis der z-Transformation)
: <math>G(z)=\mathcal{Z}\{g(t)\}=\mathcal{Z}\left\{\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\overline 0\right)\right\}=\frac{z^0}{3}+\frac{z^{-1}}{3}+\frac{z^{-2}}{3}=\frac{z^2+z+1}{3\cdot z^2}</math>

Auch bei zeitdiskreten linearen Systemen lässt sich die Impulsantwort für zeitvariante und/oder multivariable Systeme verallgemeinern.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Gerhard Wunsch]]
|Titel=Handbuch der Systemtheorie
|Verlag=R. Oldenbourg Verlag
|Ort=München / Wien
|Datum=1986
|ISBN=3-486-20017-8}}
* {{Literatur
|Autor=[[Rolf Unbehauen]]
|Titel=Systemtheorie 1
|Verlag=Oldenbourg Verlag
|Ort=München / Wien
|Datum=2002
|ISBN=978-3-486-25999-5}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Impulse response|Impulsantwort}}
* [http://www.fairaudio.de/hifi-lexikon-begriffe/impulsantwort.html Anwendungsbeispiel: Impulsantwort bei Lautsprechern (inkl. Grafik).] fairaudio.de

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4383898-4}}

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Regelungstheorie]]

Impulsantwort - Versionsgeschichte

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